高中物理微积分应用(完美)

高中物理中微积分思想

伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。

微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用\微元\与\无限逼近\，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。 微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。

1、解决变速直线运动位移问题

匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？ 例1、汽车以10m/s的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？

【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式v?v0?at x?v0t?12at就可以求得汽车2走了0.025公里。

但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即x?v0t?12at。 2【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系v?v0?at?10?2t，从开始刹车到停车的时间t=5s， 所以汽车由刹车到停车行驶的位移

a225 x??v(t)dt??(v0?at)dt?(v0t?t)?(10t?t)?0.025km

00020555小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度

关于时间的函数，画出v－t图像，找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决.

2、解决变力做功问题

恒力做功，我们可以利用公式直接求出W?Fs；但对于变力做功，我们如何求解呢？

例2：如图所示，质量为m的物体以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道运动，已知物

v 体与竖直圆轨道间的摩擦因数为?，求物体从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦

力做了多少功。

【解析】物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，在不同位置与圆环间的正压力不同，故而摩擦力为一変力，本题不能简单的用W?F?s来求。

y 可由圆轨道的对称性，在圆轨道水平直径上、下各取两对称位置A和B，设OA、OB与水平直径的夹角为θ。在?S?R??的足够短圆弧上，△S可看作直线，且摩擦力可视为恒力，则在A、B两点附近的△S内，摩擦力所做的功之和可表示为：

B . ? mg O ? ?? NB x NA A ?Wf???NAR???(??NBR??)

mg 1

又因为车在A、B两点以速率v作圆周运动，所以：

mv2NA?mgsin??Rmv2NB?mgsin??R2

综合以上各式得：?Wf??2?mv??

故摩擦力对车所做的功：Wf???Wf???2?mv????2?mv???????mv

【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力Ff??N，从最低点运动到最高点摩擦力所做的功为

?222Wf??(??NAR??NBR)d???2?2?mv2d?????mv2

0小结：这题是一个复杂的变力做功问题，利用公式直接求功是难以办到的。利用微积分思想，把物体的运动无限细分，在每一份位移微元内，力的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在恒力作用下的运动；接下来把所有位移内的功相加，即“无限求和”，则总的功就可以知道。

在高中物理中还有很多例子，比如我们讲过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性。作为大学知识在高中的应用，虽然微积分高中不要求，但他的思想无不贯穿整个高中物理。“微积分思想”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维。我们

在学习的时候，要学会这种研究问题的思想方法，只有这样，在紧张的学习中，我们才能做到事半功倍。

【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几倍。 分析：

①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于八个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U1=8U2 ； ②立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度ρ；二立方体的边长a；三立方体的形状；

K Q

根据点电荷的电势公式U= 及量纲知识，可猜想边长为a的立方体角点电势为

rU=

CKQ2

=Ckρa ；其中C为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q是总电量，ρ是电荷密度；a

3

2

其中Q=ρa

a2CKρa

③ 大立方体的角点电势：U0= Ckρa ；小立方体的角点电势：U2= Ckρ（ ）= 24

2

大立方体的中心点电势：U1=8U2=2 Ckρa

2

1

；即U0= U1

2

【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。

2

导数

㈠ 物理量的变化率

我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上的微积分。我们知道，过v-t△v

图像中某个点作出切线，其斜率即a= . △t

下面我们从代数上考察物理量的变化率：

2

v t 【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t,试求其t时刻的速度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同）

△s

分析：我们知道，公式v= 一般是求△t时间内的平均速度，当△t取很小很小，才可近似处理成瞬时

△t速度。

2 2

s(t)=3t+2ts(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t)

222

△s=s(t+△t)-s(t)=3(t+△t)+2(t+△t)-3t-2t=3△t+4t△t+2△t

△s3△t+4t△t+2△tv= = =3+4t+2△t △t△t

当△t取很小，小到跟3+4t相比忽略不计时，v=3+4t即为t时刻的瞬时速度。

【练】假设一个闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为φ=3t+4t3,求感应电动势随时间t的函数关系。

【小结】回顾我们求物理量y=f(t)的变化率瞬时值z的步骤：

①写出t时刻y0=f(t)的函数表达式；

②写出t+△t时刻y1=f(t+△t)的函数表达式； ③求出△y=y1- y0=f(t+△t)- f(t)；

△yf(t+△t)- f(t)

④求出z= = ；

△t△t

⑤注意△t取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。

㈡ 无穷小

当△t取很小时，可以用V=

△s△QN△φ 求瞬时速度，也可用i= 求瞬时电流,用ε= 求瞬时感应电△t△t△t

2

动势。下面，我们来理解△t：

△t是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数ε，都比△t大，即：ε>△t 。或者从动态的角度来看，给定一段时间t，我们进行如下操作：

t

第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间△t= ；

2t

第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t= ；

3t

第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间△t= ；

4????

t

第N次，我们把时间段平均分为N+1段，每段时间△t= ；

N+1

????

一直这样进行下去，我们知道，△t越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷小，记为△t→0。或者，用数学形式表示为 lim△t=0。其中“lim”表示极限，意思是△t的极限值为0。

?t?0?t?0常规计算：

3

①lim（△t+C）=C ②limC·△t=0 ③limf(△t)=f(0)

?t?0?t?0?t?0④lim f(t+△t)=f(t) ⑤lim?t?0sin(△t)

= 1 △t?t?0『附录』常用等价无穷小关系（x?0）

12x ；④ln?1?x??x ；⑤ex?1?x 2①sinx?x ；②tanx?x ；③1?cosx?㈢ 导数

前面我们用了极限“lim”的表示方法，那么物理量y的变化率的瞬时值z可以写成:

?t?0z=lim△ydy

,并简记为z= ,称为物理量y函数对时间变量t的导数。物理上经常用某物理量的变化

d t?t?0△t

dxdvdqdФdWF

率来定义或求解另一物理量，如v= 、a= 、i= 、ε=N 等，甚至不限于对时间求导，如F= 、

d td td td td xdUdm

Ex= 、ρ= 等。 dxdl

这个dt（也可以是dx、dv、dm等）其实相当于微元法中的时间微元△t，当然每次这样用lim来求物

?t?0理量变化率的瞬时值太繁琐了，毕竟微元法只是草创时期的微积分。 如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，那么我们可以简单快速地求解物理量变化率的瞬时值（导数）了。同学们可以课后推导以下公式： ⑴ 导数的四则运算

dudvuu

·v - u· d( )d td tvvd(u±v)dudv

① = ± ③ = 2d td td td tvd(u·v)dudvu

② = ·v + u· d td td tv⑵ 常见函数的导数

①

dCdcost =0(C为常数)； ④ =-sint； dtdt

n

t

dtden-1t

② =nt (n为实数)； ⑤ =e；

dtdtdsint

③ =cost；

dt

⑶ 复合函数的导数

在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自变量。

du(v(t))du(v(t))dv(t)

= · d td v(t)d t

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数——称为

链式法则。

【练】1、某弹簧振子在X轴上做直线运动，其位移x与时间t的关系为x=Asinωt，即，质点在坐标原点2π

附近往复运动，最大位移为A（A称为振幅），周期为 （ω称为角频率），物理上把这种运动叫简谐

ω运动。请完成以下几问： ①求出t时刻的速度v

4

②写出合力F与位移x的关系

③验证简谐运动中质点的机械能守恒。

【练】2、某矩形线框面积为S，匝数为N，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，

Q 如图所示，线框绕PQ轴以角速度ω匀速转动，从水平位置开始计时，在t时

θ 刻：①写出磁通量Ф的表达式②求出线框产生的感应电动势ε

P 三：微分和积分 ㈠ 简单问题 【例】电容器是一种存储电荷的元件，它的基本工作方式为充电和放电，我们先考察电容器放电时的情况。某电容为C的电容器，其已充电的电量为Q0，若让该电容与另一个阻值为R的的电阻串联起来，该电容器将会放电，其释放的电能转化电阻的焦耳热（内能）。试讨论，放电时流过电阻R的电流随时间t 的变化关系如何？

分析：①根据电荷守恒定律，当通过电阻R的电量为q时，电容成Q1，满足Q0=Q1+q ，即q=Q0-Q1 ；

dq

②流过电阻R的电流i与通过电阻R的电量q 满足关系式：i= d t③根据电容电量公式Q=CU,有Q1=CU=CRi ，那么q= Q0- CRi ； ④联立上式，有i=dqd(Q0- CRi)di = = - CR d td td t

q 器的电量从Q0变

Q0→Q1 tdidi

⑤进行公式变形，令x= - ,则有i= - CR = CRd tdx

di

同学们思考一下，i应该是什么函数，才能满足i= ？，或者说什么函数的导数等于函数本身？

dxdix

我们观察到，只有y=Ce形式的函数才满足i= 关系，C为待定常数。

dx故可以知道，i = Ce= Ce

x

-t/CR

Q0U0Q0Q0-t/CR

当t=0 时，U0= ， i0= = ；而把t=0 代人，得i = Ce=C；故C=

CRCRCRQ0-t/CR

所以，流过电阻R的电流随时间t 的变化关系为：i = e

CR

【练】对于上例电容器放电问题，试讨论，放电时电容器的电量Q随时间t 的变化关系如何？

㈡微分

1、从上面式子可以看出，理论上虽然我们说是要经过无穷长的时间电容才放完电，电流为零，但实际上只需要电流减少足够小时，电流计就检测不到有电流了。

didi

2、对于i= - CR 或i= ，我们称之为微分方程，最直观的解决方法是观察有哪些函数满足该微分方

d tdx程的函数关系，当然，我们要注意比如上题中的t=0 之类的初始条件。

3、一般来说，微积分可以帮助同学们深刻理解物理概念和公式，但微元法可以帮助同学们更细致地明了物理过程。下面我们用微元法的方式来处理这个问题。

在△t的时间内，通过电阻R的电量为△q。虽然电流随时间发生变化，但在很短的时间△t内，可以认为电流几乎不变，当成恒定电流处理，故有△q= i△t 。对电容有Q=CU=CiR，△Q=ＣＲ△i；由电量守恒，△Q= －△q ，故－i△t＝ＣＲ△i，然后把“△”形式改写成微积分语言的“d”形式，就di

有－idt＝ＣＲdi （dt和di称之为微分）,数学变形为i= - CR ，即以上

dt解法中的微分方程。

5

微分与导数有什么关系呢？对某自变量为时间t的函数F(t)，它的极其微小的变化，我们记它为微分dFdF

dF，它与时间微分dt满足关系式：dF= dt，其中 为F对t的导数。

dtdt

下面是常见的微分公式与微分运算法则： ①d?c??0 ②dx???nxnxxn?1dx ③d?sinx??cosxdx

④d?cosx???sinxdx ⑤de???edx ⑥d?u?v??du?dv

?u?vdu?udv ??2v?v?⑦d?cu??cdu ⑧d?uv??vdu?udv ⑨d?㈢积分

在上例问题中，在△t的时间内，通过电阻R的电量为△q= i△t，△q称为电量微元。如果我们把0到t时间内的△q加起来，用求和符号“∑”表示，则有：q=∑i△t。由于t=N△t,当△t取无穷小时，那么i△t就有N→∞个，也就是，我们要把无穷个i△t进行相加操作，为了方便，我们用微积分符号idt表示q=lim∑i△t=idt，称为对i在时间上求积分。我们来看一下

?t?0??这么做有什么意义：

①从几何上看，对于i-t 图像，q=lim∑i△t=idt

?t?0?就是图像中的面积。对于恒定电流，很简单，△q= i△t，即小块矩形面积；对于变化的电流，用△q= i△t来计算，发现有一小块近似三角形面积的误差，不过当我们取当△t取无穷小时，用极限处理后，该误差会无穷逼近零，可以忽略不计，那么计算的面积就无限精确接近实际面积了。

dq

②前面我们求导用了i= ，积分用了q=idt。可以看出，从某种程

dt

?度上说，积分实际是求导的逆运算，比如：q=Q0-Q=Q0(1-ee

-t/CR

-t/CR

), i =

Q0

CR

dq

满足求导和积分的运算关系i= 、q=idt。

d t

?对于一般函数F，如果有f=

dF

，那么就有dt

?fdt=F+C。请思考，为什么积分中会出现常数C？

n下面是常见的积分公式，请同学们对照求导公式理解：

xn?1?c ①?kdx?kx?c ②?xdx?n?1③cosxdx?sinx?c f ④sinxdx??cosx?c ⑤edx?e?c

现在我们用微积分书写方式来来解答上题。 由Q0=Q+q ； Q=Q0-q ； UQ

则dQ= - dq = - idt= - dt= - dt ；

RCR

???xx 6

dQ1

即 = - dt ；

CR Q对等号两边积分：

det1怎么来求?dQ呢？我们知道 =e， d tQ令F(t)= e，有t=lnF； dFdF则有 =F，即 =dt=d(lnF) ； d tFtt11= dQ??Q?CRdt；

t-t/CR

有lnQ = - C`，或者Q=Ce；

CR

当t=0时，Q(0)=C=Q0 ；

-t/CR

所以电容器电量为Q= Q0e 。 1那么dQ= d(lnQ)= lnQ+C。 Q

1 ?dt=？请同学们自己推导。 CR

㈣ 定积分

【例】某质点在X轴上做直线运动，其速度v满足函数关系v=3t2,求从t=1s到t=3s时间内质点发生的位移。

???分析：在dt时间内，质点可以认为做匀速直线运动，即ds=vdt,那么对等号两边积分，有

?ds??vdt??3t2dt，则有：s= t3 +C ；

现在有问题了：当t=0时，S(0)等于多少我们不知道！而且已知条

件中的时间“从t=1s到t=3s”也没有用上！

下面我们从物理上考察C这个常数的意义。

t=0时，s(0)=C。当我们令C=0时，相当于质点在零时刻从坐标原点开始运动；当我们令C=1时，相当于质点在零时刻从坐标位置X=1m处开始运动；??。

我们发现，C这常数的取值相当于选取观察质点运动的静止参考系位置，然而所求的从t=1s到t=3s时间内质点发生的位移应该与所选取的静止参考系无关，也就是对任意静止参考系，质点发生的位移应该是一致的，如图所示。

那么我们就随便选取某一参考系，使质点在零时刻从坐标位置X=Cm处开始运动，则位移与时间的函数关系式为：s(t)= t3 +C。题

33

目中所求的1到3秒的位移为：s1=s(3)-s(1)=（3+C）-（1+C）=8m 。

题目中所要求的位移（速度积分）与积分式

?fdt=F+C中的

bC无关，当要求t=t1到t=t2时间内位移时，s(t1→t2)=s(t2) - s(t2)。这个相当于我们用s=∑v△t来求v-t图像中的从t=t1到t=t2范围内的面积。我们用一种简单符号表示这种关系：

?afdt=F(b) –

F(a)。这种积分叫定积分。

【练】1、已知导线中的电流按I = t3-0.5t+6的规律随时间 t 变化，式中电流和时间的单位分别为A和s。计算在t =1s到t =3s的时间内通过导线截面的电荷量。

【练】2、某质量为m的均匀细杆，长为L，绕其一端点做角速度为ω的匀速转动，试求其动能。

【练】3、某弹簧劲度系数为K，原长为L，若将弹簧从2L长拉伸至3L长处，问应克服弹簧弹力做多少

7

功？

【练】4、对于某电路，通过电阻R=2Ω的电流i=2t+1(A)，问从t=0时刻开始经过4s后，电阻产生的焦耳热是多少？

四：课后习题

1、质量为2kg的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其x轴上的坐标为x=3+5cos2t，y轴上的坐标为y=-4+5sin2t，t为时间物理量，问：

⑴物体的速度是多少？

⑵物体所受的合外力是多少? ⑶该物体做什么样的运动？

⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗？

2

2、一质点在某水平力F的作用下做直线运动，该力做功W与位移x的关系为W=3x-2x,试问当位移x为多少时F变为零。

3、已知在距离点电荷Q为r处Ａ点的场强大小为E=KQ

请验证Ａ点处的电势公式为：U = 。

r

4、某复合材料制成的一细杆OP长为L，其质量分布不均匀。在杆上距离O端点为x处取点A，令M为细dML2

杆上OA段的质量。已知M为x的函数，函数关系为M=kx，现定义线密度ρ= ,问当x= 处B点的线密

dx2度为何？

1-5

5、某弹簧振子的总能量为2×10J，当振动物体离开平衡位置 振幅处，其势能EP= ，动能

2Ek= 。

6、取无穷远处电势为零。若将对电容器充电等效成把电荷从无穷远处移到电容器极板上，试问，用电压U对电容为C的电容器充电，电容器存储的电能为何？开始时电容器存放的电荷量为零。

7、在光滑的平行导轨的右端连接一阻值为R的电阻，导轨宽度为L，整个导轨水平放置在方向竖直向下的磁场中，磁场的磁感应强度为B。有一导体棒ab垂直轨杆并停放在导轨上，导体棒与导轨有良好的接触。在t=0时刻，给导体棒一水平向左的初速度V0，若其他电阻不计，则 ⑴求导体棒的速度v随时间t的函数表达式；

⑵求导体棒从开始运动到停下为止，其滑行的总位移S；

⑶求导体棒在运动过程中产生的感应电流I随时间t的函数关系； ⑷求全过程中流过导体棒的总电荷Q。

一、变力做功

在功的问题中，恒力做功是最简单的，公式为W?F?S．

8

KQ , r2“以常代变”，功的微元应该通过恒力做功公式得到的．

例8．3．1 一压簧，原长1m，把它每压缩1cm时所用的力为0.05N．问在弹性范围内把它由1m（如图8．3．1）压缩到60cm（如图8．3．2）所做的功．

图8．3．1

图8．3．2

解

令起点为原点，压缩的方向为x轴的正方向

当把弹簧自原点压缩至?0,0.4?之间的任意点x处时（如图8．3．3）

图8．3．3

由胡克定律知所承受的弹簧的压力为

F?x??0.050.01x?5x 在此力的作用下，再继续压缩一点点dx，即压缩至x?dx处 由于dx很小，这个压缩过程可认为力F?x?不变，即恒力做功 则由恒力做功公式得功的微元

dW?F?x?dx

积分得W??0.40F?x?dx

??0.405xdx

?52x20.40

9

?0.4?J?．

例8．3．2 在原点处有一带电量为?q的点电荷，在它的周围形成了一个电场．现在x?a处有一单位正电荷沿x轴正方向移至x?b处，求电场力所做的功．又问若把该电荷继续移动，移动至无穷远处，电场力要做多少功． 解

点电荷在任意点x处时所受的电场力为F?x??kq（k为常数） 2x电场力做功的微元dW为点电荷由任意点x处移动至x?dx处时电场力F?x?所做的功 即dW?F?x?dx?kqdx x2则移至x?b处电场力做的功

W??kabqdx 2x1b??kq

xa?11??kq???；

?ab?移至无穷远处电场力做的功

W??ka??qdx x2?kq（物理学中称此值为电场在x?a处的电位）． a例8．3．3 一圆台形水池，深15m，上下口半径分别为20m和10m，如果把其中盛满的水全部抽干，需要做多少功? 解

水是被“一层层”地抽出去的，在这个过程中，不但每层水的重力在变，提升的高度也在连续地变化

图8．3．4

其中抽出任意一层水（x处厚为dx的扁圆柱体，如图8．3．4阴影部分）所做的功为抽水做功的微元dW

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/g156.html