高中数学第二章概率2 - 5随机变量的均值和方差数学期望的计算方法及其应用素材苏教版选修2 - 3

数学期望的计算方法及其应用

摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。

关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT：

第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用 1.1 利用数学期望的定义，即定义法

定义：设离散型随机变量Ｘ分布列为

[1]

X x1 x2 p2 …… …… xn pn P p1 则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=

?xp(x)

iii?1nin注意：这里要求级数?xp(x)绝对收敛，若级数?xiii?1i?1np(xi)不收敛，则随机变量Ｘ的数学期望不存在

?2?

例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？ 解 设Ｘ表示该推销人用船运送货物时每箱可得钱数，则按题意，Ｘ的分布为

X P 10 8 5 -6 0.6 0.2 0.1 0.1 按数学期望定义，该推销人每箱期望可得

E(X)?10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元

1.2 公式法

对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。

0??1（1） 二点分布：X~??p1?p??，则E?X??p

??（2） 二项分布：X~B(n,p)，0?p?1，则E(X)?np

（3） 几何分布：X~G(p),则有E(X)?1 p（4） 泊松分布：X~P(?)，有E(X)?? （5） 超几何分布：

X~h(n,N,M),有E(X)?nM N例2 一个实验竞赛考试方式为：参赛者从6道题中一次性随机抽取3道题,按要求独立完成题目.竞赛规定：至少正确完成其中2题者方可通过,已知6道备选题中参赛者甲有4题能正确完成,2题不能完成；参赛者乙每题能正确完成的概率都是2,且每题正确完成与否互不影响. 3分别求出甲、乙两参赛者正确完成题数的数学期望.

解 设参赛者甲正确完成的题数为X,则X服从超几何分布,其中

N?6,M?4,n?3,

∴E(X)?n设参赛者乙正确完成的题数为Y,则

M4?3??2 N622Y~B(3,),E(Y)?np?3??2

331.3 性质法

利用数学期望的性质求期望，主要性质有：

E(c)?c E(aX)?aE(X) E(aX?b)?aE(X)?b

其中X为随机变量，a,b,c为常数。

例3 某工程队完成某项工程的时间X(单位：月)是一个随机变量，它的分布列为

X P 10 11 12 13 0.4 0.3 0.2 0.1 （1）试求该工程队完成此项任务的平均月数； （2）社该工程队所获利润为Y?50(13?X),单位为万元。试求工程队的平均利润。 解（1）根据题意，我们可求平均月数为：

E(X)?10?0.4?11?0.3?12?0.2?13?0.1?11月

（2）由（1）知E(X)?11，则可得

E(Y)?E(50(13?X))

?E(650?50X)?650?50E(X)

?650?50?11?1001.5 利用逐项微分法

?3?

这种方法是对于概率分布中含有参数的随机变量而言的，我们可以通过逐项求微分的方法求解出随机变量的数学期望，关键步骤是对分布列的性质导，从而解出数学期望。

例5 设随机变量X~G(p)，求E(X)。

k?1解 因为X~G(p)，故P(X?k)?p(1?p) 其中0?p?1

??pi?1?i?1两边关于参数进行求

k?1,2,?

则

?p(1?p)k?1k?1?1 （1）

对（1）式两边关于p求导得

???1?p??k?1k?1?p(k?1)(1?p)k?2?0

???1?p?k?1??k?1??kp(1?p)k?1??k?2??p?1?p?k?1?k?2?0?111k?1k?1k?1??????p1?p?kp1?p?p1?p?0???pk?11?pk?11?pk?1根据数学期望的定义知：E?X??

?kp?1?p?k?1?k?1且知

?p(1?p)k?1?k?1?1

因此上式可以写成：

111?E?X???0 p1?p1?P1 p从而解得 E?X??1.6 利用条件数学期望公式法

条件分布的数学期望称为条件数学期望，它主要应用于二维随机变量?X,Y?。在?X,Y?为二维离散随机变量场合下，其计算公式为：E?X??EXY?y?或E?Y??EYX?x????xP?X?xY?y?

iii???yP?Y?yjjjX?x?

例6 设二维离散随机变量?X,Y?的联合分布列为 Y 0 0 1 2 3 4 5 0.09 0.08 0.06 0.05 0.07 0.06 0.05 0.06 0.05 0.05 0.05 0.06 0.03 0.04 0.05 0.04 0.01 0.02 0.03 0.02 0 0.01 0.01 0.01 1 2 3 X 试求EXY?2和EYX?0

解 要求EXY?2，首先得求PXY?2

?????????P?X?0Y?2??0.011?

0.01?0.03?0.05?0.05?0.05?0.0625355同理可得P?X?1Y?2?? P?X?2Y?2?? P?X?3Y?2??

25252556P?X?4Y?2?? P?X?5Y?2??

25255?E?XY?2??xiP?X?xiY?2??0?i?03555678 ?2??3??4??5??252525252525用同样的方法，我们可得EYX?0?2 1.7 利用重期望公式法

重期望是在条件期望的基础之下产生的，EXY?y是y的函数，对y的不同取值，条件期望EXY?y的取值也在变化，因此我们可以把EXY看作一个随机变量。重期望的公式是E?X??EEXY,此公式的前提是E?X?存在。如果是Y一个离散随机变量，则重期望公式可改写成为E?X???????????????E?XY?y?P?Y?y?

jjj例7 口袋中有编码为1,2,3,?,n的n个球，从中任取一球，若取到1号球，则得1分，且停止摸球；若取得i号球(i?2)，则得i分，且将此球放回，重新摸球。如此下去，试求得到的平均总分数。

解 记X为得到的总分数，Y为第一次取到的球的号码，则

P?Y?1??P?Y?2????P?Y?n??1 n又因为EXY?1?1，而当i?2时，EXY?i?i?E?X? 所以

????E?X???E?XY?i?P?Y?i??i?1n1?1?2???n??n?1?E?X?? n由此解得 E?X??n?n?1? 2第二节 连续型随机变量数学期望的计算方法及应用

连续型随机变量的数学期望的定义和含义完全类似于离散随机变量的，只要在离散随机变量的数学期望定义中用密度函数p?x?代替分布列?p?xi??，用积分是代替和式，即得到连续场合下数学期望的定义。 2.1 定义法

?4?

设连续随机变量X有密度函数p?x?，如果积分

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