1990考研数三真题及解析

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1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 极限lim(n?3n?n?n)?_________.

n??(2) 设函数f(x)有连续的导函数,f(0)?0,f?(0)?b,若函数

?f(x)?asinx,x?0,? F(x)??x?A,x?0?在x?0处连续,则常数A=___________.

(3) 曲线y?x2与直线y?x?2所围成的平面图形的面积为_________.

?x1?x2??a1,?x?x?a,?232(4) 若线性方程组?有解,则常数a1,a2,a3,a4应满足条件________.

x?x??a,3?34??x4?x1?a480(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命

81中率为________. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数f(x)?x?tanx?esinx,则f(x)是 ( )

(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 (2) 设函数f(x)对任意x均满足等式f(1?x)?af(x),且有f?(0)?b,其中a,b为非零常

数,则 ( ) (A) f(x)在x?1处不可导 (B) f(x)在x?1处可导,且f?(1)?a (C) f(x)在x?1处可导,且f?(1)?b (D) f(x)在x?1处可导,且f?(1)?ab (3) 向量组?1,?2,(A) ?1,?2,(B) ?1,?2,(C) ?1,?2,,?s线性无关的充分条件是 ( ) ,?s均不为零向量

,?s中任意两个向量的分量不成比例

,?s中任意一个向量均不能由其余s?1个向量线性表示

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(D) ?1,?2,,?s中有一部分向量线性无关

(4) 设A,B为两随机事件,且B?A,则下列式子正确的是 ( )

(A) P?A?B??P?A? (B) P?AB??P?A?

(C) PBA?P?B? (D) P?B?A??P(B)?P?A? (5) 设随机变量X和Y相互独立,其概率分布为

m -1 1 ??m P?Y?m? -1 1 P?X?m?

11 2211 22则下列式子正确的是 ( ) (A) X?Y (B) P?X?Y??0 (C) P?X?Y??1 (D) P?X?Y??1 2

三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1) 求函数I(x)?(2) 计算二重积分

域.

?xelntdt在区间[e,e2]上的最大值. 2t?2t?12?y22Dxedxdy,其中是曲线和在第一象限所围成的区y?4xy?9x??D(x?3)n(3) 求级数?的收敛域. 2nn?1?(4) 求微分方程y??ycosx?(lnx)e?sinx的通解.

四、(本题满分9分)

某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入

R(万元)与电台广告费用x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式:

2R?15?14x1?32x2?8x1x2?2x12?10x2.

(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；

(2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.

五、(本题满分6分)

设f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导数f?(x)在开区间(0,c)内存在且单调减少；

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f(0)?0,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:f(a?b)?f(a)?f(b),其中常数a、b满足条件0?a?b?a?b?c.

六、(本题满分8分)

已知线性方程组

?x1?x2?x3?x4?x5?a,?3x?2x?x?x?3x?0,?12345 ?x?2x?2x?6x?b,345?2??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?2,(1) a、b为何值时,方程组有解?

(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系； (3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.

七、(本题满分5分)

已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得A?0,试证明矩阵E?A可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵).

八、(本题满分6分)

设A是n阶矩阵,?1和?2是A的两个不同的特征值,X1,X2是分别属于?1和?2的特征向量.试证明X1?X2不是A的特征向量.

九、(本题满分4分)

从0,1,2,k,9十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：

A1?{三个数字中不含0和5}；A2?{三个数字中不含0或5}.

十、(本题满分5分)

一电子仪器由两个部件构成,以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X和Y的联合分布函数为:

?1-e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y),若x?0,y?0, F(x,y)??0,其他.?(1) 问X和Y是否独立?

(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率?.

十一、(本题满分7分)

某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72 分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.

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[附表] x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 ?(x) 0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 表中?(x)是标准正态分布函数.

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1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】2

【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子n?3n?n?n. lim(n??n?3n?n?n(n?3n?n?n)?(n?3n?n?n))?lim

n??1n?3n?n?n?limn?3n?n?nn?3n?n?n, n??再分子分母同时除以n,有

原式?limn??41?31?1?nn.

因为limn??4a?2. ?0,其中a为常数,所以原式?1?1n(2)【答案】b?a

【解析】由于F(x)在x?0处连续,故A?F(0)?limF(x).

x?00limF(x)为“”型的极限未定式,又f(x)在点0处导数存在,所以 x?00f(x)?asinxf?(x)?acosxA?lim?lim?b?a.

x?0x?0x1【相关知识点】函数y?f(x)在点x0连续：设函数y?f(x)在点x0的某一邻域内有定义,如果limf(x)?f(x0),则称函数f(x)在点x0连续. x?x0(3)【答案】41 22y 【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令x?x?2, 解得x??1和x?2,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 S???x?2?x?dx

2?1221?1?1??x2?2x?x3??4.

3??12?2(4)【答案】a1?a2?a3?a4?0

?1O 2 x

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?1??, 0?????,??R????, ??0,

?0, ????.???2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数(1)un?un?1,n?1,2,?(?1)n?1?n?1un满足：

; (2)limun?0.

n??则

?(?1)n?1?n?1un收敛,且其和满足0??(?1)n?1un?u1,余项rn?un?1.

n?1?3．p级数：

1当p?1时收敛；当p?1时发散. ?pnn?1?(4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.

?cosxdx??sinx?cosxdxdx?C? y?e?elnxe???????e?sinx[xlnx?x?C]. ?e?sinx?lnxdx?C???方法2: 用函数e?P(x)dx?e?cosxdx?esinx同乘方程两端,构造成全微分方程.

方程两端同乘esinx,得esinxy??yesinxcosx?(yesinx)??(yesinx)??lnx,再积分一次得

yesinx?C??lnxdx?C?xlnx?x.

最后,再用e?sinx同乘上式两端即得通解y?e?sinx[xlnx?x?C].

【相关知识点】一阶线性非齐次方程y??P(x)y?Q(x)的通解为

?P(x)dx??P(x)dxdx?C?, 其中C为任意常数. Q(x)e y?e??????

四、(本题满分9分)

【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为

2??15?14x1?32x2?8x1x2?2x12?10x2?(x1?x2)

?15?13x1?31x2?8x1x2?2x1?10x2.

22由多元函数极值点的必要条件,有

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?????x??4x1?8x2?13?0,?1?x1?0.75,x2?1.25. ??????8x1?20x2?31?0,???x2因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万

元可获最大利润.

(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)

2??15?13x1?31x2?8x1x2?2x12?10x2,

在x1?x2?1.5时的条件最大值.拉格朗日函数为

2L(x1,x2,?)?15?13x1?31x2?8x1x2?2x12?10x2??(x1?x2?1.5),

??L??x??4x1?8x2?13???0,?1??L由 ???8x1?20x2?31???0,

?x?2??L??x1?x2?1.5?0????x1?0,x2?1.5.

因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.

【相关知识点】拉格朗日乘数法:

要找函数z?f(x,y)在附加条件?(x,y)?0下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数

L(x,y)?f(x,y)???(x,y),

其中?为参数.求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：

?fx(x,y)???x(x,y)?0,??fy(x,y)???y(x,y)?0, ???(x,y)?0.由这方程组解出x,y及?,这样得到的(x,y)就是函数f(x,y)在附加条件?(x,y)?0下的可能极值点.

五、(本题满分6分)

【解析】方法1:当a?0时,f(a?b)?f(b)?f(a)?f(b),即不等式成立； 若a?0,因为

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f(a?b)?f(a)?f(b)?f(0) ?[f(a?b)?f(b)]?[f(a)?f(0)]?f?(?2)a?f?(?1)a?a[f?(?2)?f?(?1)],其中0??1?a?b??2?a?b.又f?(x)单调减少,故f?(?2)?f?(?1).从而有

f(a?b)?f(a)?f(b)?f(0)?0,即f(a?b)?f(a)?f(b).

方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b视为变量x,得辅助函数 令F(x)?f(x)?f(a)?f(a?x),x?[0,b],由于f(0)?0,所以F(0)?0,又因为

F?(x)?f?(x)?f?(a?x),且a?0,f?(x)在(0,b)单调减少,所以F?(x)?0,于是F(x)在[0,b]上单调递增,故F(b)?F(0)?0,即

f(a?b)?f(a)?f(b),其中0?a?b?a?b?c.

【相关知识点】拉格朗日中值定理：

如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间?a,b?内可导,那么在?a,b?内至少有一点?(a???b),使等式f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)成立.

六、(本题满分8分)

【解析】本题中,方程组有解?r(A)?r(A).(相关定理见第一题(4))

对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以??3?、??5?分别加到第二、四行上,有

?1?3??0??512141123111?3263?1a??11111?0?1?2?2?60????b??01226??2??0?1?2?2?6a??3a??, b??2?5a?第二行乘以1、??1?分别加到第三、四行上,第二行再自乘??1?,有

?11111?1226?????a?3a??. b?3a??2?2a?(1) 当b?3a?0且2?2a?0,即a?1,b?3时方程组有解. (2) 当a?1,b?3时,方程组的同解方程组是

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?x1?x2?x3?x4?x5?1, ?x?2x?2x?6x?3,345?2由n?r(A)?5?2?3,即解空间的维数为3.取自变量为x3,x4,x5,则导出组的基础解系为

?1?(1,?2,1,0,0)T,?2?(1,?2,0,1,0)T,?3?(5,?6,0,0,1)T.

(3) 令x3?x4?x5?0,得方程组的特解为??(?2,3,0,0,0)T.因此,方程组的所有解是

??k1?1?k2?2?k3?3,其中k1,k2,k3为任意常数.

【相关知识点】若?1、?2是对应齐次线性方程组Ax?0的基础解系,则Ax?b的通解形式为k1?1?k2?2??,其中?1,?2是Ax?0的基础解系,?是Ax?b的一个特解.

七、(本题满分5分)

【解析】若A、B是n阶矩阵,且AB?E,则必有BA?E.于是按可逆的定义知A?B.

如果对特征值熟悉,由A?0可知矩阵A的特征值全是0,从而E?A的特征值全是1,也就能证明E?A可逆.

由于A?0,故

kk?1?E?A?(E?A?A2?所以E?A可逆,且?E?A?

八、(本题满分6分)

?1?Ak?1)?Ek?Ak?E.

?Ak?1.

?E?A?A2?【解析】(反证法)若X1?X2是A的特征向量,它所对应的特征值为?,则由定义有：

A(X1?X2)??(X1?X2).

由已知又有 A(X1?X2)?AX1?AX2??1X1??2X2. 两式相减得 (???1)X1?(???2)X2?0.

由?1??2,知???1,???2不全为0,于是X1,X2线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,X1?X2不是A的特征向量.

【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数?及非零的n维列向量X使得AX??X成立,则称?是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征

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向量.

九、(本题满分4分)

3【解析】样本空间含样本点总数为C10；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 3有利于事件A1的样本点数为C8；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案. 33有利于事件A2的样本点数为2C9；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字?C8除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件A1被加了两次,所

3以应该减去C8.

由古典型概率公式,

333C82C9?C8714. P(A1)?3?;P(A2)??3C1015C1015【相关知识点】古典型概率公式：P(Ai)?

十、(本题满分5分)

有利于事件Ai的样本点数.

样本空间的总数【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且limex????ax?0,(a为常数)有

X和Y的边缘分布函数分别为

?1?e?0.5x,若x?0, FX(x)?F(x,??)?limF(x,y)??y???若x?0;?0,?1?e?0.5y,若y?0, FY(y)?F(??,y)?limF(x,y)??x???若y?0.?0,由于对任意实数x,y都满足F(x,y)?FX(x)FY(x).因此X和Y相互独立. (2) 因为X和Y相互独立,所以有

??P?X?0.1,Y?0.1??P?X?0.1??P?Y?0.1?

?[1?FX(0.1)][1?FY(0.1)]?e?0.05?e?0.05?e?0.1.

十一、(本题满分7分)

【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过?(x)表计算.但是正态分布的参数?与?未知时,则应先根据题设条件求出

2

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?与?2的值,再去计算有关事件的概率.

设X为考生的外语成绩,依题意有X~N(?,?2),且??72,但?未知.所以可标准2X?72化得

?查表可得

~N(0,1).由标准正态分布函数概率的计算公式,有

P?X?96??1?P?X?96??1????96?72??24??????1????????0.023,

???24??????1?0.023?0.977. 24??2,??12,即X~N(72,122),

P?60?X?84??P??X?72?12?1??2?(1)?1?0.682.

??

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1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】2

【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子n?3n?n?n. lim(n??n?3n?n?n(n?3n?n?n)?(n?3n?n?n))?lim

n??1n?3n?n?n?limn?3n?n?nn?3n?n?n, n??再分子分母同时除以n,有

原式?limn??41?31?1?nn.

因为limn??4a?2. ?0,其中a为常数,所以原式?1?1n(2)【答案】b?a

【解析】由于F(x)在x?0处连续,故A?F(0)?limF(x).

x?00limF(x)为“”型的极限未定式,又f(x)在点0处导数存在,所以 x?00f(x)?asinxf?(x)?acosxA?lim?lim?b?a.

x?0x?0x1【相关知识点】函数y?f(x)在点x0连续：设函数y?f(x)在点x0的某一邻域内有定义,如果limf(x)?f(x0),则称函数f(x)在点x0连续. x?x0(3)【答案】41 22y 【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令x?x?2, 解得x??1和x?2,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 S???x?2?x?dx

2?1221?1?1??x2?2x?x3??4.

3??12?2(4)【答案】a1?a2?a3?a4?0

?1O 2 x Born to win

【解析】由于方程组有解?r(A)?r(A),对A作初等行变换, 第一行乘以??1?加到第四行上,有

?1?0??0??1100?a1??1?0110 a2????011?a3??0??001 a4??0?a1? 110a2??, 011?a3???101a1?a4? 100第二行加到第四行上,再第三行乘以??1?加到第四行上,有

?1?0???0??01?a1???1100???110aa21102?. ???????a3?a301111???011a1?a2?a4??0a1?a2?a3?a4?00?a1为使r(A)?r(A),常数a1,a2,a3,a4应满足条件:a1?a2?a3?a4?0.

【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：

设A是m?n矩阵,线性方程组Ax?b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵A??Ab?的秩,即是r(A)?r(A)(或者说,b可由A的列向量?1,?2,亦等同于?1,?2,,?n线表出,

,?n与?1,?2,,?n,b是等价向量组).

设A是m?n矩阵,线性方程组Ax?b,则 （4） 有唯一解 ? r(A)?r(A)?n. （5） 有无穷多解 ? r(A)?r(A)?n.

（6） 无解 ? r(A)?1?r(A).?b不能由A的列向量?1,?2,(5)【答案】

,?n线表出.

2 380的二项分81【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p,则进行四次独立的射击, 设事件Y为“射手命中目标的次数”,Y服从参数n?4,p?4布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为(1?p),它是至少命中一次的对立事件.依题意

(1?p)4?1?8012?1?p??p?. 8133本题的另一种分析方法是用随机变量X表示独立地进行射击中命中目标的次数,p表

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示一次射击的命中率,则X?B(4,p),依题意

P?X?0??1??P?X?k??k?141, 81即(1?p)?412?p?. 813【相关知识点】二项分布的概率公式：

kk若Y?B(n,p),则P?Y?k??Cnp(1?p)n?k,k?0,1,,n.

二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)

【解析】由于limx?esinx?x??2?tanx???,所以, ?e,而lim?x?22limx?tanx?esinx???,故f(x)无界.

?x?2或考察f(x)在xn?2n???4(n?1,2,)的函数值,有limf(xn)?limxnen??n??22???,可见

f(x)是无界函数.应选(B).

以下证明其他结论均不正确.

??????sin4????sin??4?由f???e,知(A)不正确； ?f????e?4?4?4?4????由f??????0,f4?????????0,而f?0??0,知(D)不正确. ?4?证明(C)不正确可用反证法. 设g?x??tanx?esinx,于是g?x?的定义域为D??x|x?k??????,k?0?,1?,2,?,2?且g?x?的全部零点为xn?n?,n?0,?1,?2,有

.若f?x??xg?x?以T?T?0?为周期,则

?x?T?g?x?T??xg?x?,?x?D.

令x?0,有Tg?T??0,即g?T??0.从而T?k?,其中k为某一正数.于是2k?也是

xg?x?的周期.代入即得,对?x?D有

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?x?2k??g?x?2k????x?2k??g?x??xg?x?.

这表明2k?g?x??0在x?D上成立,于是g?x??0在x?D上成立,导致了矛盾. 故

f?x??xg?x?不可能是周期函数.

【相关知识点】极限的四则运算法则:

若limf(x)?A,limg(x)?B,则有 limf(x)?g(x)?AB.

x?x0x?x0x?x0(2)【答案】(D)

【解析】通过变量代换t?x?1或按定义由关系式f(1?x)?af(x)将f(x)在x?1的可导性与f(x)在x?0的可导性联系起来.

令t?x?1,则f(t)?af(t?1).由复合函数可导性及求导法则,知f(t)在t?1可导,且

f?(t)t?1?af?(t?1)(t?1)?t?1?af(0)?ab,

因此,应选(D).

【相关知识点】复合函数求导法则:如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为

dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??. dxdxdudx(3)【答案】(C)

【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.

(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组?1,?2,,?s线性无关,可以

,?s推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组?1,?2,线性无关.

例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)?(0,1)?(1,1)?(0,0),该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.

根据“?1,?2,,?s线性相关的充分必要条件是存在某?i(i?1,2,,s)可以由

?1,?i?1,?i?1,,?s线性表出.”或由“?1,?2,,?s线性无关的充分必要条件是任意一个?i(i?1,2,,s)均不能由?1,?i?1,?i?1,,?s线性表出.”故选(C).

(4)【答案】A

【解析】由于B?A,所以A?B?A,于是有P?A?B??P?A?.故本题选A.

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对于B选项,因为B?A,所以事件B发生,则事件A必然发生,所以P?AB??P?B?,而不是P?AB??P?A?,故B错.

对于C选项,因为B?A,由条件概率公式PBA?件时,才会有PBA?P?B?；所以C错.

对于D选项,因为B?A,所以事件B发生事件A不发生是个不可能事件,故

??P(AB),当B,A是相互独立的事P(A)??P?B?A??0,所以(D)错.

(5)【答案】(C)

【解析】由离散型随机变量概率的定义,有

P?X?Y??P?X??1,Y??1??P?X?1,Y?1?

?P?X??1}?P{Y??1??P?X?1}?P{Y?1?

?11111????. 22222故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.

对于(A)选项,题目中只说了随机变量X和Y相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X与事件Y是同一事件.故(A)错.

三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1)【解析】在x?[e,e]上,I?(x)?2lnxlnx2I(x),故函数在[e,e]上单??022x?2x?1?x?1?调增加,最大值为I(e).

由

2dx?d(1?x)1??d,有 22(1?x)(1?x)(1?x)I(e)??2e2e?1?dt??lntd?? 2?e?t?1??t?1?e2e22lntee2lntdtlnt11????????(?)dt

ett?1et?1et?1t?1t??ee2212??ln(e?1)?2??ln(e?1)?1? 2e?1e?11e?1??ln. e?1e??【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：

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若F(t)????(t)(t)f(x)dx,?(t),?(t)均一阶可导,则

F?(t)???(t)?f??(t)????(t)?f??(t)?.

2.假定u?u(x)与v?v(x)均具有连续的导函数,则

?uv?dx?uv??u?vdx, 或者 ?udv?uv??vdu.

(2)【解析】区域D是无界函数,设

yyDb?D?0?y?b??{?x,y?0?y?b,?x?},

32不难发现,当b???时有Db?D,从而

y y?9x2 y?4x2??xeD?y2dxdy?limb?????xeDb?y2dxdy?limb???0?be?y2dy?y2y3xdx

O x

b1211?lim?(y?y)e?ydy 2b???049bb255?y22?lim?yedy t?y lim?e?tdt 72b???0144b???0255?lim(1?e?b)?.

b???1441441(3)【解析】因系数an?2(n?1,2,),故

n1n?1??an?1n2lim?lim?lim?1, 2n??an??n??1?n?1?n2n这样,幂级数的收敛半径R?21??1.因此当?1?x?3?1,,即2?x?4时级数绝对收敛.

?11当x?2时,得交错级数?(?1)2；当x?4时,得正项级数?2,二者都收敛,于是原级

nn?1n?1nn?数的收敛域为[2,4].

?an?1n【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果??lim,其中an,an?1是幂级数?anx的

n??an?0n相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径

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?1??, 0?????,??R????, ??0,

?0, ????.???2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数(1)un?un?1,n?1,2,?(?1)n?1?n?1un满足：

; (2)limun?0.

n??则

?(?1)n?1?n?1un收敛,且其和满足0??(?1)n?1un?u1,余项rn?un?1.

n?1?3．p级数：

1当p?1时收敛；当p?1时发散. ?pnn?1?(4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.

?cosxdx??sinx?cosxdxdx?C? y?e?elnxe???????e?sinx[xlnx?x?C]. ?e?sinx?lnxdx?C???方法2: 用函数e?P(x)dx?e?cosxdx?esinx同乘方程两端,构造成全微分方程.

方程两端同乘esinx,得esinxy??yesinxcosx?(yesinx)??(yesinx)??lnx,再积分一次得

yesinx?C??lnxdx?C?xlnx?x.

最后,再用e?sinx同乘上式两端即得通解y?e?sinx[xlnx?x?C].

【相关知识点】一阶线性非齐次方程y??P(x)y?Q(x)的通解为

?P(x)dx??P(x)dxdx?C?, 其中C为任意常数. Q(x)e y?e??????

四、(本题满分9分)

【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为

2??15?14x1?32x2?8x1x2?2x12?10x2?(x1?x2)

?15?13x1?31x2?8x1x2?2x1?10x2.

22由多元函数极值点的必要条件,有

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?????x??4x1?8x2?13?0,?1?x1?0.75,x2?1.25. ??????8x1?20x2?31?0,???x2因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万

元可获最大利润.

(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)

2??15?13x1?31x2?8x1x2?2x12?10x2,

在x1?x2?1.5时的条件最大值.拉格朗日函数为

2L(x1,x2,?)?15?13x1?31x2?8x1x2?2x12?10x2??(x1?x2?1.5),

??L??x??4x1?8x2?13???0,?1??L由 ???8x1?20x2?31???0,

?x?2??L??x1?x2?1.5?0????x1?0,x2?1.5.

因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.

【相关知识点】拉格朗日乘数法:

要找函数z?f(x,y)在附加条件?(x,y)?0下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数

L(x,y)?f(x,y)???(x,y),

其中?为参数.求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：

?fx(x,y)???x(x,y)?0,??fy(x,y)???y(x,y)?0, ???(x,y)?0.由这方程组解出x,y及?,这样得到的(x,y)就是函数f(x,y)在附加条件?(x,y)?0下的可能极值点.

五、(本题满分6分)

【解析】方法1:当a?0时,f(a?b)?f(b)?f(a)?f(b),即不等式成立； 若a?0,因为

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f(a?b)?f(a)?f(b)?f(0) ?[f(a?b)?f(b)]?[f(a)?f(0)]?f?(?2)a?f?(?1)a?a[f?(?2)?f?(?1)],其中0??1?a?b??2?a?b.又f?(x)单调减少,故f?(?2)?f?(?1).从而有

f(a?b)?f(a)?f(b)?f(0)?0,即f(a?b)?f(a)?f(b).

方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b视为变量x,得辅助函数 令F(x)?f(x)?f(a)?f(a?x),x?[0,b],由于f(0)?0,所以F(0)?0,又因为

F?(x)?f?(x)?f?(a?x),且a?0,f?(x)在(0,b)单调减少,所以F?(x)?0,于是F(x)在[0,b]上单调递增,故F(b)?F(0)?0,即

f(a?b)?f(a)?f(b),其中0?a?b?a?b?c.

【相关知识点】拉格朗日中值定理：

如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间?a,b?内可导,那么在?a,b?内至少有一点?(a???b),使等式f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)成立.

六、(本题满分8分)

【解析】本题中,方程组有解?r(A)?r(A).(相关定理见第一题(4))

对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以??3?、??5?分别加到第二、四行上,有

?1?3??0??512141123111?3263?1a??11111?0?1?2?2?60????b??01226??2??0?1?2?2?6a??3a??, b??2?5a?第二行乘以1、??1?分别加到第三、四行上,第二行再自乘??1?,有

?11111?1226?????a?3a??. b?3a??2?2a?(1) 当b?3a?0且2?2a?0,即a?1,b?3时方程组有解. (2) 当a?1,b?3时,方程组的同解方程组是

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?x1?x2?x3?x4?x5?1, ?x?2x?2x?6x?3,345?2由n?r(A)?5?2?3,即解空间的维数为3.取自变量为x3,x4,x5,则导出组的基础解系为

?1?(1,?2,1,0,0)T,?2?(1,?2,0,1,0)T,?3?(5,?6,0,0,1)T.

(3) 令x3?x4?x5?0,得方程组的特解为??(?2,3,0,0,0)T.因此,方程组的所有解是

??k1?1?k2?2?k3?3,其中k1,k2,k3为任意常数.

【相关知识点】若?1、?2是对应齐次线性方程组Ax?0的基础解系,则Ax?b的通解形式为k1?1?k2?2??,其中?1,?2是Ax?0的基础解系,?是Ax?b的一个特解.

七、(本题满分5分)

【解析】若A、B是n阶矩阵,且AB?E,则必有BA?E.于是按可逆的定义知A?B.

如果对特征值熟悉,由A?0可知矩阵A的特征值全是0,从而E?A的特征值全是1,也就能证明E?A可逆.

由于A?0,故

kk?1?E?A?(E?A?A2?所以E?A可逆,且?E?A?

八、(本题满分6分)

?1?Ak?1)?Ek?Ak?E.

?Ak?1.

?E?A?A2?【解析】(反证法)若X1?X2是A的特征向量,它所对应的特征值为?,则由定义有：

A(X1?X2)??(X1?X2).

由已知又有 A(X1?X2)?AX1?AX2??1X1??2X2. 两式相减得 (???1)X1?(???2)X2?0.

由?1??2,知???1,???2不全为0,于是X1,X2线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,X1?X2不是A的特征向量.

【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数?及非零的n维列向量X使得AX??X成立,则称?是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征

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向量.

九、(本题满分4分)

3【解析】样本空间含样本点总数为C10；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 3有利于事件A1的样本点数为C8；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案. 33有利于事件A2的样本点数为2C9；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字?C8除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件A1被加了两次,所

3以应该减去C8.

由古典型概率公式,

333C82C9?C8714. P(A1)?3?;P(A2)??3C1015C1015【相关知识点】古典型概率公式：P(Ai)?

十、(本题满分5分)

有利于事件Ai的样本点数.

样本空间的总数【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且limex????ax?0,(a为常数)有

X和Y的边缘分布函数分别为

?1?e?0.5x,若x?0, FX(x)?F(x,??)?limF(x,y)??y???若x?0;?0,?1?e?0.5y,若y?0, FY(y)?F(??,y)?limF(x,y)??x???若y?0.?0,由于对任意实数x,y都满足F(x,y)?FX(x)FY(x).因此X和Y相互独立. (2) 因为X和Y相互独立,所以有

??P?X?0.1,Y?0.1??P?X?0.1??P?Y?0.1?

?[1?FX(0.1)][1?FY(0.1)]?e?0.05?e?0.05?e?0.1.

十一、(本题满分7分)

【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过?(x)表计算.但是正态分布的参数?与?未知时,则应先根据题设条件求出

2

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?与?2的值,再去计算有关事件的概率.

设X为考生的外语成绩,依题意有X~N(?,?2),且??72,但?未知.所以可标准2X?72化得

?查表可得

~N(0,1).由标准正态分布函数概率的计算公式,有

P?X?96??1?P?X?96??1????96?72??24??????1????????0.023,

???24??????1?0.023?0.977. 24??2,??12,即X~N(72,122),

P?60?X?84??P??X?72?12?1??2?(1)?1?0.682.

??

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