第二章 - - Z变换

第二章 序列的Z变换与傅里叶变换 2.1 引言

信号与系统的分析方法:

时域分析；变换域分析 信号与系统的分析方法有多种

连续时间信号与系统：拉普拉斯变换、傅里叶变换；信号用时间 t的函数表示；系统用微分方程描述。

离散时间信号与系统：z变换、傅里叶变换；信号用序列表示；系统用差分方程描述。 z变换是一个很重要数学工具，可用于求解差分方程，同时它也可以从不同的侧面和方法对离散信号的频域特征进行分析，还能很方便地分析系统的因果性、稳定性等方面的特性。 2.2 Z变换的定义与收敛域 一、z变换的定义

序列x(n)的Z变换定义：

?双边Z变换

X(z)?x(n)z?n n?????单边Z变换

X1(z)??1[x(n)]?x(n)z?n(2.2) n?0因果序列的Z变换: 单边Z变换可以看成因果序列情况下的双边Z变换

z是一个复变量， 它所在的复平面称为z平面。z是一个连续复变量，具有实部和虚部。 变量z的极坐标形式 z?|z|ej?单位圆:

在Z平面上|z|= 1为半径的圆 单位圆上的参数可表示为 z ?ej?

例2.1 求序列 x ( a n u ( n ) 的Z变换。 n ) ?解：序列x(n)是因果序列，根据Z变换的定义 ?????? X(z)?x(n)z?n?anz?n?(az?1)nn???n?0n?0

?1?az?1?(az?1)2?(az?1)3????

分析收敛性：X(z)是无穷项幂级数。

当|z|≤a时级数发散，当|z|＞|a|时级数收敛。 X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为

?? 1zX(z)?(az?1)n??,|z|＞|a|?1 1?azz?an?0二、z变换的收敛域

收敛域: 对于给定的任意序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集合组成的区域。 Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和， 即

?

x(n)z?n?M?? n???使上式成立的Z变量取值的域称为收敛域。 根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域

收敛半径Rx-可以小到0，Rx+可以大到∞

收敛域以原点为中心，Rx-和Rx+为半径的环域

??????? 1

不同形式的序列x(n)其收敛域形式不同。 1. 有限长序列 ?x(n)n1?n?n x(n)??2其它 ?0n2其Z变换为 X(z)?x(n)z?n

n??n1收敛域：

n1<0，n2≤0时(-n=0~c）， 0≤z＜∞ n1<0，n2>0时(n=-a~b)， 00时(-n=-c~0)， 0

例2.2 求序列 x ( n ) ? a n R N (n ) 的Z变换。 解：根据Z变换的定义

N??1N??1 X(z)?az?(az?1)n?1?(az?1)Nn?n1?az?1讨论：

n?0n?0假设|a|是有限值，且|a|＜1。

X(z)有一个z= a的极点，但也有一个z= a的零点，将零极点对消。 收敛域为0＜|z|≤+∞。

2. 右边序列 ?x(n)n?n x(n)??1其它Z变换： ?0?? X(z)?x(n)z?n??1?x(n)z?n???x(n)z?n

n?n1n?n1n?0第一项收敛域：0≤|z|＜∞ 第二项收敛域：Rx-<|z|≤∞ 收敛域：Rx-<|z|<∞

如果是因果序列，收敛域为Rx-<|z|≤∞

3. 左边序列 ?x(n)n

x(n)???n2Z变换： ?0其它?n X(z)?2?nx(n)z?n0?x(n)z?n??2x(n)z?n

n???n???n?1第二项收敛域：0＜|z|≤∞ 第一项收敛域：0≤|z|

如果n2<0， 收敛域定为0≤|z|< Rx+

2

4. 双边序列

x(n)??

?0n1?n?n2?x(n)其它Z变换： ?? X(z)?x(n)z?n???x(n)z?n??1?x(n)z?n

n???n?0n???右边序列：n1≤-1，Rx- <|z|<∞；

如果n1>-1 ， Rx- <|z|≤∞。 左边序列：n2>0，0<|z|< Rx+；

如果n2<0， 0≤|z|< Rx+ 。 ?双边序列：Rx-<|z|< Rx+ 。

例2.3求x(n)=?(n)的z变换及其收敛域。 解： 这是一个有限长序列。

?? X(z)?ZT??(n)???(n)z?n?10?z??n???所以收敛域为整个z的闭平面。

分析2.1例x(n)=anu(n)的z变换及其收敛域。 解： 这是一个右边序列，并且是一个因果序列。 收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。 一般说来，右边序列的z变换的收敛域一定在

模最大的有限极点所在圆之外，对因果序列，包含z=?。

例2.4 求x(n)=-bnu(-n-1)的z变换及其收敛域。 解： 这是一个左边序列。

????1?? X(z)??bnu(?n?1)z?n??bnz?n???b?1z?n?1z?b

n???n???n?11?bz?1,收敛域为极点所在圆|z|=|b|的内部。

一般说来，左边序列的z变换的收敛域一定在 模最小的有限极点所在圆之内，但原点不一定。

例2.5 求x(n)= anu(n) -bnu(-n-1)的z变换及其收敛域。 解： 这是一个双边序列。

???1 X(z)?x(n)z?n?anz?n?bnz?n?z?2z?a?b?,n????n??0n?????z?a??z?b?a?z?b收敛域为为一个圆环。

一般说来，双边序列的z变换的收敛域

一定在其左边序列模最小的有限极点所在圆之内， 在其右边序列模最大的有限极点所在圆之外。

3

x(n)=?(n) X(z)?1

1X(z)?,z?ax(n)=anu(n) ?11?az

1X(z)?,z?bx(n)=-bnu(-n-1) ?11?bz

z?2z?a?b?X(z)?,a?z?bx(n)= anu(n) -bnu(-n-1) ?z?a??z?b?

常见序列Z变换 P49表2.1

z变换的特点

1. 同一个z变换函数，收敛域不同，对应的序列不同； 2. 常用序列的z变换是一个有理分式，可表示为：

P(z)

X(z)? Q(z)其中，P(z)、Q(z)分别是z的实数系数多项式；

3. P(z)=0的根是X(z)的零点(分单阶零点和多阶零点)； Q(z)=0的根是X(z)的极点(分单阶极点和多阶极点)；

4. 在极点处z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域一般为同心圆环，用极点限定其边界。

– 右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外

– 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内

例2.6： N??

?n?n

N n???n???n2n1n2?1

N?1?Nn ?n ?1n?n1n?0

N

2 N?1 jIm[z]

2?rj

N

Re[z]

0

例1：求x(n)?R(n)的z变换及其收敛域解：X(z)=?x(n)z=?R(n)z1?z=?z?1?zz?1?z(z?1)q?q?q?1?qn??时须满足q?1零点：z?e r?1,...,N?1极点：z?0 （N?1）阶Roc: 0?z?? 4

例例2.74：求： x(n)?an，a为实数，求其z变换及其收敛域 ??解：X(z)=x(n)z?n??=anz?n??1=a?n??z?n?anz?n

n???n???n???n?0?? =anzn???anz?n

n?1n?0 ?? ?anzn?az1?azaz?1?z?1/a n?1? ?anz?n?1az?1

?1?1?z?an??01?az ?当a?1时，无公共收敛域，X(z)不存在 当a?1时，X(z)?az1z(1?a2)1?az?1?az?1?(1?az)(z?a)

Roc: a

零点：z?0,?Re[z a]极点：z?a,a?101/a

作业：p84 2.1、2.3

5

2.3 逆Z变换

已知序列的Z变换及其收敛域， 求序列称为逆Z变换。 序列的Z变换及其逆Z变换表示

n2如下：

X(z)?ZT?x(n)??x(n)z?n n?n1

x(n)?ZT?1?X(z)?

z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)；实质：求X(z)幂级数展开式

一、围线积分法(留数法)

根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区Rx-<|z|< Rx+ (Rx-?0，Rx+??)内是解析的，则在此区域内X(z)可以展开成罗朗级数：p57图2.4 jIm[z]?

X(z)?Cnz?n,Rx??z?Rx? n???C1

Cn?X(z)zn?1dz,n?0,?1,?2,?Rx?Rx? 2?jc与z变换的定义比较，x(n)就是罗朗级数的系数Cn，因此： 0Re[z]?

X(z)?x(n)z?n,Rx??z?Rx? n???1

x(n)?X(z)zn?1dz,n?0,?1,?2,? 2?jc留数定理求逆Z变换：如果函数F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续，在c以内有K个极点用zk，在c以外有M个极点用zm，则有，

1

x(n)?X(z)zn?1dz?ResX?z?zn?1z?zk 2?jck1或

x(n)?X(z)zn?1dz??ResX?z?zn?1z?zm 2?jcm使用条件：F(z)在z=?有二阶或二阶以上零点，即要分母多项式z的阶次比分子多项式z的阶次高二阶或二阶以上。

如果zk是F(z)=X(z)zn-1的单阶极点， 则 ResX?z?zn?1z?zr?z?zrX?z?zn?1z?zr

如果zk是F(z)=X(z)zn-1的l阶极点， 则 1dl?1ln?1ResX?z?zz?zr?z?zX?z?zn?1z?zrl?1 r?l?1?!dz如果c内有多阶极点， 而c外没有多阶极点， 可以根据留数辅助定理改求c外的所有极点留数之和， 使问题简单化。

z21,?z?4例2.8：已知 X(z)?1?4?4?z???z??

4??求z反变换。 解： zn?1n?1F(z)?X(z)z? 1????4?zz??? 4??极点：z=1/4 ；4； 0 (n<-1时，-(n+1)阶) ； ?(n>1时，n-1阶)

????????????????????????? 6

零点： ? (n<1时，1-n阶)

当n?-1时，围线c内有一个一阶极点：z=1/4 ；

x(n)?1X(z)zn?1dz??ResX?z?zn?1?2?jck??z?zk????n?1n?1????z1?z4?n????Res????z???114?15????4?z??z??????4?z??z??????4??4??????z?1???z?144

当n?-2时，围线c外有一个一阶极点：z=4，且分母多项式z的阶次比分子多项式z的阶次

高二阶；而在围线c内部则有一个一阶极点z=1/4及一个-(n+1)阶极点z=0；因此采用外围极点较方便。

x(n)?1X(z)zn?1dz???ResX?z?zn?1?2?jcm??z?zk???? ????zn?1zn?14n?2??????Res???z?4??1??1??15????????4?zz?4?zz???????4??4??????z?4??z?41?n4u(n?1)?4n?2u(?n?2)15若上题收敛域改为z?4

zn?1n?1F(z)?X(z)z? 1????4?zz??? 4??因此x(n)为： x(n)???则当n?0时，围线c内有两个极点：z=4, 1/4 ；

1

x(n)?X(z)zn?1dz?ResX?z?zn?1z?zk 2?jck ???? ????zn?1zn?11?n??Res???4?4n?2 ?Res?15??4?z??z?1????4?z??z?1?????? ??4??4??????z?4??z?1 4??????当n?0时，围线c外没有极点。x(n)?0

4?4 u(n)因此x(n)为： x(n)?15

1. 同一个z变换函数，收敛域不同，对应的序列不同； 2. 在求函数的极点时要全面，如无穷大点和零点；

二、部分分式法

1. 同一个z变换函数，收敛域不同，对应的序列不同；

P(z)2. 常用序列的z变换是一个有理分式，可表示为：

X(z)? Q(z)

7

1??nn?2?其中，P(z)、Q(z)分别是z的实数系数多项式；

3. P(z)=0的根是X(z)的零点(分单阶零点和多阶零点)； Q(z)=0的根是X(z)的极点(分单阶极点和多阶极点)；

设x(n)的Z变换X(z)是有理分式，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，可将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和。

1. 有理函数X(z) 可展成一些简单的常用的部分分式之和。

M biz?iM?NM?rrAkCk?n X(z)?P(z)?i?1?Bz??nM?1?1kQ(z) ?in?1k?11?zkzk?11?ziz1?aiz整式部分系数 单阶极点 多阶极点 i?1 2?5z?z22?1X(z)??2z?3? z?z21?z?1 ?15z11 X(z)????1?2?1?11?z?6z1?2z1?3z

例2.9 用部分分式法求逆Z变换。

1

X(z)?,|z|＞2?1?1 (1?2z)(1?0.5z)解：收敛域为圆外，右边序列。z→∞时，X(z)趋近于有限值1，确定是因果序列。X(z)有两个一阶极点：z1= 2和z2= 0.5

A1A2

X(z)?? 1?2z?11?0.5z?114求得系数(留数)为 ?1A1??(1?2z)|?z?2 (1?2z?1)(1?0.5z?1)3 11?1A??(1?0.5z)|??2z?0.5 (1?2z?1)(1?0.5z?1)3查表2.1可得

41x(n)?[?2n??0.5n]u(n)

33

5z?1例2.10 已知 X ( z ) ? ,2 ? z ? 3 ，求逆Z变换。 解：

???????X(z)5z?255A1A2??2????1?2z1?z?6zz?z?6(z?2)(z?3)z?2z?3X(z)X(z)A1?Res[,2]?(z?2)z?2?1zzX(z)X(z)A2?Res[,?3]?(z?3)z??3??1zzX(z)11??z(z?2)(z?3)11X(z)???11?2z1?3z?1

8

1?z?1?6z?2因为收敛域为2<|z|<3，第一部分极点是z=2，因此收敛域为|z|>2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|<3。查表2-1得到： x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)

三、幂级数法(长除法)

Z变换的定义可知: X(z)是复变量z-1的幂级数，其系数是序列x(n)的值

??? X(z)?x(n)z?n?????x(?1)z1?x(0)z0?x(1)z?1?x(2)z?2????(2.8)n???显见: 只要在给定的收敛域内，把X(z)展开成幂级数，则级数的系数就是序列x(n) X(z)展开成幂级数的方法 :

log，sin，cos等函数: 利用幂级数公式 有理分式: 直接用长除法

例2.11 求 X ( z ) ? ln(1 ? az ?1 ) ，|a|＜|z| 的逆Z变换。 解：利用ln(1+ x)，且|x|＜1的幂级数公式

ln(1?x)?x?121n?13(?1)n???(?1)n?1n2x?3x??nx???x(?1＜x≤1)展开X(z)得 n?1n???

X(z)?ln(1?az?1)?(?1)n?1anz?n

n?1n由收敛域|a|＜|z|知x(n)为右边序列

x(n)?(?1)n?1anu(n)注: X(z)的闭合形式加上收敛域，才能唯一确定nx(n)。

2.4 Z变换的基本性质和定理 １．线性：满足叠加原理

Z[ax(n)+by(n)] = aX(z)+bY(z)， R-＜|z|＜R+

例2.12 求序列x(n) = u(n)- u(n-3)的Z Z[u(n)]?z变换。 ,z＞1???Z[u(n?3)]?z?n?z?3z?2

z?1)]?Z[x(n?3)]n?31?z?1?z?1,z＞1 X(z)?Z[x(n ?z?z?2z2?z?1

z?1z?1?z2由于出现零极点抵消，收敛域增大了。

由于x(n)是n≥0的有限长序列，收敛域是除|z|= 0之外的全部z平面。

例2.13 求序列 x ?n ? ? cos ?? 0 n ? u ?n ?的Z变换。 解：

ZT

?cos??0n?u?n??

?ZT??ej?0n?e?j?0n?2u?n?????12ZT?ej?0nu?n???12ZT?e?j?0nu?n?? ?11?z?12?1?ej?0z?1??12?1?e?j?0z?1??cos?01?2z?1cos??2, z?10?z 9

2. 序列的移位

设X(z)=ZT［x(n)］, Rx-<|z|

????证明 ?n?mZ[x(n?m)]?x(n?m)z?zx(k)z?k?z?mX(z) n???k???m-n=k

??ZT?(n)?1，收敛域为Z平面；

ZT?(n?1)?z?1，在z=0处不收敛； ZT?(n?1)?z1，在z=∞处不收敛。

3. 乘以指数序列

设 X(z)=ZT［x(n)］, Rx-<|z|

y(n)=anx(n), a为常数 则 Y(z)=ZT［anx(n)］

=X(a-1 z) |a|Rx-<|z|<|a|Rx+

????证明 nn?nZ[ax(n)]?ax(n)z?x(n)(a?1z)?n?X(a?1z) n???n???

４．序列的线性加权

d

Z[nx?n?]??zX(z) dz????dd?n证明 ?zX(z)??zx(n)z??z(?n)x(n)z?n?1dzdzn???n???

??

?nx(n)z?n?Z[nx(n)] n???５．序列的折叠（倒置） ：

?1?1Z[x(?n)]?X(z?1),Rx ?＜z＜Rx?????证明 ?nZ[x(?n)]?x(?n)z?x(n)(z?1)?n?X(z?1) n???n???６．初值定理 ：若x(n)是因果序列，即x(n)= 0，n＜0，则 x(0)?limX(z)z??证明：x(n)是因果序列，有

??

X(z)?x(n)z?n?x(0)?x(1)z?1?x(2)z?2???x(n)z?n?? n?0显然

x(0)?limX(z)z??

若x(n)是逆因果序列，即x(n)= 0，n＞0，有 x(0)?limX(z)z?0

７．终值定理 ：若x(n)是因果序列，且X(z)的全部极点，除在z= 1处可以有一阶极点外，其余极点都在单位圆内，则

limx(n)?lim[(z?1)X(z)]n???z?1

???????? 10

证明：由移位性质可得 ??? (z?1)X(z)?zX(z)?X(z)?Z?x(n?1)?x(n)??[x(n?1)?x(n)]z?n n????nx(n)是因果序列，则 (z?1)X(z)?lim[x(k?1)?x(k)]z?k

?nn???k??1 lim[(z?1z?1)X(z)]?nlim???[x(k?1)?x(k)]k??1

?nlim{[???x(0)?0]?[x(1)?x(0)]???[x(n?1)?x(n)]} ?nlim{???x(n?1)}?nlim???x(n)8. 复序列的共轭? ZTx*?n???X*?z*?, Rx??z?Rx? ?????? ZTx*?n??x*?n?z?n??x?n??z*??n?*证明：

n???n??? ??????*?n?x?n?z*???X* ??z*?, Rx??z?Rx?n????9．序列的卷积 ：

W(z)= Z[x(n)*y(n)]= X(z)·Y(z)， R-＜|z|＜R+

证明

????W(z)?Z[x(n)*y(n)]?[x(k)y(n?k)]z?n n???k???交换求和次序，并代入m= n-k得

????W(z)?x(k)y(n?k)z?n k???n???

????

?x(k)z?ky(m)z?m?X(z)?Y(z)

k???m???例2.１4 x (n)?anu(n),h(n)?bnu(n)?abn?1u(n?1)求 y(n)?x(n)*h(n) = Z1[Y(z)] = bnu(1n)az?11?az?1解：查表得 X (z)?

1?az?1,H(z)?1?bz?1?1?bz?1?1?bz?1X(z)和H(z)收敛域分别为|z|＞a和|z|＞b，所以

z Y(z)?X(z)?H(z)?z?b,|z|＞b由收敛域知y(n)是因果序列，其z反变换为： y(n)?x(n)*h(n) = Z-1[Y(z)] = bnu(n)讨论：在z= a处，X(z)的极点被H(z)的零点所抵消，

如果|b|＜|a|，则Y(z)的收敛域比X(z)与H(z)收敛域的重叠部分要大，如图所示。

11

2.5 序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系 ??sts???j???X(s)?LTx(t)?x(t)edta拉普拉斯变换 ????j??1拉普拉斯逆变换 x(t)?LT?Xa(s)??x(t)estdt??j?

s?j? ???X(j?)?FTx(t)?x(t)e?j?tdt傅里叶变换 ???傅里叶逆变换 ?1x(t)?FT?X(j?)??X(j?)ej?td???

?x(n)z?n序列x(n)的Z变换 X(z)?n???

1X(z)zn?1dz,n?0,?1,?2,?逆Z变换 x(n)?2?jc

抽样信号的拉普拉斯变换 ??????Xa(s)?LT?xa(t)??xa(t)e?stdt ???? ??xa?nT???t?nT?e?stdt ???n??? ?? ?xa?nT???t?nT?e?stdt??n???

? ?xa?nT?e?nsT n???抽样序列的z变换为 ?sTX(z)z?esT?X(e)?Xa(s)

?X(z)?ZTx?n??x?n?z?n

n???

抽样序列的z变换就等于抽样信号的拉普拉斯变换。

两个变换的关系就是复变量s平面到复变量z平面的映射：

1sT s?lnzz?eT

令 s=?+j?, z=rej?

得到： rej? =e(?+j?)T=e?Tej?T , 因而 r=e?T， ?=?T

???????????????

12

2. ?= ?T

?=0 、?/T 、3?/T、 ?0与?的对应关系 ?变化时与?的对应关系

s平面到z平面的 映射是多值映射。

（傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例，即s＝jΩ，因而映射到z平面上为单位圆，代入 抽样序列的z变换

??s?X(z)z?esT?X(esT)?X(2.89)a

得 ?(j?)X(z)z?ej?T?X(ej?T)?X(2.94)a

取样序列在单位圆上的Ｚ变换，等于其理想取样信号的傅里叶变换 。 ） 3. 抽样序列x(n)的z变换X(z)和连续信号xa(t)的拉普拉斯变换Xa(s)的关系。

?1?采样定理 Xa?j???Xa?j??k?s?Tk???

延拓到整个复平面

?? 1?sTX(z)z?esT?X(e)?Xa(s)Xa?s??Xa?s?jk?s? Tk???

??112??? X?z?ST?Xa?s?jk?s??Xa?s?jk?z?eTTT?? k???k???4. 抽样序列x(n)的z变换X(z)和连续信号xa(t)的傅里叶变换Xa(j?)的关系。 1?1?2???Xz?Xs?jk??Xs?jk?????STasa? z?eTk???Tk???T?? 抽样序列在单位s?j?,??0 圆上的z变换， ??12???j?T就等于其理想抽 X(z)j?T?X(e)?Xa(j?)?Xj??jk??az?eTk????T?样信号的傅里叶 变换 ???T,r?1 单位圆上的z变换是和信号的频谱相 ?1???2?k?联系的，因而常称单位圆上的z变换 X(z)j??X(ej?)?X?a?jz?eTk????T?为序列的傅里叶变换。 ?序列的傅里叶变换 j?DTFT?x?n???Xe?x?n?e?j?n n?????????????? 13

2.6 序列的傅里叶变换 1. 序列的傅里叶变换的定义

序列的傅里叶变换就是序列的z变换在单位圆上的值

X?ej?????X?z?z?ej??x?n?e?j?n n

x?n??1?????X?z?zn?1dz?1??X?ej?2?jz?12????ej?n d?正变换 ?????DTFTx?n???Xej??x?n?e?j?n n???

反变换 DTFT?1??j????x?n??1??X?ej??

?Xe?2???ej?nd?说明： ??(1) 傅里叶变换收敛条件 x?n?e?j?n???x?n???

n???n???(2) ?= ?T，X(ej?)为连续周期函数，x(n)是离散时间序列。 (3) 对连续信号，傅里叶变换定义为 F(j?)?DTFT?f(t)?????f(t)e?j?t?dt

X(j?)???x(t)e?j?t??dtXs)?LT?x(t)???a(x(t)e?stdts= j? ???

X??a(s X(j?)) ?=?/T ?= ?T s?1lnz Tz?esT X?ej???????x?n?e?j?nX(z)?ZT?x?n???x?n?z?n n???j?n???

z?e

频谱用实部和虚部表示 X(ej?)?Xj?j?R(e)?jXI(e)(2.42)

频谱用幅度和相位表示

X(ej?)?|X(ej?)|ejarg[X(ej?)]?X(?)ej?(?)(2.43)

幅度特性

X(?)?|X(ej?)|?X2j?2R(e)?Xj?I(e)(2.44) 相位特性 ?(?)?arg[X(ej?)]=argXj?I(e)j(2.45) X?R(e)

14

例2.15 设x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT。

解： X(ej???)?R?j?nN??1N(n)e?e?j?n n???n?0

1?ej?Nej?N/2(e?j?N/2?ej?N/2?)

1?e?j??e?j?N/2(ej?/2?e?j?/2) ?e?j(N?1)?/2sin(?N/2)

sin?/2

?X(ej?)ejarg[H(ej?)]其中相位响应： arg[R?N(ej)]=-?(N?1)/2画出模和相位的曲线 ，如下图（N=5） 频谱是ω的连续周期函数，周期为2π。 X(ej(??2?))?X(ej?)x(n)为实序列时，频谱幅度在区间0≤ω≤2π内是偶对称函数，相位是奇对称函数。

序列傅里叶变换的性质 １．线性：满足叠加原理 F[ax1(n)?bx2(n)]?aX1(ej?)?bX2(ej?)2．序列的移位 ： F[x(n?k)]?e-j?kX(ej?)3．序列的调制 ： F[ej?0nx(n)]?X(ej(???0))4．序列乘以n ： dX(ej? F[nx(n)]?j)d?5．序列的折叠： F[x(?n)]?X(e-j?)6．序列的复共轭 ： F[x*(n)]?X*(e-j?)F[x*(?n)]?X*(ej?)??7．序列的卷积 ：F[ x(n)?y(n)]?[x(n)?y(n)]e?j?n ?n???令n-k= m

?x(k)e?j?k?y(m)e?j?n?X(ej?)Y(ej?)k????m???? 15

8．序列的乘积 ： ? F[x(n)?y(n)]?[x(n)y(n)]e?j?nn??? ?1? ?X(ej?)ej?nd??y(n)e?j?n??n???2? ?1?j? ?X(e)d?y(n)e?j(???)n2???n???

1? ?X(ej?)Y(ej(???))d?2???

8．帕斯瓦尔定理 ：能量守恒定理，表明信号在时域的总能量等于其频域的总能量

?????? 1?2??|x(n)|?x(n)x(n)?x(n)[X(ej?)ej?nd?] 2???n???n???n??? ??1?1?j??j?nX(ej?)X?(ej?)d? ?X(e)x(n)ed????2???2?n???

1??|X(ej?)|2d?

2???

任何序列x(n)总能表示为一个共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)之和 x(n)?xe(n)?xo(n)定义xe(n)和xo(n)：

** xe(n)?xe(?n),xo(n)??xo(?n)序列x(n)与xe(n)和xo(n)的关系

11

xe(n)?[x(n)?x?(?n)]xo(n)?[x(n)?x?(?n)] 22序列傅里叶变换的对称性

??????????????

16

序列实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量。 DTFT?Re?x?n????Xeej?(j序列虚部)的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量。

DTFT?jIm?x?n????Xoej?

它们的傅里叶变换为： DTFT?xe?n???ReXej?DTFT?xo?n???jImXej?实序列x(n)的傅里叶变换X(ej?)具有共轭对称性；其实部(幅度)是?的偶函数，虚部(幅角)

????????????是? 的奇函数。

X(ej?) = X*(e-j?

)

x(ej?)+j x(ej?) = x(e-j?

ereier)- jxei(e-j?)

|X(ej?)| e

arg[X(ej?)] = |X(e-j?)| {e

-arg[X(e-j?)]

}

周期序列的傅里叶级数表示 周期序列定义： x?(n)?x?(n?kN),k为任意整数周期序列不是绝对可和的：在任何z值下，其Z变换都不收敛 周期序列的傅里叶级数表示 ???2 x?(n)?aej?Nknk（2.7.4）

k???ak: 傅里叶级数的系数 基频序列: e1(n) e(n)=ej2?2?Nne(n)?ejknk次谐波序列: en) 1kNk(离散傅里叶级数只有N个独立谐波分量: 因为复指数序列是k的周期函数

2?2?

en)?ejN(k?mN)n=ejNknk?mN(=ek(n)周期序列: 只取k＝0到N-1的N个独立谐波分量足以表示原信号

x?(n)?1N?1N?X?(k)ej2?Nkn（2.7.5） k?0

P45 1.18；1.19

17

2.7离散系统的系统函数、系统的频率响应

对线性移不变系统： y(n)?x(n)?h(n)Y(z)?X(z)?H(z) ?Y(z)线性移不变系统的系统函数 H ( z ) ? ? ZT ? (n ) 可见，H(z)与h(n)是一? ? hh ( n ) z ?nX(z)n???对z变换

例2.16 因果离散时间系统的差分方程y(n)-3y(n-1)+2y(n-2)= x(n)+2x(n-1)，求单位脉冲响应h(n)。

解：设初始状态为零，对差分方程进行z变换 Y(z)?3z?1Y(z)?2z?2Y(z)?X(z)?2z?1X(z) Y(z)1?2z?1z2?2zH(z)???2?1?2 X(z)1?3z?2zz?3z?2?3z4z展开为部分分式

H?z??? z?1z?2h(n)为因果序列。对H(z)取逆z变换，得 h(n)?(?3?4?2n)u(n) ?j?线性移不变系统的频率响应 H(e)?h(n)e?j?nn???

一、因果稳定系统 ?系统稳定的充要条件： h ( n ) ? ? 因果系统的充要条件：h(n)=0，n<0

n??? ??h(n)z?n?? z变换 H ( z ) ? h ( n ) z ? n 收敛域满足： n???n???

?????系统稳定要求收敛域包含单位圆|z|=1即H(ej?)存在且连续；

因果系统要求H(z)的收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，

收敛域在某个圆外。

因果稳定系统要求H(z)的收敛域为： r<|z|≤∞， 0

1?a2

H(z)?,0?a?1?1(1?az)(1?az)例2.17 已知

分析其因果性和稳定性. 解：H(z)的极点为z=a，z=a-1。

(1)收敛域a-1<|z|≤∞，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。

(2)收敛域0≤|z|＜a,对应的系统是非因果且不稳定系统。

(3)收敛域a<|z|

二、系统函数和差分方程的关系

一个线性移不变系统，可以用常系数线性差分方程来描述：

NM

aky?n?k??bkx?n?m? k?0m?0若系统起始状态为零，取z变换：

NM ?kakzY?z??bkz?mX?n? k?0m?0???? 18

MM ?k1?cmz?1akz Y(z)k?0?1H(z)??N?KmN X(z)bkz?m1?dnz?1 m?0n?1

零点 极点 由差分方程系数决定 但系统的确定还与收敛域的确定有关。

利用Z变换求解差分方程

N阶线性常系数差分方程

NM

aky(n?k)?brx(n?r) k?0r?0差分方程 输出序列

??????????

Z变换 逆Z变换 利用移位性质

代数方程 解方程 Z变换式

?ak?0N?mzY(z)?bzX(z) ?km?kr?0M

例2.18 已知一个线性时不变系统的差分方程y(n)= ay(n-1)+ x(n)，设初始条件y(-1)= 2，输入 x ( b n u ( n ) 时系统的输出序列。 n ) ?2a?X(z)?1解：Y (z)?az[Y(z)?y(?1)z]?X(z)?Y(z)?1?az?11

x(n)?bnu(n)?X(z)? 1?bz?1 2a1Y(z)?? 1?az?1(1?az?1)(1?bz?1)

n?1n?1a?b于是

y(n)?2an?1? a?b

三、系统的频率响应的意义

? j?He?h(n)e?j?n n???系统的频率响应(或频域表示法)主要是为了明确系统对输入频谱的处理作用。 设 x(n)?ej?n???n???? j??n?m?j?ny(n)?h(m)e?eh(m)e?j?m?ej?nHej? m???m???当输入为正弦序列时，输出为同频的正弦序列，其幅度受频率响应幅度|H(ej?)|加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。

??????? 19

对于一般的输入x(n)，由 y(n)?x(n)?h(n) Y(ej?)?X(ej?)H(ej?) 1?y(n)?H(ej?)X(ej?)ej?nd? 2???1?

x(n)?X(ej?)ej?nd? 2???上式可进一步说明频率响应的意义：若系统的频率响应为H(ej?)，输入为x(n)，则系统的每

??个复指数微分分量

11X(ej?)ej?nd?的输出响应为H(ej?)X(ej?)ej?nd?。 2?2? 总的输出响应等于系统对于x(n)的每个复指数微分分量的响应的叠加。

四、频率响应的几何确定法

MM ?1?z?cm?1?cmz ?1?1H(z)?KmN?Kz?N?M?mN

?z?dk?1?dkz?1 k?1k?1系统的频率响应为系统函数在单位圆上的值：

M

ej??cm j??1H(ej?)?Kej?N?M??mN?H(ej?)ejarg?H(e)?

ej??dk k?1M

ej??cm ?1H(ej?)?KmN因此，幅频响应：

ej??dk k?1 MNj?j?相频响应： argH(e)?arg?K??arge?cm?argej??dk??N?M??m?1k?1

LSI的频率响应的幅度等于各零点至ej?点矢量长度之积除以各极点矢量至ej?点矢量长度之积，再乘以常数|K|。

LSI的频率响应的相角等于各零点至ej?点矢量相角之和减去各极点矢量至ej?点矢量相角之和，再加常数K的相角，再加线性相移分量?(N-M)。 P85;9

???????????????????????????? 20

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