2016届高三数学一轮总复习：专题17-坐标系与参数方程(含解析，选

专题十七、选修4-4 坐标系与参数方程

重点1 坐标系与参数方程

1．极坐标和直角坐标互化的前提条件是： （1）极点与直角坐标系的原点重合；

（2）极轴与直角坐标系的x轴正半轴重合；

（3）两种坐标系取相同的长度单位．设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(?,?)，则互化公式是??x??cos??y??sin???2?x2?y2?或?，y；若把直角坐标化为极坐标，求极角?时，应注意判断点P所在的象限（即角?的终边的位置）?tan??x?以便正确地求出角?，在转化过程中注意不要漏解，特别是在填空题和解答题中，则更要谨防漏解．

2．消去参数是参数方程化为普通方程的根本途径，常用方法有代入消元法（包括集团代人法）、加减消元法、参数转化法和三角代换法等，转化的过程中要注意参数方程中x,y含有的限制条件，在普通方程中应加上这种限制条件才能保持其等价性.

3．参数方程的用途主要有以下几个方面：

（1）求动点(x,y)的轨迹，如果x,y的关系不好找，我们引入参变量t后，很容易找到x与t和y与t的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程.此时参数方程在求动点轨迹方程中起桥梁作用．

（2）可以用曲线的参数方程表示曲线上一点的坐标，这样把二元问题化为一元问题来解决，这也是圆锥曲线的参数方程的主要功能．

（3）有些曲线参数方程的参变量t有几何意义．若能利用参变量的几何意义解题，常会取得意想不到的效果．如利用直线标准参数方程中t的几何意义解题，会使难题化易、繁题化简.

[高考常考角度]

角度1 若曲线的极坐标方程为??2sin??4cos?，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 .

解析：关键是记住两点：1、x??cos?,y??sin?，2、??x?y即可.

由已知??2sin??4cos????2?2?sin??4?cos???x2?y2?2y?4x,?x2?y2?4x?2y?0为所求.

角度2在极坐标系中，点 (?,222??) 到圆??2cos?的圆心的距离为（ ）

A. 2 B. 4??29 C. 1??29 D. 3 解析：极坐标(?,,2sin)，即(1,3).圆的极坐标方程??2cos?可化为33?，则由两点间距离?2?2?cos?，化为直角坐标方程为x2?y2?2x，即(x?1)2?y2?1，所以圆心坐标为（1,0）

?)化为直角坐标为(2cos??公式d?(1?1)2?(3?0)2?3.故选D.

- 1 -

52??x?t??x?5cos?角度3 已知两曲线参数方程分别为?(0≤?＜?)和?4(t?R)，它们的交点坐标为 .

??y?sin???y?t52??x?t4x2??x?5cos?22?y?1(y?0)，?解：?表示椭圆4表示抛物线y?x

55??y?sin??y?t??x2?y2?1??5??x2?4x?5?0??x?1或x??5（舍去）联立得?，

?y2?4x?5?25又因为y?0，所以它们的交点坐标为(1,)

5

角度4 直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A,B分别在曲线C1：

?x?3?cos?（?为参数）和曲线C2：??1上，则|AB|的最小值为 ． ?y?4?sin??点评：利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．

2222解析：曲线C1的方程是(x?3)?(y?4)?1，曲线C2的方程是x?y?1，两圆外离，所以|AB|的最小值为

32?42?1?1?3．

?x?cos??x?acos?角度5 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?（?为参数），曲线C2的参数方程为??y?sin??y?bsin?（a?b?0，?为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：???与C1，C2各有一个交点．当??0时，这两个交点间的距离为2，当?=

?2时，这两个交点重合．

（Ⅰ）分别说明C1,C2是什么曲线，并求出a与b的值； （Ⅱ）设当?=的面积．

?4时，l与C1,C2的交点分别为A1,B1，当?=??4时，l与C1,C2的交点为A2,B2，求四边形A1A2B2B1x2y2解析：（Ⅰ）C1,C2的普通方程分别为x?y?1和2?2?1，故C1是圆，C2是椭圆.

ab22 当??0时，射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a?3. 当???2时，射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b)，因为这两点重合，所以b?1.

22x2?y2?1. （Ⅱ）C1,C2的普通方程分别为x?y?1和9- 2 -

当???4时，射线l与C1交点A1的横坐标为x?2310，与C2交点B1的横坐标为x??. 210当????4时，射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称，因此，四边形A1A2B2B1为梯形.

故四边形A1A2B2B1的面积为

(2x??2x)(x??x)2?.

25规避2个易失分点

易失分点1 参数的几何意义不明

1?x?t?2?典例 已知直线l的参数方程为?（t为参数），若以平面直角坐标系xOy中的O点为极点，Ox方向

?y?2?3t??22为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为??2cos(??（1）求直线l的倾斜角；

（2）若直线l与曲线C交于A,B两点，求|AB|．

易失分提示：对直线参数方程中参数的几何意义不明确导致错误．

?4).

??x?tcos?23?解析：（1）直线的参数方程可以化为?，根据直线参数方程的意义，直线l经过点(0,)，倾斜角

2?y?2?tsin??23?为

?. 32，即23x?2y?2?0 22222)?(y?)?1， 22（2）l的直角坐标方程为y?3x?曲线C??2cos(???4)的直角坐标方程为(x?所以圆心(22,)到直线l的距离d?22|23?22?2??2|622? 412?4所以 |AB|?2?1?(6210 )?42

易失分点2 极坐标表达不准

典例 已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为?cos??3,??4cos?,??0,则曲线C1与C2交点的极坐标为

- 3 -

_________________

???23???23??cos??3???????易失分提示: 本题考查曲线交点的求法，易错解为：由方程组? ???3???4cos??cos?????或?66??2（23,即两曲线的交点为

?6)或（23,??6)

???23???23???23??cos??3????????正解解析：由方程组?或 ????3??2k?????4cos??cos?????2k??6??6??2即两曲线的交点为(23,2k???)或(23,2k??),k?Z

66?在极坐标系中，有序实数对的集合{(?,?)|?,??R}与平面内的点集不是一一对应的.给出一个有序数对

(?,?)，(?,?)在极坐标系中可以唯一确定一个点，但极坐标系中的一点，它的极坐标不是唯一的，若点M不是极点，

是它的一个掇坐标，那么M有无穷多个极坐标(?,??2k?)与(??,??(2k?1)?),k?Z

各类题型展现：

1. （本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C方程为??x?5cos?(?为参数）

?y?3sin?（1）求过椭圆的右焦点，且与直线??x?4?2t(t为参数）平行的直线l的普通方程.

y?3?t?（2）求椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值。

x2y2??1,?c?25?9?4，右焦点为(4,0)， 解析：（1）由已知得椭圆的普通方程为

259直线的普通方程为x?2y?2?0，所以k?11,于是所求直线方程为y?(x?4)即x?2y?4?0. 22（2）S?4|xy|?60sin?cos??30sin2?， 当2??2. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆C的圆心C(2, （Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

?2时，面积最大为30.

?4)，半径r?3.

?x?2?tcos??l??[0,) （Ⅱ）若，直线的参数方程为?（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长AB4y?2?tsin??的取值范围.

- 4 -

解析：（Ⅰ）方法一：∵圆心C(2,?4)的直角坐标为(1,1)，∴圆C的直角坐标方程为?x?1?2??y?1?2?3.

化为极坐标方程是?2?2??cos??sin???1?0.

方法二：如图，设圆C上任意一点M??,??，则CM?OM?OC?2OM?OCcos?COM

222(3)2??2?(2)2?2??2cos(??) 化简得?2?2??cos??sin???1?0.．．．．．．．．4分

4（Ⅱ）将???x?2?tcos?22代入圆C的直角坐标方程?x?1???y?1??3，

?y?2?tsin?22得?1?tcos????1?tsin???3 即t?2t?sin??cos???1?0

2COM所以 t1?t2??2?sin??cos??,t1?t2??1. 故AB?t1?t2?∵??[0,x?t1?t2?2?4t1t2??4?sin??cos???4?22?sin2?，

2?)??2??[0,)，∴22?AB?23 ， 42即弦长AB的取值范围是[22,23).．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 3. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

?2x?t???2已知直线l的参数方程是（t是参数），圆C的极坐标方程为??2cos(??). ?4?y?2t?42??2（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；

（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值。

解析：（Ⅰ）由??2cos(???4)????2cos??2sin????2?2?cos??2?sin?

得 圆的直角坐标方程为x2?y2?2x?2y?0 即(x?2222)?(y?)?1， 22所以 圆心C的直角坐标为(22,?) 22（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，切线长为

(222222?)?(t?42?)?1?t2?8t?40?(t?4)2?24?26 2222所以，当t??4时，切线长的最小值为26

4.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l上两点M,N的

- 5 -

极坐标分别为(2,0),(?x?2?2cos?23?(?为参数） ,)，圆C的参数方程?32?y??3?2sin?（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；

（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系。

解析：（Ⅰ）由题意知，M,N的直角坐标为M(2,0)，M(0,233)，因为P是线段MN中点，则P(1,) 33因此OP直角坐标方程为 y?3x 323) 3（Ⅱ）因为直线l上两点M(2,0)，M(0,∴l的方程为：

xy??1即x?3y?2?0，又圆心(2,?3)，半径r?2. 2233所以d?|2?3?2|3??2?r,故直线l和圆C相交. 22

5.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C1:x2?y2?4，圆C2:(x?2)2?y2?4

（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1,C2的极坐标方程，并求出圆C1,C2的交点坐标（用极坐标表示）

（2）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程

??=2?解析：圆C1的极坐标方程为?=2，圆C2的极坐标方程为?=4cos?，解?得?=2,?=?，

3??=4cos?

故圆C1与圆C2交点的坐标为(2,（2）（解法一）由??),(2,?) ……5分 注：极坐标系下点的表示不唯一

33??x=?cos?，得圆C1与圆C2交点的直角坐标为(1,3),(1,?3)

?y=?sin??x?1故圆C1与圆C2的公共弦的参数方程为?,?3?t?3 (t为参数)

?y?t?x?1（或参数方程写成?,?3?y?3） … 10分

?y?y

?x=?cos?1x?1（解法二）将代入?，得?cos?=1，从而?=

cos?y=?sin???x?1??于是圆C1与圆C2的公共弦的参数方程为?,???? … 10分

3?y?tan?3- 6 -

极坐标分别为(2,0),(?x?2?2cos?23?(?为参数） ,)，圆C的参数方程?32?y??3?2sin?（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；

（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系。

解析：（Ⅰ）由题意知，M,N的直角坐标为M(2,0)，M(0,233)，因为P是线段MN中点，则P(1,) 33因此OP直角坐标方程为 y?3x 323) 3（Ⅱ）因为直线l上两点M(2,0)，M(0,∴l的方程为：

xy??1即x?3y?2?0，又圆心(2,?3)，半径r?2. 2233所以d?|2?3?2|3??2?r,故直线l和圆C相交. 22

5.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C1:x2?y2?4，圆C2:(x?2)2?y2?4

（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1,C2的极坐标方程，并求出圆C1,C2的交点坐标（用极坐标表示）

（2）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程

??=2?解析：圆C1的极坐标方程为?=2，圆C2的极坐标方程为?=4cos?，解?得?=2,?=?，

3??=4cos?

故圆C1与圆C2交点的坐标为(2,（2）（解法一）由??),(2,?) ……5分 注：极坐标系下点的表示不唯一

33??x=?cos?，得圆C1与圆C2交点的直角坐标为(1,3),(1,?3)

?y=?sin??x?1故圆C1与圆C2的公共弦的参数方程为?,?3?t?3 (t为参数)

?y?t?x?1（或参数方程写成?,?3?y?3） … 10分

?y?y

?x=?cos?1x?1（解法二）将代入?，得?cos?=1，从而?=

cos?y=?sin???x?1??于是圆C1与圆C2的公共弦的参数方程为?,???? … 10分

3?y?tan?3- 6 -

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