立体几何三视图1

空间几何体的三视图

1．多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱 锥 棱 台 名称 棱柱 棱锥 棱台 侧面积(S侧) 各侧面积之和 各侧面积之和 各侧面面积之和 全面积(S全) 体 积(V) S侧+2S底 S侧+S底 S侧+S上底+S下底 球 22．旋转体的面积和体积公式 圆柱 2πrl 2πr(l+r) 圆锥 πrl Πr(l+r) 圆台 π(r1+r2)l π(r1+r2)l+π(r1+r2) 2S侧 S全 V 4πR 2表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥的底面半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示球的半径。

3．.三视图画法规则

高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正

宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等

基础训练

1 有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )

A 棱台 B 棱锥 C 棱柱 D 都不对

主视图 左视图 俯视图

2 棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）

A 3 B 23 C 33 D 43 3、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是

①正方体

②圆锥

③三棱台

④正四棱锥

（A）① ② （B）① ③ （C）① ④ （D）② ④

4、如图（下图左）是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

（ ）

A．9π B．10π C．11π D．12π

5.如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是

2

____________________ cm.

6.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 （ ）

Ａ．

4000380003cm Ｂ．cm Ｃ．2000cm3 Ｄ．4000cm3 3320

正视图 2020侧视图

10 10 20俯视图

7. 上图为一个多面体的三视图，其中正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是边长为1的正方形，则它的表面积是（ ）

A．3?1 B．3 C．3 D．2

8．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积等于 cm3。

空间几何体三视图的强化训练

1.若某几何体的三视图如图所示，均是直角边长为1的等腰直角三角形，则此几何体的体积是

第1题图

2．某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）

A．23

B．3 C．

3333 D．42

3．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个

几何体的体积是 （ ）

正视图 侧视图 俯视图

2 4 2 2

A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 4.．如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是 。

242 3333

俯视图 正视

3 4 侧视2 4 2 (第6题) 5.一空间几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 _________

6.若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示,则此几何体的体积是＿＿＿＿＿cm3．

7.已知一个空间几何体的三视图如图1所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，

根据图中标出的尺寸 (单位:cm)，可得这个几何体的体积是（ ） A 2 侧视图 ．πcm

2 3 2 俯视图

正视图 （第8题）

3

B．C．

4?3cm cm

3

3

1 1 2 正视图 1 1 5?33

D．2π cm

2 侧视图

第9题

俯视图

8.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ．

9.若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体的表面积是 ． 10.已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是 （ ） A.4?1 1 主视1 2 B. 2?2 C.3?2 D.6

1 侧视

1 附视

2图10

11．如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1?平面ABC,正视图如图所示，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图面积为 （ ） A．4 B．23 C．22 D．3

12、如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1?面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图面积为 （ ）.A. 4 B. 23 C. 22 D.

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13.图2为一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为 （ ）

A．6 B．123 C．24 D．32

俯视图

主视图左视图俯视图正视图

侧视图

14.如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 ( ) ．．．

A．

3? 2

B2? C．3?

D．4?

15.．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为

3，且一个内角 2为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为 .

空间点、直线、平面之间的位置关系

一，平面的基本性质及公理

（1）公理1：_________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

形：____________________________________________________________________________ 符号语言：________________________________________这是判断直线在平面内的常用方法。 （2）公理2：_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

形：_________________________________________________________________________________

符号语言：______________________________________________________________________________

（3）公理3：_________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

图形：________________________________________

符号语言：_________________________________________________________________________

（4）公理4：(_平行公理)________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ 图形:____________________________________________________________________________ 符号语言：_________________________________________________________________________

2．等角定理：___________________________________________________________________ 二．位置关系

1．直线与直线的位置关系：____________________________________________ 2．．直线与平面的位置关系：______________________________________________ 3．平面与平面的位置关系：______________________________________________ 三．平行关系

1．线//线 ?线//面 定理：___________________________________________ ____________________________________________________________________

图形：___________________________________________ 符号：____________________________________________

2．线//面 ?面//面 定理：___________________________________________

____________________________________________________________________

图形：___________________________________________ 符号：____________________________________________

3．面//面 ?线//面 定理：___________________________________________ ____________________________________________________________________

图形：___________________________________________ 符号：____________________________________________

4．线//面 ?线//线 定理：___________________________________________ ____________________________________________________________________

图形：___________________________________________ 符号：____________________________________________

5．线//线 ?面//面 定理：___________________________________________ ____________________________________________________________________

图形：___________________________________________ 符号：____________________________________________

6．面//面 ?线//线 定理：___________________________________________ ____________________________________________________________________

图形：___________________________________________ 符号：____________________________________________

线面平行判定

1.如图所示，四边形ABCD为矩形,设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．

求证：MN∥平面DAE；

面面平行判定

2、P是?ABC所在平面外一点，A?,B?,C?分别是?PBC、?PCA、?PAB的重心，求证：平面ABC//平面A?B?C?；

P B?

A

M

B

C?

A?

Q

N

C

直线和平面平行及平面与平面平行强化训练

1.?,?是两个不重合平面，l,m是两条不重合直线，那么?//?的一个充分条件是（ )

(A)l??，m??，且l//?，m//? (B)l??，m??，且l//m (C)l??，m??，且l//m (D)l//?，m//?，且l//m

2.已知直线a、b和平面?，那么a//b的一个必要不充分的条件是 （ )

(A)a//?，b//? (B)a??，b?? (C)b??且a//? (D)a、b与?成等角

3．?、?表示平面，a、b表示直线，则a//?的一个充分条件是 （ ) (A)???，且a?? (B)????b，且a//b (C)a//b，且b//? (D)?//?，且a??

4.下列命题中，正确命题的个数是___________ . ①若直线l上有无数个点不在平面?内，则l∥?;

②若直线l与平面?平行，则l与平面?内的任意一条直线都平行；

③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行； ④若直线l与平面?平行，则l与平面?内的任意一条直线都没有公共点.

5.下列条件中，不能判断两个平面平行的是 ________________ （填序号）.

①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 ④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

6.对于平面?和共面的直线m、n，下列命题中假命题是 _______________ （填序号）. ①若m⊥?，m⊥n，则n∥? ②若m∥?，n∥?，则m∥n

③若m??，n∥?，则m∥n ④若m、n与?所成的角相等，则m∥n 7.已知直线a,b,平面?，则以下三个命题：

①若a∥b,b??,则a∥?; ②若a∥b,a∥?,则b∥?; ③若a∥?,b∥?,则a∥b. 其中真命题的个数是__________ .

8.下列命题，其中真命题的个数为 __________ . ①直线l平行于平面?内的无数条直线，则l∥?； ②若直线a在平面?外，则a∥?; ③若直线a∥b,直线b??,则a∥?；

④若直线a∥b,b??,那么直线a就平行于平面?内的无数条直线. 9.对于不重合的两个平面?与?，给定下列条件：

①存在平面?，使得?，?都垂直于?; ②存在平面?，使得?，?都平行于?; ③存在直线l??,直线m??,使得l∥m;

④存在异面直线l、m，使得l∥?,l∥?,m∥?,m∥?.

其中，可以判定?与?平行的条件有 _________________ （写出符合题意的序号）. 10.（2008·海南宁夏文）已知平面?⊥平面?,?∩?=l,点A∈?,A?l,直线AB∥l,直线

AC⊥l,直线m∥?,m∥?,则下列四种位置关系中,一定成立的是_________ . ①AB∥m

②AC⊥m ③AB∥?

④AC⊥?

11。如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点

求证：（1）直线EF∥平面PCD；

12如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，?ADC?450，

AD?AC?1，O为AC中点，PO?平面ABCD，PO?2，M为PD中点．（Ⅰ）证明：PB//平面ACM

P

MDOACB

3.．正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；

(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．

A1

D1

B1 C1

D F

G E C

A

B

线线和线面垂直关系

1．线?线?线?面 定理：__________________________________________

图形：__________________________________________________ 符号：_________________________________________________

2．线?面?面?面 定理：__________________________________________

图形：__________________________________________________ 符号：_________________________________________________

3．面?面?线?面 定理：__________________________________________

图形：__________________________________________________ 符号：_________________________________________________

4．线?面?线?线 定理：__________________________________________

图形：__________________________________________________ 符号：_________________________________________________

5.线?面?线//线 定理：__________________________________________

图形：__________________________________________________ 符号：_________________________________________________

1.下列命题正确的是： （ ） （1）如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于平面；

（2）如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； （3）如果一条直线和两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于平面；

（4）如果一条直线和一个平面内任何一条直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面； A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（3）（4） 2．已知直线a??,b//?，则直线a,b的位置关系是 （ ） A．a//b B．a?b C．a,b垂直相交 D．a,b异面垂直 3.下列命题中正确的是 （ ）

a//b?b???a???b//??（1）??b?? （2）??b//? （4）??a//b （3）??a?b

a???a?b?a???a???A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4） 4。已知E,F分别是正方形ABCD边AD,AB的中点，EF交AC于M，GC?平面

G D E M C ABCD，求证：EF?平面GMC；

5、棱锥S－ABCD中，已知AB∥CD， SA＝SB，SC＝SD，E、F分别为AB、CD的中点． (1)求证：平面SEF⊥平面ABCD；

6.在底面是正方形的四棱锥P–ABCD中，PC=PD=CD=2．

（I）求证：PD⊥BC；

（II）求直线PA与平面ABCD所成的角的正弦值． P

D C A B

平面PCD⊥平面ABCD，

线线和线面垂直关系

1.对于直线m,n和平面?,?，???的一个充分条件是 （ ）

(A)m?n，m//?,n//? (B)m?n,???m,n?? (C)m//n,n??,m?? (D)m?n,m??,n??

2．设l,m,n表示三条直线，?,?,?表示三个平面，给出下列四个命题：

①若l??,m??，则l//m；②若m??,n是l在?内的射影，m?l，则m?n； ③若m??,m//n，则n//?； ④若???,???，则?//?． 其中真命题是 （ ） (A)①②

3.已知PA垂直于圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆O上任意一点，过点A作AE?PC于点E，求证：（1`）BC?面PAC；（2）AE?面PBC。

(B)②③ (C)①③ (D)③④

AH?PD于H点，PB?PC,AB?AC，4.三棱锥P?ABC中，点D为BC中点，连BH，求证：平面ABH?平面PBC

PHADBC

5、直角梯形ABCD中，AB//CD,AB?BC过A作AE?CD，垂足为E、G、F分别为AD、CE的中点，现将?ADE沿AE折叠，使DE?EC (1) 求证：BC?面CDE (2) 求证：FG//面BCD

6.如图，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，

DC?BC?2PA,E、F分别为DB、CB的中点，

（I）证明：AE⊥BC；

（II）求直线PF与平面BCD所成的角。

PDECFA第4题图

B

立体几何训练题（一）

1.如图，在矩形ABCD中，AB?33,BC?3，沿对角线BD把?BCD折起到?BPD位

置，且P在面ABC内的.如图，在矩形ABCD中，AB?33,BC?3，沿对角线BDP 把?BCD折起到?BPD位置，且P在面ABC内的 射影O恰好落在AB上 （1）求证： AP?BP；

（2）求AB与平面BPD所成的角的正弦值. （3）求二面角P-AD-B的大小 （4）求二面角P-BD-A的大小

2.如图，四边形又

＝1，∠

是直角梯形，∠＝120°，⊥平面

⊥；

＝90°，，直线

∥

，

＝1，

＝2，

B O A

C D

与直线所成的角为60°.

（1）求证：平面（2）求

与平面ABC所成角的余弦值.

ABC位于平行四边形ACDE3.如图,侧棱垂直底面的三棱柱ABC?A1B1C1的底面

B为DE中点. 中,AE?2,AC?AA1?4,?E?60?,点

（1）求证:平面A1BC?平面A1ABB1. （2）求AC1与平面A1ABB1所成的角的正弦值.

立体几何训练题（二）

1.如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，

面ABC，FC//EA，AC=4，EA=3，FC=1。 （1）求证：

（2）求平面BMF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值。

于点M，

平

2..在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为23的正三角形，点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点． （Ⅰ）求证：A1A⊥BC；

（Ⅱ）当侧棱AA1和底面成45°角时，求二面角A1—AC—B的大小余弦值； A1 C1

A D

B1

B

O

C

空间点、直线、平面之间的位置关系

平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两个点在平面内，

那么这条直线上所有的点都在平面内

公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

即不共线的三点确定一个平面

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，

且所有这些公共点的集合是过这个公共点的一条直线

空间中两直线的位置关系

公理4：平行于同一直线的两条直线平行

等角定理：

两条异面直线所成角

直线与平面有位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 两个平面之间有位置关系：

（1）两个平面平行 —— 没有公共点

（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 基础训练

1、下列图形不一定是平面图形的是

A、三角形

B、梯形

C、四边形

D、平行四边形 2、如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，直线BC1和直线A1D所成的角为

A、90?

B、45?

C、60?

D、30?

3、若直线a与直线b,c所成的角相等，则b,c的位置关系为

A、相交 C、异面

B、平行

D、以上答案都有可能

4、空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ） A．3 B．1或2 C．1或3 D．2或3

图所示，四边形ABCD为矩形,设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．

求证：MN∥平面DAE；

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