江苏苏北四市2011届高三第一次调研考试数学试题(word版)

江苏苏北四市2011届高三第一次调研考试

苏北四市2011届高三第一次调研考试

数学Ⅰ试题

参考公式：

样本数据x1,x2, ,xn的方差

s2

1n1n2

(x x)x xi i

ni 1ni 1. ，其中

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1.若复数z1 1 i，z2 2 4i，其中i是虚数单位，则复数z1z2的虚部是 ▲ . 2.已知集合A ( ,0]，B {1,3,a}，若A B ，则实数a的取值范围是 ▲ . 3.若函数

f(x)

2

m2x 1为奇函数，则实数m ▲ .

4.若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的标准方程 是 ▲ ．

5.从某项综合能力测试中抽取10人的成绩，统计如 下表，则这10人成绩的方差为 ▲ .

6.如图是一个算法的流程图，则最后输出的S ▲ .

7.已知直线l1：ax 3y 1 0，l2：2x (a 1)y 1 0，若l1∥l2，则实数a的值是 ▲ ． 8.一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）玩具的四个面上分别标有1，2，3，

4这四个数字.若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 ▲ .

π3πy cos( ) (,π)

y f(x) 45，29.已知，则cos ▲ ．

10.已知函数y f(x)及其导函数y f(x)的图象如图所示，

y f (x)

1 P(2,0)

（第10题图）

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则曲线y f(x)在点P处的切线方程是 ▲ ． MA MB MC 0，若 11.在△ABC中，点M满足

AB AC mAM 0，则实数m的值为 ▲ ．

12.设m，n是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m ， ，则m ； ②若m// ，m ，则 ；

③若 ， ，则 ；[来源:学科网ZXXK] ④若 m， n，m//n，则 // ．

上面命题中，真命题的序号是 ▲ （写出所有真命题的序号）．.w.w.k.s

22

13.若关于x的不等式(2x 1)≤ax的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围

是 ▲ ．[来源:学科网]

14.已知数列{an}，{bn}满足a1 1，a2 2，b1 2，且对任意的正整数i,j,k,l，当i j k l12010

(ai bi) ai bj ak bl2010i 1

时，都有，则的值是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定位置内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）

如图，在△ABC中，已知AB 3，AC 6，BC 7，AD是 BAC平分线. （1）求证：DC 2BD；

（2）求AB DC的值.

16.（本小题满分14分）

B （第15题图）

C

如图，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是菱形，PB PD，且E，F分别是BC， CD的中点. 求证：

（1）EF∥平面PBD；

A

B

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（2）平面PEF⊥平面PAC.

17.（本小题满分14分）

D

在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2 2a1 3，且3a2，a4，5a3成等差数列. （1）求数列{an}的通项公式；

ab

（2）设bn log3an，求数列 nn 的前n项和Sn.

18.（本小题满分16分）

x2y2

184已知椭圆E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐

标原点O，设G是圆C上任意一点.

（1）求圆C的方程；

（2）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；

GF1

GP2？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理（3）在平面上是否存在一点P，使得

由.

19.（本小题满分16分）[来源:学科网ZXXK]

如图1，OA，OB是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD和曲线EF分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要，拟过栈桥CD上某点M分别修建与OA，OB平行的栈桥MG，MK，且以MG，MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK．建立如图2所示的直角坐标系，测得CD的方程是x 2y 20(0 x 20)，曲线EF的方程是xy 200(x 0)，设点M的坐标为(s,t)．（题

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中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度） （1）求三角形观光平台MGK面积的最小值；

（2）若要使 MGK的面积不小于320平方米，求t的范围． 图1

20.（本小题满分16分）

x

f(x) e ax 1(a R，且a为常数)． 已知函数

图2

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）当a 0时，若方程f(x) 0只有一解，求a的值； （3）若对所有x≥0都有f(x)≥f( x)，求a的取值范围．

数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4-1：几何证明选讲 （本小题满分10分）

如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证： （1） AED AFD；

2

（2）AB BE BD AE AC．

E

F

A

C

O

B

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B.选修4-2：矩阵与变换 （本小题满分10分）

10 M 02 2

2x 2xy 1 0 ，求曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中

10 N

11 ．

C.选修4-4：坐标系与参数方程[来源:学科网] （本小题满分10分）

以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知直线l的极坐标方程为 cos 2 sin

D.选修4-5：不等式选讲 （本小题满分10分）

若存在实数x

a成立，求常数a的取值范围．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）

如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，已知AB 4，AD 3，AA1 2，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且EB FB 1．

（1）求异面直线EC1与FD1所成角的余弦值；

（2）试在面A1B1C1D1上确定一点G，使DG 平面D1EF．

D1

A1

D

F

A

E

（第22题图）

B1

C x 4cos ,

( 为参数)

0，曲线C的参数方程为 y 2sin ，

又直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长.

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23.（本小题满分10分）

2n 1*

C 1)(n N)的整数部分为An，小数部分为Bn. n设二项展开式

（1）计算C1B1,C2B2的值； （2）求

CnBn.

宿迁市2011届高三第一次调研试卷 数学1答案 一填空题：

12

1. 2， 2.a≤0, 3. 1, 4. y 8x, 5. 5, 6. 36, 7.

2

3

3, 8.4,

9.,

925[,)

10. x y 2 0, 11. 3, 12. ②, 13.49, 14. 2012.

二、解答题

ABBD

15.（1）在 ABD中，由正弦定理得sin ADBsin BAD①，

ACDC

在 ACD中，由正弦定理得sin ADCsin CAD②， 2分 又AD平分 BAC，

所以 BAD CAD，sin BAD sin CAD， sin ADB sin( ADC) sin ADC

，

BDAB3

DCAC6，所以DC 2BD. 6分 由①②得

（2）因为DC 2BD，所以

2

3.

AB2 BC2 AC232 72 6211

cosB

2AB BC2 3 721， 10分 在△ABC中，因为

2 2

AB DC AB (BC) |AB| |BC|cos( B)

33所以

21122

3 7 ( ) 3213. 14分 P

16．（1）因为E，F分别是BC，CD的中点， 所以EF∥BD， 2分

A B

E （第16题图）

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因为EF 平面PBD，BD 平面PBD，

所以EF∥平面PBD. 6分 （2）设BD交AC于点O，连结PO，

因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，O是BD中点，[来源:学。科。网] 又PB PD，所以BD⊥PO，

又EF∥BD，所以EF⊥AC，EF⊥PO. 10分 又AC PO O，AC 平面PAC，PO 平面PAC，

所以EF⊥平面PAC. 12分 因为EF 平面PEF，所以平面PEF⊥平面PAC. 14分 17．（1）设

D

{an}公比为q，由题意得q 0，

a2 2a1 3, a1(q 2) 3, 23a2 5a3 2a4, 2q 5q 3 0, 2分 且即

6

a ,1 5 a1 3,

q 1

q 3,或 2（舍去）解之得 ， 4分

n 1n an a 3 3 3n所以数列的通项公式为，n N. 6分 n

b loga nab n 3n3nnn（2）由（1）可得，所以. 8分 23n

S 1 3 2 3 3 3 n 3所以n， 234n 13S 1 3 2 3 3 3 n 3n所以，

23nn 1

2S 3 (3 3 3) n 3n两式相减得， 10分

(3 32 33 3n) n 3n 1

3(1 3n)3 (2n 1) 3n 1n 1

n 3

1 32，

3 (2n 1) 3n 1

Sn anbn 4所以数列的前n项和为. 14分

x2y2

18418．（1）由椭圆E：，得l：x 4，C( 4,0)，F( 2,0)，

22

(x 4) y 16． 4分 又圆C过原点，所以圆C的方程为

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22

G( 3,y)(x 4) y

16，得yG G（2）由题意，得，代入

所以FG

的斜率为k ，FG

的方程为y x 2)， 8分 （注意：若点G或FG方程只写一种情况扣1分） 所以C( 4,0)到FG

的距离为

d

7

，直线FG被圆C

截得弦长为．

故直线FG被圆C截得弦长为7． 10分

1GF1

2G(x,y)P(s,t)GP200（3）设，，则由，

2222

3(x y) (16 2s)x 2ty 16 s t 0①， 12分 0000整理得

2222

G(x,y)x y 8x0 0②， (x 4) y 160000又在圆C：上，所以

22

(2s 8)x 2ty 16 s t 0， 14分 00②代入①得

又由

G(x0,y0)为圆C 上任意一点可知，

2s 8 0,

2t 0,

16 s2 t2 0,

解得s 4,t 0．

所以在平面上存在一点P，其坐标为(4,0)． 16分

100100G(,t)K(s,)

ts(s 0,t 0)， 19．（1）由题意，得，

又因为M(s,t)在线段CD：x 2y 20(0≤x≤20)上， 所以s 2t 20(0 s 20)，

S MGK

11200200140000

MG MK ( s)( t) (st 400)22ts2st 4分

由20 s 2t 0 st≤50，当且仅当s 10，t 5时等号成立. 6分

140000

f(u) S MGK (u 400)

2u令st u，则，u (0,50]. f (u)

又

110000

(1 ) 02u2，故f(u)在(0,50]上单调递减，

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（注意：若f(u)在(0,50]上单调递减未证明扣1分） 所以

f(u)min f(50) 225，此时s 10，t 5.

所以三角形MGK面积的最小值为225平方米. 10分 （2）由题意得f(u)≥320，

140000(u 400) 3202u当，解得u 40或u 1000（舍去），

由（1）知st≤40， 14分 即(20 2t)t≤

40，解之得5t≤5所以t

的范围是[5． 16分[来源:学科网ZXXK]

x

f(x) e a， 1分 20．（1）

当a≥0时，f(x) 0，f(x)在( , )上是单调增函数． 3分[来源:学科

网ZXXK] 当a 0时，

由f(x) 0，得x ln( a)，f(x)在(ln( a), )上是单调增函数； 由f(x) 0，得x ln( a)，f(x)在( ,ln( a))上是单调减函数．

综上，a≥0时，f(x)的单调增区间是( , )．

a 0时，f(x)的单调增区间是(ln( a), )，单调减区间是( ,ln( a))． 6分

f(x)min f(ln( a))，

（2）由（1）知，当a 0，x ln( a)时，f(x)最小，即

由方程f(x) 0只有一解，得f(ln( a)) 0，又考虑到f(0) 0，

所以ln( a) 0，解得a 1． 10分 （3）当x≥0时，f(x)≥f( x)恒成立， 即得e ax≥e

x

x

ax恒成立，即得ex e x 2ax≥0恒成立，

x x

h(x) e e 2ax（x≥0）令，即当x≥0时，h(x)≥0恒成立．

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x x h(x) e e

2ah(x)≥2a 2 2a，当x 0时等号成立． 又，且

12分 ①当a 1时，h(x) 0，

所以h(x)在[0, )上是增函数，故h(x)≥h(0) 0恒成立． ②当a 1时，若x 0，h(x) 0， 若x 0，h(x) 0，

所以h(x)在[0, )上是增函数，故h(x)≥h(0) 0恒成立． 14分

x1 ln( a h(x)

0a 1③当时，方程的正根为，

此时，若所以，

x (0，x1)，则h (x) 0，故h(x)在该区间为减函数．

x (0，x1)时，h(x) h(0) 0，与x≥0时，h(x)≥0恒成立矛盾．

综上，满足条件的a的取值范围是[ 1, )． 16分 数学Ⅱ（附加题）参考答案 21．【选做题】

A．选修4-1：几何证明选讲 证明：(1)连结AD．

因为AB为圆的直径，所以 ADB 90 ．

E

F

AB， EFA 90 ， 又EF⊥

则A、D、E、F四点共圆，

A

C

O

B

（第21—A题图）

DEA DFA． 5分 ∴

(2)由(1)知，BD BE BA BF．

AEF， 连结BC，显然 ABC∽

ABAC

AF，即AB AF AE AC， ∴AE

2

BE BD AE AC BA BF AB AF AB(BF AF) AB∴． 10

分

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B．选修4-2：矩阵与变换

10 10 10 02 11 22

， 4 = 解：MN=

分

（x ,y ）设P是曲线2x 2xy 1 0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点 x,y）P（，

2

x 10 x' x

y' 2x 2y y 22 则有

于是x x，分

2 2x 2x y 1 0得xy 1， 代入

2

所以曲线2x 2xy 1 0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy 1． 10

y x

y

2. 8

分

C．选修4-4：坐标系与参数方程

x2y2

1

x 2y 0解：直线l的直角坐标方程为，曲线C的普通方程为164，

6分 两

者

联

立

解

得

A

和

B

的

坐

标

为

( 2,2)

和

(22, 2)， 8分

∴

AB (42)2 (22)2 2.

10分

D．选修4-5：不等式选讲 解

：

26

分 由

柯

西

不

x

等式

得

12≤(3 1)(x 2 14 x) 64， 8分

8，当且仅当x 10时取“=”，

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于是，常数

a

的取值范围是

( ,8). 10分[来源:]

【必做题】

DD1分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐

22．解：（1）以D为原点，DA，DC，

标系，

则有D(0,0,0)，

D1(0,0,2)，C1(0,4,2)，E(3,3,0)，F(2,4,0)，

EC1 ( 3,1,2)，FD1 ( 2, 4,2)． 3于是

分 设

EC1与FD1所成角为 ，则

EC1 FD1 cos

|EC1||FD1|∴

异

面

直

线

．[来源:学。科。网]

余弦

值

为

EC1

与

FD1

所成角的

14． 5分

（2）因点G在平面A1B1C1D1上，故可设G(x,y,2)．

(x,y,2)，FD1 ( 2, 4,2)，EF ( 1,1,0)．

7分

2 x , 3

DG FD1 0, 2x 4y 4 0,

y 2. 3 DG EF 0得 x y 0,由 解得

2

故当点G在面A1B1C1D1上，且到A1D1，C1D1距离均为3时，DG 平面D1EF．

…10分

2n 1

C (3 1)n23．解：（1）因为，

所以C11， A1 2，

B1 1，所以C1B1 2； 2分

3

又C2 1) 10 A2

20，小数部分B2 10，

所以C2B2 8. 4分

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2n 102n 112n 22n 22n 1

C ( 1) C() C() C C2n 12n 12n 12n 1,① （2）因为n

2n 102n 112n 22n 22n 1

(3 1) C() C() C C2n 12n 12n 12n 1② 而

①—②得：

12n 232n 42n 1* C2 C2(3 1)2n 1—（ 1)2n 1=2（C2n 1(3)n 1()n 1) N 8分 2n 12n 12n 12n 1

A B (3 1)(3 1)(3 1)3 1)0 n 1，所以而—（，n[来源:学*

科*网]

2n 12n 12n 1

CB ( 1)(3 1) 2nn所以． 10分 2n 1

CB 2（注：若猜想出nn而未给出证明只给2分

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