正弦定理（第一课时）教学设计

§1.1.1 正弦定理 （第一课时）

一、教学背景分析 1.教材地位分析

《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第一章《解三角形》的学习内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。《正弦定理》紧跟必修4（包括三角函数与平面向量）之后，可以启发学生联想所学知识，运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数的其他知识作为工具，推导出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解向量的工具性和知识间的相互联系的的开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。通过本节课学习，培养学生“用数学”的意识和自主、合作、探究能力。 2.学生现实分析

(1)学生在初中已学过有关直角三角形的一些知识： ①勾股定理②三角函数式

(2)学生在初中已学过有关任意三角形的一些知识：

A?B?C??①

②大边对大角，小边对小角

③两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

(3)学生在高中已学过必修4（包括三角函数与平面向量）

(4)学生已具备初步的数学建模能力，会从简单的实际问题中抽象出数学模型 3.教学目标分析 知识目标：

(1)正弦定理的发现

(2)证明正弦定理的几何法和向量法 (3)正弦定理的简单应用 能力目标：

(1)培养学生观察、分析问题、应用所学知识解决实际问题的能力

(2)通过向量把三角形的边长和三角函数建立起关系，在解决问题的过程中培养学生的联想能力、综合应用知识的能力 情感目标：

(1)设置情景，培养学生的独立探究意识，激发学生学习兴趣 (2)鼓励学生探索规律、发现规律、解决实际问题

(3)通过共同剖析、探讨问题，推进师生合作意识，加强相互评价与自我反思 二、教学展开分析

1.教学重点与难点分析

教学重点是发现正弦定理、用几何法和向量法证明正弦定理。正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题，这些知识的掌握，有助于培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视。

教学难点是用向量法证明正弦定理。虽然学生刚学过必修4中的平面向量的知识，但是要利用向量推导正弦定理，有一定的困难。突破此难点的关键是引导学生通过向量的数量

积把三角形的边长和内角的三角函数联系起来。用平面向量的数量积方法证明这个定理，使学生巩固向量知识，突出了向量的工具性，是向量知识应用的范例。 2.教学策略与学法指导

教学策略：本节课采用“发现学习”的模式，即由“结合实例提出问题——观察特例提出猜想——数学实验深入探究——证明猜想得出定理——运用定理解决问题”五个环节组成的“发现学习”模式，在教学中贯彻“启发性”原则，通过提问不断启发学生，引导学生自主探索与思考；并贯彻“以学定教”原则，即根据教学中的实际情况及时地调整教学方案。

学法指导：教师平等地参与学生的自主探究活动，引导学生全员参与、全过程参与。通过启发、调整、激励来体现主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。 3.教学媒体选择与应用

使用多媒体平台（包括电脑和投影仪）辅助教学，让学生自己动手进行实验，借助多媒体快捷、形象、生动的辅助作用，既突出了知识的产生过程，遵循了学生的认知规律，让学生形成体验性认识，体会成功的愉悦，同时又可以增加课堂的趣味性，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 三、教学过程实施 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 结合实例 提出问题 教师提问,学生回答,师生共同评价 营造宽松、和谐、主动积极的探究氛围，挖掘学生的原有认知，在原有知识和学习目标之间搭建平台, 指出本节课的探究方向 ①在Rt△ABC中，各边、角之间存在何种数量关系？ ②学生容易想到三角函数式子： ab sinA?sinB?sinC?1cc ③这三个式子中都含有哪个边长？ 教师提 ④那么通过这三个式子，边长c有几种表示方问,学生回观察特例 法？ 答,师生给提出猜想 abc 予适当的点??sinAsinBsinC 拨. ⑤得到的这个等式，说明了在Rt△中，各边、角之间存在什么关系？ （各边和它所对角的正弦的比相等） ⑥此关系式能不能推广到任意三角形？ 猜想：在任意的△ABC中, 各边和它所对角c?以旧引新, 打破学生原有认知结构的平衡状态, 刺激学生认知结构根据问题情境进行自我组织, 促进认知发展. 从直角三角形边角关系切入, 符合从特殊到一般的思维过程. abc??sinAsinBsinC的正弦的比相等, 即： ①教师启发：刚才在直角三角形中已经证明了, 那么能否把锐角三角形转化为直角三角形来求证？——可以构造直角三角形 ②如何构造直角三角形？——作高线（例如：作CD⊥AB，则出现两C 个直角三角形） ③将欲证的连等式分成ba b 两个等式证明，若先证ab教师引导,?明 ，那么sinAsinB学生回答,A 证明猜想如何将A、B、a、b联系B c D 师生共同探得出定理 起来？ 究,尝试一——在两个直角三角形Rt△BCD与Rt△ACD题多证. 中，CD是公共边： 在Rt△BCD中，CD= a sin B在Rt△ACD中，CD= bsinA ?asinB?bsinA?a?bsinAsinB bc④如何证明 sin B ? sin C ？ ——作高线AE⊥BC，同理可证. 若△ABC为钝角三角形，以上结论是否成立? 1、正弦定理如何表述？ 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，都等于这个三角形的外接圆的直径. 2、正弦定理的本质： 定理明晰 学生总结，正弦定理是三个恒等式，即在等式中，都涉及深入认识 教师归纳 三角形两个边及这两边所对的角. 3、 解决三角形中的问题： 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角;已知两角和一边，求其他角和边. 把不熟悉的问题转化为熟悉的问题, 引导启发学生利用已有的知识解决新的问题. 学生在合作交流、与人分享的探讨的氛围中倾听、思考、表述，体验成功的喜悦；学会合作，并在合作中懂得欣赏他人；提高分析能力. 从形式和内容进一步让学生明确正弦定理所反映出的规律. 例1 已知 ,A?300,B?1350,a?2解三角形. 变式：若将a=2 改为c=2，结果如何？ 例 2、已知a=16， b= 16 3 ， A=30°, 解三角形. 变式: a= , b=16, A=60°，解三角形 163运用定理 学生解题，探究课题引入时，问题的解决方法 解决问题 教师小结 让学生用正弦定理重新解题，感觉比原来的方法简便多了,使学生认为艰辛的付出有了回报,感受收获的喜悦,体验成功的乐趣. 通过反思，深化 小结： 学生反思总 课堂小结 布置作业 1、在这节课中，学习了哪些知识？ 2、包含了哪些数学思想和数学方法？ 思考： 1、用正弦定理证明三角形面积结，教师完善评价 学生知识理解、完善学生认知结构. S?ABC?111absinC?bcsinA?acsinB222 2、已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解? 【板书设计】

课题 一、结合实例 提出问题 二、观察特例 提出猜想 三、证明猜想 得出定理 四、定理明晰 深入认识 五、运用定理 解决问题 六、课堂小结 布置作业

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