数理统计基本概念教案

第17讲 ?分布 t分布 F分布 正态总体统计量的分布

2教学目的： 掌握?2分布、t分布、F分布及正态总体统计量的分布。 教学重点： ?2分布、t分布、F分布。 教学难点： 正态总体统计量的分布。 教学时数： 2学时。 教学过程：

第五章 数理统计的基本知识

§5.4 ?分布、t分布、F分布

21.

?2分布

定理1 设随机变量X1,X2,?,Xk相互独立，且均服从N?0,1?，则随机变量

k?2??X

2ii?1的概率密度为

kx?1??1x2e2,??k?f?2?x???2k2?????2????0,x?0;

x?0.我们称随机变量?2服从自由度为k的?2分布，记作?2~?2?k?。

注（1）可以证明，?2分布具有可加性：即若随机变量?12和?22相互独立，且

?1~?22?k1?, ?2222~?2?k2?

则

?1??2~?2?k1?k2?.

（2）上?分位数：对于不同自由度k及不同的数??0???1?，定义??2是自由度为k的?2分布上?分位数，如果其满足

P??2????2????2??f?2?x?dx??

2. t分布

2Y服从自由度为k的?分布，定理2 设随机变量X与Y相互独立，X服从N?0,1?，

则随机变量

1

t?XYk

的概率密度为

?k?1?k?1????2x?2?2???1??ft?x?? ??kk???k??????2?我们称随机变量t服从自由度为k的t分布，记作t~t?k?。

注（1）可以证明，当自由度k??时，t分布将趋于N?0,1?。

（2）上?分位数：对于不同的自由度k及不同的数??0???1?，定义t?是自由度为k的t分布上?分位数，如果其满足

P?t?t??????t?ft?x?dx??

3.

F分布

定理3 设随机变量X与Y相互独立，分别服从自由度为k1与k2的?2分布，则随机变量

F?Xk1Yk2

的概率密度为

??k1?k2?????2k2k???k11k22fF?x????k??k?12???????22??????0,k12x2?1?k1x?k2?k1?k22,x?0;

x?0.我们称随机变量F服从自由度为?k1,k2?的F分布，记作F~F?k1,k2?。其中k1称为第一自由度，k2称为第二自由度。

注 （1）上?分位数：对于不同的自由度?k1,k2?及不同的数??0???1?，定义F?是自由度为?k1,k2?的F分布上?分位数，如果其满足

P?F?F??????F?fF?x?dx??

2

（2） 容易证明，F1???k1,k2??F??k2,k1??1。

§5.5 正态总体统计量的分布

1. 单个正态总体的统计量的分布

从总体X中抽取容量为n的样本X1,X2,?,Xn，样本均值与样本方差分别是

X?1n?nXi,S2?i?1?X?n?1i?11n2i?X?.

2??2定理1 设总体X服从正态分布N??,??，则样本均值X服从正态分布N???,n???，??即

??2X~N???,n??? ??证 因为随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，并且与总体X服从相同的正态分布

??2N??,??，所以由§4.3中的定理知，它们的线性组合X服从正态分布N???,n?2??。 ??定理2 设总体X服从正态分布N??,?N?0,1?，即

u?X??2?，则统计量u?X???n服从标准正态分布

?n~N?0,1?

由定理1结论的标准化即得到定理2。 定理3 设总体X服从正态分布N??,?度为n的?2分布，即

?22?，则统计量?2?1?2??Xi?1ni?X?2服从自由

?1?2??Xi?1ni?X?2~?2?n?

证 注意到Xi~N??,?2?，则

Xi???~N?0,1?, i?1,2,?,n

又上述统计量相互独立，并按照?2分布的定义可得结果。

定理4 设总体X服从正态分布N??,?2?，则

（1）样本均值X与样本方差S2相互独立；

3

（2）统计量??2?n?1?S2?2服从自由度为n?1的?2分布，即

?2??n?1?S2?2~?2?n?1?

证明略。

定理5 设总体X服从正态分布N??,?t分布，即

t?X??Sn~t?n?1?

2则统计量t??，

X??Sn服从自由度为n?1的

证 由定理2知，统计量

u?X???n~N?0,1?

又由定理4知，统计量

?2??n?1?S2?2~?2?n?1?

因为X与S2相互独立，所以u与?2也相互独立，于是根据t分布的定义得结论。

2. 两个正态总体的统计量的分布

从总体X中抽取容量为nx的样本X1,X2,?,Xn，从总体Y中抽取容量为ny的样本

xY1,Y2,?,Yny。假设所有的抽样都是相互独立的，由此得到的样本Xi?i?1,2,?,nx?与

Yj?j?1,2,?,ny?都是相互独立的随机变量。我们把取自两个总体的样本均值分别记作

X?1nxnx?Xi?1i, Y?1nyny?Yj?1j

样本方差分别记作

Sx?21nx?1??Xi?1nxi?X?2, Sy?21ny?1??Yj?1nyj?Y?2

2?，则统定理6 设总体X服从正态分布N??x,?x2?，总体Y服从正态分布N??y,?y计量

4

U??X?Y????x??y??2xnx??2y

ny服从标准正态分布N?0,1?，即

U??X?Y????x??y??2xnx??2y~N?0,1?

ny证 由于独立的正态统计量的线性组合服从正态分布，所以

22??y?xX?Y~N??x??y,??nxny?????

标准化即得结论。

当?x??y??时，我们有 推论 设总体X服从正态分布N??x,?量

U?2?，总体Y服从正态分布N??~N?0,1?

y,?2?，则统计

?X?Y????x??y??1nx?1ny2定理7 设总体X服从正态分布N??x,?计量

T??，总体Y服从正态分布N??~t?nx?ny?2?

,?y2?，则统

?X?Y????x??y?S?1nx?1ny其中

S???nx?1?Sx??ny?1?Sy22nx?ny?2

证 由定理6的推论知，统计量

U??X?Y????x??y??1nx?1ny~N?0,1?

又由定理4知

5

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