2016届人教A版 函数与基本初等函数 单元测试1

2016届人教A版 函数与基本初等函数 单元测试

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．(2015·石光中学段测)函数f(x)＝x－5＋2xA．(0,1) C．(2,3) [答案] C

[解析] f(0)<0，f(1)＝－3<0，f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，故选C． 2．(2015·重庆南开中学月考)函数f(x)＝A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [答案] D

2

??x－1>0

[解析] 由题意得，?2，解得1

?－x＋x＋2>0?

－1

的零点所在的区间是( )

B．(1,2) D．(3,4)

lg?x2－1?－x2＋x＋2

的定义域为( )

B．(－2,1) D．(1,2)

3．(2014·山东省菏泽市期中)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝3，则f(8)－f(4)的值为( )

A．－1 C．－2 [答案] C

[解析] ∵f(1)＝1，f(2)＝3，f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－1，f(－2)＝－3，∵f(x)周期为5， ∴f(8)－f(4)＝f(－2)－f(－1)＝－2.

4．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋?＋f(2013)＝( )

A．338 C．1678 [答案] B

[解析] ∵定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－f(x＋3)＝f(x)，

B．1 D．2

B．337 D．2013

- 1 -

∴f(x)是周期为6的周期函数．

又当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x.

∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0,2013＝6×335＋3，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋?＋f(2013)＝335(1＋2－1＋0－1＋0)＋1＋2－1＝337，选B．

5．(文)(2015·石光中学段测)函数y＝log5(1－x)的大致图象是( )

[答案] C

[解析] 由1－x>0得x<1，排除A、B； 又y＝log5(1－x)为减函数，排除D，选C．

ex＋x(理)(2014·山东省德州市期中)函数y＝x的一段图象是( )

e－x

[答案] D

e2＋2

[解析] 首先f(－x)≠±f(x)，f(x)为非奇非偶函数，排除B、C；其次，x＝2时，y＝2>0，

e－2排除A，故选D．

6．(2014·西安一中期中)P＝log23，Q＝log32，R＝log2(log32)，则( ) A．R

1[解析] P＝log23>log22＝1，Q＝log32＝∈(0,1)，R＝log2(log32)<0，∴R

log23A．

7．(2015·江西三县联考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )

A．－3

B．P

B．－1

- 2 -

C．1 [答案] A

D．3

[解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3. 8．(2015·许昌、平顶山、新乡三市调研)若x∈(ec的大小关系为( )

A．c>b>a C．a>b>c [答案] B

11

[解析] ∵c>a.

e2

9．(2015·沈阳市东北育才中学一模)规定a?b＝ab＋2a＋b，a、b∈R，若1?k＝4，则函数f(x)＝k?x的值域为( )

A．(2，＋∞) 7

C．[，＋∞)

8[答案] A

[解析] 由1?k＝4得2＋k＋k＝4，∴k＝1， ∴f(x)＝k?x＝1?x＝x＋x＋2＝(x)2＋x＋2>2.

10．(2014·北京东城区联考)下列函数中，图象关于坐标原点对称的是( ) A．y＝lgx C．y＝|x| [答案] D

[解析] y＝|x|与y＝cosx为偶函数，y＝lgx的定义域为(0，＋∞)，故A、B、C都不对，选D．

11．(2014·抚顺二中期中)若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f(x)的图象上；②点A、B关于原点对称，则称点(A，B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”．点对(A，x＋2x?x<0???B)与(B，A)可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f(x)＝?2，则f(x)的“姊妹点

?x≥0???ex对”有( )

A．0个 C．2个 [答案] C

[解析] 由姊妹点对的定义知，若(A，B)为f(x)的一个姊妹点对，则A、B分别在f1(x)＝x2

B．1个 D．3个

2

＋

－1,

1

1)，a＝lnx，b＝()lnx，c＝elnx，则a，b，

2

B．b>c>a D．b>a>c

B．(1，＋∞) 7

D．[，＋∞)

4

B．y＝cosx D．y＝sinx

- 3 -

22

＋2x(x<0)与f2(x)＝x(x≥0)的图象上，设A(x0，y0)，则y0＝x20＋2x0，B(－x0，－y0)，∴－x0＝ee111221x－x0－2x0，∴ex0＝－x2－x＝－(x＋1)＋，在同一坐标系中作出函数y＝e(x<0)与y＝－(x

20020221

＋1)2＋(x<0)的图象知，两图象有且仅有两个交点，故f(x)的姊妹点对有2个．

2

1

12．(2015·庐江二中、巢湖四中联考)函数f(x)＝()x－log2x，正实数a，b，c满足a

3且f(a)·f(b)·f(c)<0.若实数d是方程f(x)＝0的一个解，那么下列四个判断：①da ③d>c ④d

A．1 C．3 [答案] B

1

[解析] ∵y＝()x为减函数，y＝log2x为增函数，

3∴f(x)为减函数，

由题意f(d)＝0，又a

∴f(c)<0，f(a)>0，从而a

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2015·宝安中学、仲元中学摸底)若f(x)＝2x＋2xlga是奇函数，则实数a＝________.

－

B．2 D．4

[答案]

1

10

－

[解析] ∵函数f(x)＝2x＋2xlga是奇函数， ∴f(x)＋f(－x)＝0恒成立．

∴2x＋2xlga＋2x＋2xlga＝0，即2x＋2x＋lga(2x＋2x)＝0恒成立，

－

－

－

－

1

∴lga＝－1，∴a＝.

10

14．(2014·泸州市一诊)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f(3x＋1)恒成立，则实数a的取值范围是________．

[答案] (－∞，－5]

[解析] ∵x≥0时，f(x)＝x2，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在R上为增函数，∵f(x＋a)≥f(3x＋1)恒成立，∴x＋a≥3x＋1恒成立，∴a≥2x＋1恒成立，∵x∈[a，a＋2]，∴a≥2(a＋2)＋1，∴a≤－5.

x＋x315．(2015·洛阳市期中)函数f(x)＝4的最大值与最小值之积等于________．

x＋2x2＋11

[答案] －

4

- 4 -

x?1＋x2?x11

[解析] f(x)＝2＝，当x>0时，x＋≥2等号在x＝1时成立，此时f(x)2＝21x?x＋1?x＋1

x＋x111

∈(0，]；当x<0时，x＋≤－2，等号在x＝－1时成立，此时f(x)∈[－，0)，又f(0)＝0，

2x2111∴f(x)∈[－，]，∴最大值与最小值之积为－. 224

16．(2013·泗阳中学、盱眙中学联考)在直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则

32[答案] (1，] 4

c＋hc＋csinAcosA

[解析] ∵a＝csinA，b＝ccosA，h＝bsinA＝csinAcosA，设＝y，则y＝＝a＋bcsinA＋ccosA1＋sinAcosAt2－1ππ

，令t＝sinA＋cosA，∵0

242sinA＋cosA

t2－1

1＋

2t11111t132

y＝＝＋，∴y′＝－2＝(1－2)>0，∴y＝＋在(1，2]上为增函数，∴1

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)＝2ax2＋4x－3－a，a∈R.

(1)当a＝1时，求函数f(x)在[－1,1]上的最大值；

(2)如果函数f(x)在R上有两个不同的零点，求a的取值范围． [解析] (1)当a＝1时，f(x)＝2x2＋4x－4 ＝2(x2＋2x)－4＝2(x＋1)2－6.

因为x∈[－1,1]，所以x＝1时，f(x)取最大值f(1)＝2.

2

???Δ>0，?a＋3a＋2>0，(2)∵?∴?

?a≠0，???a≠0，

c＋h

的取值范围是________． a＋b

∴a<－2或－10，

∴a的取值范围是(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0，＋∞)．

18．(本小题满分12分)(2015·濉溪县月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．

(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；

(2)若f(x)＝x(0

[解析] (1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)， 即有f(－x)＝f(x＋2)．

- 5 -

又函数f(x)是定义在R上的奇函数， 故有f(－x)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x)． 从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)是周期为4的周期函数．

(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0. 当x∈[－1,0)时，有－x∈(0,1]， ∴f(x)＝－f(－x)＝－－x. 故x∈[－1,0]时，f(x)＝－－x. 当x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]， f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4，

从而x∈[－5，－4]，函数f(x)＝－－x－4.

19．(本小题满分12分)(2015·莆田市仙游一中期中)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)g?x?在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)＝.

x

(1)求a、b的值；

(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围．

[解析] (1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，因为a>0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数，

???g?2?＝1，?a＝1，?故解得? ?g?3?＝4，???b＝0.

11(2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，由已知可得f(x)＝x＋－2，所以f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋xx2－2≥k·2x，

111

化为1＋(x)2－2·(x)≥k，令t＝x，则k≤t2－2t＋1，

2221

因为x∈[－1,1]，故t∈[，2]，

2

1

记h(t)＝t2－2t＋1，因为t∈[，2]，故h(t)max＝1，所以k的取值范围是(－∞，1]．

220．(本小题满分12分)(文)(2014·长沙调研)已知f(x)＝x2－x＋k，且log2f(a)＝2，f(log2a)＝k(a>0，a≠1)．

(1)求a，k的值；

(2)当x为何值时，f(logax)有最小值？并求出该最小值．

2

??a－a＋k＝4 ①

[解析] (1)由题得? 2

??loga?－loga＋k＝k ② ?22

由②得log2a＝0或log2a＝1，

解得a＝1(舍去)或a＝2，由a＝2得k＝2.

- 6 -

(2)f(logax)＝f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2，

17

当log2x＝即x＝2时，f(logax)有最小值，最小值为.

24

(理)(2014·南通市调研)设函数f(x)＝ax－(k－1)ax(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．

－

(1)求k值；

(2)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t的取值范围． [解析] (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(0)＝0，∴1－(k－1)＝0，∴k＝2， 当k＝2时f(x)＝ax－ax(a>0且a≠1)，

－

f(－x)＝－f(x)成立， 函数f(x)是奇函数，∴k＝2.

另解：∵f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)．

∴ax－(k－1)ax＝－ax＋(k－1)ax，

－

－

整理得(k－2)(ax＋ax)＝0，

－

又∵ax＋ax≠0，∴k＝2.

－

(2)f(x)＝ax－ax(a>0且a≠1)．

－

1

∵f(1)<0，∴a－<0，又a>0，且a≠1，∴0

a

∵y＝ax单调递减，y＝ax单调递增，故f(x)在R上单调递减，

－

不等式化为f(x2＋tx)

∴x2＋tx>x－4，即x2＋(t－1)x＋4>0恒成立， ∴Δ＝(t－1)2－16<0，解得－3

21．(本小题满分12分)(2014·吉安一中上学期期中考试) 已知a>0且a≠1，函数f(x)＝loga(x1＋1)，g(x)＝loga，记F(x)＝2f(x)＋g(x)．

1－x

(1)求函数F(x)的定义域D及其零点；

(2)若关于x的方程F(x)－m＝0在区间[0,1)内仅有一解，求实数m的取值范围．

??x＋1>0，1

[解析] (1)F(x)＝2f(x)＋g(x)＝2loga(x＋1)＋loga(a>0且a≠1)由?解得－

1－x?1－x>0，?

1

所以函数F(x)的定义域为(－1,1)． 令F(x)＝0，则2loga(x＋1)＋loga

－x，

即x2＋3x＝0，

- 7 -

1

＝0(*)方程变为loga(x＋1)2＝loga(1－x)，(x＋1)2＝11－x

解得x1＝0，x2＝－3.

经检验x＝－3是(*)的增根，所以方程(*)的解为x＝0， 所以函数F(x)的零点为0.

1

(2)m＝2loga(x＋1)＋loga(0≤x<1)，

1－xx2＋2x＋14

m＝loga＝loga(1－x＋－4)，

1－x1－x4

am＝1－x＋－4，

1－x设1－x＝t∈(0,1]，

4

则函数y＝t＋在区间(0,1]上是减函数，

t当t＝1时，x＝0，此时ymin＝5，所以am≥1. ①若a>1，则m≥0，方程有解； ②若0

a

22．(本小题满分14分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)如图是函数f(x)＝x3－2x2＋3a2x

3的导函数y＝f ′(x)的简图，它与x轴的交点是(1,0)和(3,0)

(1)求函数f(x)的极小值点和单调递减区间； (2)求实数a的值．

[解析] (1)由图象可知：当x<1时，f ′(x)>0，f(x)在(－∞，1)上为增函数； 当13时，f ′(x)>0，f(x)在(3，＋∞)为增函数；

∴x＝3是函数f(x)的极小值点，函数f(x)的单调减区间是(1,3)．

?f ′?1?＝0，?

(2)f ′(x)＝ax2－4x＋3a2，由图知a>0且?

?f ′?3?＝0，?

a>0，??2

∴?a－4＋3a＝0，∴a＝1. ??9a－12＋3a2＝0.

a(理)(2014·屯溪一中期中)已知函数f(x)＝＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3.

xf?x?

(1)讨论函数h(x)＝的单调性；

x

- 8 -

(2)如果存在x1、x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； 1

(3)如果对任意s、t∈[，2]，都有f(s)>g(t)成立，求实数a的取值范围．

2

2

a2a1x－2a

[解析] (1)h(x)＝2＋lnx，h′(x)＝－3＋＝3，x∈(0，＋∞)，

xxxx

①当a≤0时，由于x>0所以h′(x)>0，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增；

②当a>0时，h′(x)≥0?x≥2a，函数h(x)的单调递增区间为(2a，＋∞)；h′(x)≤0?0

(2)存在x1、x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立， 等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M.

2

∵g(x)＝x3－x2－3，∴g′(x)＝3x2－2x＝3x(x－)，

3当x变化时，g(x)和g′(x)的变化情况如下表：

x g′(x) g(x) 0 0 －3 2(0，) 3－ 递减 2 30 85极小值－ 272(，2) 3＋ 递增 2 1 285由上表可知：g(x)min＝g()＝－，g(x)max＝g(2)＝1，

327[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝所以满足条件的最大整数M＝4.

1

(3)∵x∈[，2]时，g(x)的最大值为1，∴问题等价转化为

21a

当x∈[，2]时，f(x)＝＋xlnx≥1恒成立，

2x等价于a≥x－x2lnx恒成立． 记h(x)＝x－x2lnx，所以a≥h(x)max.

h′(x)＝1－2xlnx－x＝(1－x)－2xlnx，h′(1)＝0， 1

当x∈[，1)时，1－x>0，xlnx<0，∴h′(x)>0，

21

即函数h(x)＝x－x2lnx在区间[，1)上递增，

2当x∈(1,2]时，1－x<0，xlnx>0，∴h′(x)<0， 即函数h(x)＝x－x2lnx在区间(1,2]上递减，

∴当x＝1时，函数h(x)取得极大值也是最大值h(1)＝1， 所以a≥1.

112， 27

- 9 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/g1h7.html