曲线运动

四、《曲线运动》巩固与提高

曲线运动是高中阶段的重要内容。合成与分解是物理学中常用的用等效的观点处理

问题的基本方法，理解合成与分解的概念，并能够在实际问题中正确区分合运动与分运动.知道合运动就是物体的实际运动.知道合成与分解遵循矢量的平行四边形定则，运用平行四边形定则熟练解决有关问题.平抛运动和圆周运动是高中阶段要求掌握的两种基本的曲线运动。

一、曲线运动的基本知识：

1、物体是否做曲线运动的条件：F合的方向是否与v的方向在同一直线上。

F合与v方向在同一直线，直线运动 F合与v方向有夹角，曲线运动

当F合为恒力时，物体做匀变速运动（a不变）直线或曲线运动。

2、 曲线运动的特征

（1）曲线运动的轨迹是曲线

（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。

（3）由于曲线运动速度的一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零。

3、运动的合成与分解：物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。

1分运动的独立性；○2运动的等效性（合运动和分运动运动的合成与分解基本关系：○

3运动的等时性；○4运动的矢量性（加速度、速度、位移都是等效替代关系，不能并存）；○

是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。） 4、运动分解与合成的一般思路

（1）利用运动的合成与分解研究曲线运动的思维流程：

（2）在处理实际问题中应注意：

1只有深刻挖掘曲线运动的实际运动效果，才能明确曲线运动应分解为哪两个方○

向上的直线运动.这是分析处理曲线运动的出发点.

2进行等效合成时，要寻找两分运动时间的联系——等时性.这往往是分析处理曲○

第 1 页 共 27 页

线运动问题的切入点.

小专题一：曲线运动的条件：

物体做曲线运动的条件：物体所受的合力方向（加速度的方向）跟它的速度方向不在同一条直线上。 概括： （1）物体必须有初速度； （2）必须有合力； （3）速度与合力的方向不在同一条直线上。 合外力对速度的影响：合外力不仅可以改变速度的大小，还可以改变速度的方向。 如图甲，与v共线的分力F2改变速度的大小；与v垂直的分力F1改变速度的方向。 F2vF1甲 F 如图乙、丙，将合力F沿着速度方向和垂直速度方向分解为F1和F2，沿着速度方向的分力F1产生加速度a1改变速度的大小，垂直速度方向的分力F2产生加速度a2改变速度的方向。 vF1a1a2F2FvF1a1a2F2 F 乙 丙 【巩固练习题】 y 例1、一质点在xoy平面内运动的轨迹如图所示.下面关于分运动的判断正确的是（ ） A.若在x方向始终匀速运动，则在y方向先减速后加速运动 B.若在x方向始终匀速运动，则在y方向先加速后减速运动 C.若在y方向始终匀速运动，则在x方向一直加速运动 O D.若在y方向始终匀速运动，则在x方向一直减速运动 例2、一个带负电的小球，受电场力和重力的作用，由静止开始运动，已知电场为水平方向的匀强电场，不计空气阻力，设坐标轴如下图所示，x轴的正方向与电场方向一致，y轴的正方向竖直向下，原点为小球的起始位置．在图中，哪个图可能表示此小球的运动轨迹? （ ） x

第 2 页 共 27 页

例3、在越野赛车时，一辆赛车在水平公路上减速转弯，从俯视图中可以看到，赛车沿圆周由P向Q行驶。下列图中画出了赛车转弯时所受合力的四种方式，你认为正确的是（ ）

小专题二、运动的合成和分解

1. 怎样确定合运动和分运动？

物体的实际运动——合运动。合运动是两个（或几个）分运动合成的结果。当把一个实际运动分解，在确定它的分运动时，两个分运动要有实际意义。 2. 运动合成的规律

（1）合运动与分运动具有等时性； （2）分运动具有各自的独立性。 3. 如何将已知运动进行合成或分解

（1）在一条直线上的两个分运动的合成

例如：速度等于v0的匀速直线运动与在同一条直线上的初速度等于零的匀加速直线运动的合运动是初速度等于v0的匀变速直线运动。

（2）互成角度的两个直线运动的合运动

两个分运动都是匀速直线运动，其合运动也是匀速直线运动。

一个分运动是匀速直线运动，另一个分运动是匀变速直线运动，其合运动是一个匀变速曲线运动。反之，一个匀变速曲线运动也可分解为一个方向上的匀速直线运动和另一个方向上的匀变速直线运动——为研究复杂的曲线运动提供了一种方法。

初速度为零的两个匀变速直线运动的合运动是一个初速度为零的匀变速直线运动。 总结规律：对于以上这些特例，我们可以通过图示研究会更加简便。具体做法：先将速度进行合成，再合成加速度，通过观察合速度与合加速度的方向是否共线，进而判定是直线运动还是曲线运动。如图所示。 a2v2a2v2 aa1a1 a【巩固练习题】 vv1v例1、有关运动v1的合成，以匀变速直线运动匀变速曲线运动 第 3 页 共 27 页

下说法中正确的是（ ）

A、两个直线运动合运动一定是直线运动

B、两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是直线运动 C、两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动 D、匀加速运动和匀速直线运动的合运动一定是直线运动

例2、一船正沿东西方向的河流向正东方向行驶，行驶速度为2m/s. 某段时间，船上的人观察到船上发动机冒出的烟气向正南方向飘去，则关于这段时间相对地面的风向和风速，下列说法中正确的是（ ） A．向正南方向吹，速度为2m/s B．向正北方向吹，速度为2m/s

C．向西偏北方向吹，速度大小不能确定 D．向东偏南方向吹，速度大小不能确定

例3、如图所示，红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（ ） A．直线APD B．曲线AQD

C．曲线ARD D．无法确定

例4、一氢气球下系一小重物G ，重物只在重力和绳的拉力作用下做直线运动，不计空气阻力和风力影响，而重物运动的方向如图中箭头所示的虚线方向，图中气球和重物G 在运动中所处的位置可能是（ ）

例5、质量为1kg的物体在水平面直角坐标系内运动，已知两互相垂直方向上的的速度-时间图象如图所示．下列说法正确的是（ ) A．质点的初速度为5m/s B．质点所受的合外力为3N C．2s末质点速度大小为7m/s

D．质点初速度的方向与合外力方向垂直

例6、一个质量为2kg的物体，在六个恒定的共点力作用下处于平衡状态．现同时撤去大小分别为15N和20N的两个力，关于此后该物体运动的说法中正确的是（ ） A．一定做匀变速直线运动，加速度大小可能是5m/s2 B．可能做匀减速直线运动，加速度大小是2m/s2 C．一定做匀变速运动，加速度大小可能是15m/s2

第 4 页 共 27 页

vx/m·s-1 vy/m·s-1 4

6O12t/sO12t/s

2

D．可能做匀速圆周运动，向心加速度大小可能是5m/s

例7、一物体由静止开始自由下落，一小段时间后突然受一恒定水平向右的风力的影响，但着地前一段时间风突然停止，则其运动的轨迹可能是图中的哪一个？（. ）

OxOxOxOxyAyyBCyD例8如图甲所示，在一端封闭、长约lm的玻璃管内注满清水，水中放一个蜡烛做的蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧．然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动．假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1s上升的距离都是10cm，玻璃管向右匀加速平移，每1s通过的水平位移依次是2.5cm、7.5cm、12.5cm、17.5cm．图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t=0时蜡块位于坐标原点．

（1）请在图乙中画出蜡块4s内的轨迹； （2）求出玻璃管向右平移的加速度； （3）求t=2s时蜡块的速度v．

甲

0 10 20 30 40 x/cm 乙 20 10

蜡块

y/cm 40 30 小专题三：小船过河问题

有关小船渡河问题是运动的合成与分解一节中典型实例，难度较大。小船渡河问题往往设置两种情况：（1）渡河时间最短；（2）渡河位移最短。现将有关问题讨论如下。

处理此类问题的方法常常有两种：

第 5 页 共 27 页

（1）将船渡河问题看作水流的运动（水冲船的运动）和船的运动（即设水不流动时船的运动）的合运动。 （2）将船的速度v2沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如下图，v1为水流速度，则

v1?v2cos?为船实际上沿水流方向的运动速度，v2sin?为船垂直于河岸方向的运动速度。

v2θdv1 问题1：渡河位移最短 河宽d是所有渡河位移中最短的，但是否在任何情况下渡河位移最短的一定是河宽d呢？下面就这个问题进行如下讨论： （1）v船?v水 要使渡河位移最小为河宽d，只有使船垂直横渡，则应v水?v船cos??0，即v船?v水，因此只有v船?v水，小船才能够垂直河岸渡河，此时渡河的最短位移为河宽d。渡河时间

t?dd?v合v船sin?。

（2）v船?v水

由以上分析可知，此时小船不能垂直河岸渡河。 以水流速度的末端A为圆心，小船的开航速度大小为半径作圆，过O点作该圆的切线，交圆于B点，此时让船速与半径AB平行，如下所示，从而小船实际运动的速度（合速度）与垂直河岸方向的夹角最小，小船渡河位移最小。

sv水?由相似三角形知识可得dv船

s?解得

v水v船d

渡河时间仍可以采用上面的方法

第 6 页 共 27 页

t?sd?v合v船sin?

（3）v船?v水

此时小船仍不能垂直河岸渡河。由图不难看出，船速与水速间的夹角越大，两者的合速度越靠近垂直于河岸方向，即位移越小。但无法求解其最小值，只能定性地判断出，船速与水速间的夹角越大，其位移越小而已。

问题2：渡河时间最短；

渡河时间的长短同船速与水速间的大小关系无关，它只取决于在垂直河岸方向上的速度。此方向上的速度越大，所用的时间就越短。因此，只有船的开航速度方向垂直河岸时，

t?渡河时间最短，即【巩固练习题】

dv船。

例1、一只小船在静水中的速度大小始终为5m/s，在流速为3m/s的河中航行，则河岸上的人能看到船的实际航速大小可能是 BC

A．1m/s B．3m/s C．8m/s D．10m/s

例2、（09·广东理科基础）船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2。为使船行驶到河正

对岸的码头，则v1相对v2的方向应为（ C ）

例3、船在静水中的速度为υ，流水的速度为u，河宽为L。

第 7 页 共 27 页

（1）为使渡河时间最短，应向什么方向划船？此时渡河所经历的时间和所通过的路程

各为多大？

（2）为使渡河通过的路程最短，应向什么方向划船？比时渡河所经历的时间和所通过的路程各为多大？

小专题四：绳子末端速度的如何分解

对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体的速度在绳的方向上的投影相等。求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。 【巩固练习题】

例1、 如图，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是（ ） A.绳的拉力大于A的重力 B.绳的拉力等于A的重力

v'C.绳的拉力小于A的重力

θD.拉力先大于重力，后变为小于重力

m例2、如图，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿Mv斜面升高。则：当滑轮右侧的绳与竖直方向成?角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为多少？

二、平抛运动

（1）．物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。物体受恒力作

用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。 （2）．平抛运动的处理方法

通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是

第 8 页 共 27 页

水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。

(3)．平抛运动的规律

以抛出点为坐标原点，水平初速度V0方向为沿x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t.

①位移

分位移x?V0t, y?121gtgt,合位移s?(V0t)2?(gt2)2,tan??. 22V02?为合位移与x轴夹角.

②速度

分速度Vx?V0, Vy=gt, 合速度V?V0?(gt),tan??22gt. V0?为合速度V与x轴夹角

(4)．平抛运动的性质

做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是匀变速曲线运动。 （5）平抛运动的速度变化和重要推论

①水平方向分速度保持vx=v0.竖直方向，加速度恒为g,速度vy =gt,从抛出点起，每隔Δt时间的速度的矢量关系如图所示．这一矢量关系有两个特点：(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0; (2)任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv=Δvy=gΔt. ②平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点

v0 s/ 到抛出点的距离都等于水平位移的一半。 α 证明：设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h，则末速度的水平分

h vs 量vx=v0=s/t，而竖直分量vy=2h/t， tan??y?2h， 所以有

α vvxshss???

tan?2vv

③平抛物体任意时刻瞬时时速度方向与水平方向的夹角的正切值是此时刻位移与水平方向的夹角的正切值的两倍。 【巩固练习题】

例1、从倾角为θ的足够长的斜面上的A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出．第一次初速度为v1，球落到斜面上的瞬时速度方向与斜面夹角为α1，第二次初速度为v2，球落到斜面上的瞬时速度方向与斜面夹角为α2，若v1＞v2，则（ ） A．α1＞α2 B．α1=α2 C．α1＜α2 D、无法确定 例2、如图所示，从倾角为θ的斜面上的M点水平抛出一个小球。小球 的初速度为υ0，最后小球落在斜面上的N点,下列判断中错误

的是 ( ) A．可求出M、N之间的距离

B．不可以求出小球什么时刻与斜面间的距离最大 C．可求出小球运动的时间

D．可求小球落到N点时的速度大小和方向

第 9 页 共 27 页

例3、如图示，在高h处有个小球A，以速度v1水平抛出，与此同时，地面上有个小球B，以速度v2竖直向上抛出，两小球在空中相遇，则（ ） A、到相遇所需的时间为h/v1 B、出到相遇所需的时间为h/v2 C、抛出时的水平距离为hv1/v2 AD、出到相遇所需的时间为h

例4、如图所示，在一次空地演习中，离地H高处的飞机以水平速度v1发射一颗炮弹欲轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v2竖直向上发射炮弹拦截．设拦截系统与飞机的水平距离为s，若拦截成功，不计空气阻力，则v1、v2 的关系应满足( ) A.1

BCHsHv = v2 B.v1 = v2 C.v1 = v2 D.v1 = v2 sHS例5、如图所示，一网球运动员将球在边界处正上方水平向右击出，球刚好过网落在图中位

置（不计空气阻力），相关数据如图，下列说法中正确的是（ ） A．击球点高度h1与球网高度h2之间的关系为h1 =1.8h2

B．若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于s2gh1，一定落在对方界内 h1C．任意降低击球高度（仍大于h2），只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内 D．任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内

h1

h2 ss

2例6、如图，以9.8m/s的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角?为30?的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间为（ C ） 323ss33A. B. C. 3s D. 2s v0 例7、如图，是某次实验记录的小球平抛运动轨迹中的三点，测得A、B间的水平距离和B、C间的水平距离都是15cm，AB间的竖直距离是15cm，BC间的竖直距离是25cm。若取g?10m/s，则小球平抛的初速度v0等于多少？ 第 10 页 共 27 页 2θ

例8、如图所示，AB为半环ACB的水平直径，C为环上的最低点，环半径为R。一个小球从

A点以速度v0被水平抛出，设重力加速度为g，不计空气阻力。

（1）要使小球掉到环上时的竖直分速度最大，v0为多大？

（2）若v0取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角就不同。

同学甲认为，总可以找到一个v0值，使小球垂直撞击半圆环。 同学乙认为，无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环。

你认为哪位同学的分析正确？如认为甲同学正确，求出相应的v0值；如认为乙同学正确，说明理由。

A v0 B C

三、圆周运动

●描述圆周运动的物理量

1.线速度

（1）物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢.

（2）方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向，与过该点的半径垂直.

（3）大小：v=s/t（s是t时间内通过的弧长）. 2.角速度

（1）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢. （2）大小：ω=?/t（rad/s），?是连接质点和圆心的半径在t时间内转过的角度.

3.周期T，频率f

做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期.

做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速. 4.v、ω、T、f的关系 1T=

fω=v=

第 11 页 共 27 页

2π=2πf T2πr=2πfr=ωr T

注意：T、f、ω三个量中任一个确定，其余两个也就确定了. 5.向心加速度

（1）物理意义：描述线速度改变的快慢.

4π2v2222

（2）大小：a==ωr=4πf r=2r.

rT（3）方向：总是指向圆心.所以不论a的大小是否变化，它都是个变化的量. 6.向心力

（1）作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，因此，向心力不做功.

4π2v22

（2）大小：F=ma=m=mωr=m2r=4π2mf 2r.

rT（3）方向：总是沿半径指向圆心，向心力是个变力. ●匀速圆周运动

1.特点：匀速圆周运动是线速度大小不变的运动.因此它的角速度、周期和频率都是恒定不变的.物体受的合外力全部提供向心力.

2.质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直.

小专题一：同轴传动和同链传动（同皮带传动）

特点：共轴转动的物体上各点的角速度相同，不打滑的皮带传动的两轮边缘上各点线速度大小相等，这样通过“角速度”或“线速度”将比较“遥远”的两个质点的运动学特点联系在一起。 【巩固练习题】 例1、 如图所示，a、b两轮靠皮带传动，A、B分别为两轮边缘上的点，C与A同在a轮上，已知rA?2rB，OC?rB，在传动时，皮带不打滑。求：（1）?C:?B? ；（2）vC:vB? ；（3）aC:aB? 。 例2、 在绕竖直轴匀速转动的圆环上有A、B两点，如图所示，过A、B的半径与竖直轴的夹角分别为30°和60°，则A、B两点的线速度之比为 ；A向心加速度之比为 。 B 小专题二：向心力的来源 物体做匀速圆周运动时，由合力提供圆周运动的向心力 COrAarBbv22?F合?F向?ma向?m?mr?2?mr()2rT 且有方向始终指向圆心 向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力，总之，只要达到维持物体做圆周运动效果的力，就是向心力.向心力是按力的作用效果来命名的.对各种情况下向心力的来源应明确.如：水平圆盘上跟随圆盘一起匀速转动的物体（甲）和水平地面上匀速转弯的汽车，其摩擦力是向心力；圆锥摆（乙）和以规定速率转弯的火车，向心力是重力与弹力的合力. 第 12 页 共 27 页 ωA30°60°OB

【巩固练习题】

例1、一圆盘可绕圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一小木块A，它随圆盘一起运动（做匀速圆周运动），如图所示，则关于木块A的受力，下列说法正确的是（ ）

A. 木块A受重力、支持力和向心力

vB. 木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方G向相反

FTC. 木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心 D. 木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同

例2、一质量为m的小物块，沿半径为R的圆形轨道下滑，滑到最低点的速率为v，若小物块与轨道的动摩擦因数为μ，则当小物块滑到最低点时受到的摩擦力是（重力加速度为g）（ ）

A．?mg

v2B．?m C

R．

v2?m(g?)ROA

v2) D．?m(g?R例3、早在19世纪，匈牙利物理学家厄缶就明确指出：“沿水平地面向东运动的物体，其质量（即：列车的视重或列车对水平轨道的压力）一定要减轻.”后来，人们常把这类物理现象称之为“厄缶效应”.如图所示，我们设想，在地球赤道附近的地平线上，有一列质量是M的列车，正在以速率v沿水平轨道匀速向东行驶.已知：（1）地球的半径R；（2）地球的自转周期T.今天我们像厄缶一样，如果仅仅考虑地球的自转影响（火车随地球做线速度为

2πR的圆周运动）时，火车对轨道的压力为N；在此基础上，又考虑到这列火车相对地面T又附加了一个线速度v，做更快的匀速圆周运动，并设此时火车对轨道的压力为N?.那么，单纯地由于该火车向东行驶而引起火车对轨道的压力减轻的数量（N－N?）为（ ）

v??地球大圆R v R2πC.M（）v

TA.M

2

2πv+2（）v］

TR2πv2D.M［+（）v］

TRB.M［

2小专题三：圆周运动的临界问题

第一种情况：无支撑物的情况

例如：绳拉小球在竖直平面内过最高点的运动。

第 13 页 共 27 页

1. 当小球的速度v?v0，物体所受的重力G已不足以提供物体所需的向心力。不足的部

分将由小球所受的绳的拉力来提供，只要不超过绳的承受力，已知物体的速度，就可求出对

v2(mg?FT?m)r 应的拉力。

2. 当小球的速度v?v0，物体所受的重力G刚好提供物体所需的向心力。

2mv0(G?,v0?gr)r

3. 当小球的速度v?v0，物体所受的重力G大于所需的向心力，此时小球将上不到最高点。

因此，绳拉小球在竖直平面内过最高点时的最小速度为v0?第二种情况：有支撑物的情况

gr。

1临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度 ○

v临界＝0

2图甲所示的小球过最高○

力的情况：

当v＝0时，轻杆对小球有其大小等于小球的重力，即

点时，轻杆对小球的弹竖直向上的支持力FN，

FN＝mg.

当0 FN > 0.

当v=rg时，FN＝0.

当v＞rg时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大. 3图乙所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况： ○

v＝0时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球重力，即

FN =mg.

第 14 页 共 27 页

当0＜v＜rg时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg > FN > 0.

当v＝rg时，FN＝0.

当v>rg时，管的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大.

【巩固练习题】

例1、如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球—初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ） A、a处为拉力，b处为拉力 B、a处为拉力，b处为推力

C、a处为推力，b处为拉力 D、a处为推力，b处为推力

例2、如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（ ） A．小球能够通过最高点时的最小速度为0 B．小球能够通过最高点时的最小速度为gR

C．如果小球在最高点时的速度大小为2gR，则此时小球对管 道的外壁有作用力

D．如果小球在最低点时的速度大小为5gR，则小球通过最高点时与管道间无相互作用力 例3、如图所示，一个

3圆弧形光滑细圆管轨道4

ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A 点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高， MN 是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点．将一个质量为m、直径略小于圆管

直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力．

（1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过C点时对管的作用力大小和方向如何？

（2）欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的最大高度是多少？

第 15 页 共 27 页

小专题四：火车拐弯问题

如下图所示，火车在平直的轨道上转弯，将挤压外轨，由外轨给火车的弹力提供火车转弯所需的向心力，这样久而久之，将损坏外轨。

故火车转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力的合力指向圆心，提供火车转弯所需的向心力（如图所示）。这就减轻了轮缘与外轨的挤压。 FNFθG 分析：当火车的速度为v0时，火车所需的向心力全部由重力和支持力的合力来提供，2v0mgtan??mr，v0?grtan?。 即

1. 若火车的速度v?v0，将挤压外轨； 2. 若火车的速度v?v0，将挤压内轨。

【巩固提高题】

例1、（高考题）在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右转弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ．设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时，车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，θ应等于 ( )

v2A．arcsin

Rgv2C．arctan

Rg

v2B．arccos

Rgv2D．arccot

Rg

例2、铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是（ ）

A．v一定时，r越小则要求h越大 B．v一定时，r越大则要求h越大 C．r一定时，v越小则要求h越大 D．r一定时，v越大则要求h越大

第 16 页 共 27 页

θ小专题五：圆锥摆问题：（两种模型）

模型一：圆锥摆

小球所需的向心力由重力和绳的拉力的合力来提供（如右图所示） 试分析圆锥摆的转动周期：

模型二：小球在漏斗中的转动

小球所需的向心力由重力和漏斗的支持力的合力来提供（如右图所示）

【巩固练习题】

FNFTFGFθG例1、如图所示,在固定的圆锥形漏斗的光滑内壁上,有两个质量相等的小物块A和B,它们分别紧贴漏斗的内壁,在不同的水平面上做匀速圆周运动,则以下叙述正确的是( ) A.物块A的线速度小于物块B的线速度 B.物块A的角速度大于物块B的角速度

C.物块A对漏斗内壁的压力大于物块B对漏斗内壁的压力 D.物块A的周期大于物块B的周期

例2、（09·广东物理））如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为m的小物块。求

①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；

②当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的 角速度。

第 17 页 共 27 页

小专题六：类“双星”问题

【巩固练习题】

例1、甲、乙两名滑冰运动员，M甲?80kg，M乙?40kg，面对面拉着弹簧秤做匀速圆周运动的滑冰表演，如图5所示，两人相距0.9m，弹簧秤的示数为9.2N，下列判断中正确的是（ ）

A. 两人的线速度相同，约为40m/s B. 两人的角速度相同，为6rad/s

C. 两人的运动半径相同，都是0.45m D. 两人的运动半径不同，甲为0.3m，乙为0.6m 例2、在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1=2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图所示.此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为（ ） A.1∶1 B.1∶2 甲C.2∶1 D.1∶2 乙自我总结：请你总结出这类问题的规律： 。 小专题七：离心运动 （1）离心现象条件分析 1做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方○向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如图所示. m1r1?r2m2

2当产生向心力的合外力消失，F =0，便沿所在位置的切线方向飞出去，如 ○

A点所示.

3当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力，○

第 18 页 共 27 页

F??m?2r，即合外力不足提供需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲

线运动.如图B点所示.

（2）离心运动的应用和危害

利用离心运动制成离心机械.如：离心干燥器、洗衣机的脱水筒等.

汽车、火车转弯处，为防止离心运动造成的危害，一是限定汽车和火车的转弯速度不能太大；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力.

[说明] 若合外力大于所需的向心力，物体离圆心将越来越近，即为近心运动.

小专题八：圆周运动的多解问题

匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动。由于这两种运动是同时进行的，因此，依据等时性建立等式来解待求量是解答此类问题的基本思路。特别需要提醒同学们注意的是，因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在表达做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，以下几例运算结果中的自然数“n”正是这一考虑的数学化。 【巩固练习题】 例1、 如图所示，直径为d的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动，枪口发射的子弹速度为v，并沿直径匀速穿过圆筒。若子弹穿出后在圆筒上只留下一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？ ωv 例2、质点P以O为圆心做半径为R的匀速圆周运动，如图所示，周期为T。当P经过图中D点时，有一质量为m的另一质点Q受到力F的作用从静止开始做匀加速直线运动。为使P、Q两质点在某时刻的速度相同，则F的大小应满足什么条件？ CωBODQFA 第 19 页 共 27 页

例3、 如图所示，在同一竖直平面内，A物体从a点开始做匀速圆周运动，同时B物体从圆心O处自由落下，要使两物体在b点相遇，求A的角速度。 ωAaOBb

物理巩固与提高测试卷（曲线运动） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共100分。考试时间90分钟。 第Ⅰ卷（选择题部分 42分）

一 选择题（每小题3分，共42分。下列每小题所给选项至少有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上。全对得3分，对而不全得1分）

1、一列以速度V匀速行驶的列车内有一水平桌面，桌面上的A处有一小球。若车厢中的旅客突然发现小球沿如图中（俯视图）的虚线从A点运动到B点。由此可以判断列车的运行情况是（ ）

V

A．减速行驶，向北转弯； B B．减速行驶，向南转弯； A C．加速行驶，向南转弯； D．加速行驶，向北转弯。

2、光滑的水平面上固定着一个螺旋形光滑水平轨道，俯视如图所示。一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，以下关于小球运动的说法中正确的是（ ） A．轨道对小球不做功，小球的角速度不断增大； B．轨道对小球做正功，小球的角速度不断增大； C．轨道对小球做正功，小球的线速度不断增大； v D．轨道对小球不做功，小球的线速度不断增大。

3、如图，某同学为了找出平抛运动的物体初速度之间的关系，用一个小球在O点对准前方 的一块竖直放置的挡板，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别为v1、v2、v3，不计空

第 20 页 共 27 页

北南

气 阻力，打在挡板上的位置分别是B、C、D，且AB:BC:CD?1:3:5。则v1、v2、v3之间的正确关系是（ ）

A.v1:v2:v3?3:2:1 B.v1:v2:v3?5:3:1 C.v1:v2:v3?6:3:2 D.v1:v2:v3?9:4:1

4、船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2。为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为（ ）

5、图所示是一个玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是 （ ） A．a、b和c三点的线速度大小相等 B．a、b和c三点的角速度相等 C．a、b的角速度比c的大 D．c的线速度比a、b的大 6、如图所示,一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上.物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角?满足 ( ) A.tan?=sinθ  B.tan?=cosθ C.tan?=tanθ  D.tan?=2tanθ 7、图示为某一皮带传动装置.主动轮的半径为r1,从转动的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动,转速为n,转动过程中皮带不打滑,下列说法正确的是 ( )

A.从动轮做顺时针转动 B.从动轮做逆时针转动 C.从动轮的转速为

r1rn D.从动轮的转速为2nr2r1

8、如图所示,轻杆的一端有一个小球,另一端有光滑的固定轴O,现给球一 初速度,使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动,不计空气阻力,用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力,则F

第 21 页 共 27 页

( )

B.一定是推力

A.一定是拉力 C.一定等于零

D.可能是拉力,可能是推力,也可能等于零

9、如图所示,在同一竖直面内,小球a、b从高度不同的两点,分别以初速度va和vb沿水平方向抛出,经过时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点.若不计空气阻力,下列关系式正确的是 ( )

A.ta>tb,vatb,va>vb C.tavb

9、如图所示，足够长的斜面上A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t1；若将此球改用2v0水平速度抛出，落到斜面上所用时间为t2，则t1 : t2为：( )

A．1 : 1 B．1 : 2 C．1 : 3 D．1 : 4

10、铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是（. ） A．v一定时，r越小则要求h越大 B．v一定时，r越大则要求h越大 C．r一定时，v越小则要求h越大 D．r一定时，v越大则要求h越大

11、如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（ ） A．小球能够通过最高点时的最小速度为0 B．小球能够通过最高点时的最小速度为gR

C．如果小球在最高点时的速度大小为2gR，则此时小球对管 道的外壁有作用力

D．如果小球在最低点时的速度大小为5gR，则小球通过最高点时与管道间无相互作用力 12、在民族运动会上有一个骑射项目,运动员骑在奔驰的马背上,弯弓放箭射击侧向的目标,假设运动员骑马奔驰的速度为v1,运动员静止时射出的弓箭速度为v2,跑道离固定目标的最近距离为d,则（ ）

A v0

第 22 页 共 27 页

A.要想命中目标且箭在空中飞行时间最短,运动员放箭处离目标的距离为

dv2 v1dv1?v2v222B.要想命中目标且箭在空中飞行时间最短,运动员放箭处离目标的距离为

C.箭射到靶的最短时间为

d v222D.只要击中侧向的固定目标,箭在空中运动合速度的大小v =v1?v2

13、如图所示,两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上,并用不可伸长的轻绳连接,整个装置能绕过CD中点的轴OO1转动,已知两物块质量相等,杆CD对物块A、B最大静摩擦力大小相等,开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力),物块B到OO1轴的距离为物块A到OO1轴距离的两倍,现让该装置从静止开始转动,使转速逐渐增大,在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中,下列说法正确的是 A.A受到的静摩擦力一直增大 保持不变

C.A受到的静摩擦力是先增后减小

D.A受到的合外力一直在增大

( )

B.B受到的静摩擦力是先增大,后

14、如图所示,在固定的圆锥形漏斗的光滑内壁上,有两个质量相等的小物块A和B,它们分别紧贴漏斗的内壁,在不同的水平面上做匀速圆周运动,则以下叙述正确的是( ) A.物块A的线速度小于物块B的线速度 B.物块A的角速度大于物块B的角速度

C.物块A对漏斗内壁的压力大于物块B对漏斗内壁的压力 D.物块A的周期大于物块B的周期

第Ⅱ卷 客观题部分（58分）

二、实验题（16分）

15、如图a所示为测量电动机匀速转动时角速度的实验装置，半径不大的圆形卡纸固定在电动机转轴上，在电动机的带动下匀速转动，在圆形卡纸的一侧垂直安装一个改装了的电火花计时器，已知它可以每隔相同的时间T，在圆形卡纸上留下一个圆形斑点。 （1）请将下列实验步骤按先后排序______________。

第 23 页 共 27 页

①使电火花计时器与圆形卡保持良好接触 ②接通电火花计时器的电源，使其工作起来 ③启动电动机，使圆形卡纸转动起来 ④关闭电动机，拆除电火花计时器；研究卡纸上留下的一段痕迹，如图b所示。写出角速度ω的表达式，代入数据，得出ω的测量值。

圆形卡纸电火花器电动机底座abc（2）要得到角速度ω的测量值，还缺少一种必要的测量工具，它是：（ ） A．秒表 B．毫米刻度尺 C．圆规 D．量角器

（3）写出ω____________的表达式，并指出表达式中各个物理量的意义：______________。 （4）为了避免卡纸连续转动的过程中出现打点重叠，在电火花计时器与盘面保持良好接触的同时，可以缓慢地将电火花计时器沿圆形卡纸半径方向向卡纸中心移动。则卡纸上打下的点的分布曲线不是一个圆，而是类似一种螺旋线，如图c所示。这对测量结果有影响吗？ ____________________。

16、在探究平抛运动的规律时，可以选用下列各种装置图，以下操作合理的是

装置1 装置2 装置3

( )

A．选用装置图1研究平抛物体竖直分运动，应该用眼睛看A、B两球是否同时落地 B．选用装置图2要获得稳定的细水柱所显示的平抛轨迹，竖直管上端A一定要低于水面

C．选用装置图3要获得钢球的平抛轨迹，每次不一定要从斜槽上同一位置由静止释放钢球

D．除上述装置外，也能用数码照相机拍摄钢球做平抛运动时每秒15帧的录像获得平抛

第 24 页 共 27 页

轨迹

三、计算题．本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能给分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位． 17、(08江苏13)抛体运动在各类体育运动项目中很常见,如乒乓球运动.现讨论乒乓球发球问题,设球台长2L、网高h,乒乓球反弹前后水平分速度不变,竖直分速度大小不变、方向相反,且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力.(设重力加速度为g)

(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出,落在球台的P1(如图实线所示),求P1点距O点的距离s1;

(2)若球在O点正上方以速度v2水平发出,恰好在最高点时越过球网落在球台的P2点(如图虚线所示),求v2的大小;

(3)若球在O点正上方水平发出后,球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3处,求发球点距O点的高度h3.

18、（05上海）一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动,在圆盘上沿半径开有一条宽度为2 mm的均匀狭缝.将激光器与传感器上下对准,使二者间连线与转轴平行,分别置于圆盘的上下两侧,且可以同步地沿圆盘半径方向匀速移动,激光器连续向下发射激光束.在圆盘转动过程中,当狭缝经过激光器与传感器之间时,传感器接收到一个激光信号,并将其输入计算机,经处理后画出相应图线.图 (a)为该装置示意图,图(b)为所接收的光信号随时间变化的图线,横坐标表示时间,纵坐标表示接收到的激光信号强度,图中Δt1=1.0×10-3 s, Δt2=0.8×10-3 s.

(1)利用图(b)中的数据求1 s时圆盘转动的角速度； (2)说明激光器和传感器沿半径移动的方向；

第 25 页 共 27 页

(3)求图(b)中第三个激光信号的宽度Δt3；

19、如图所示，长为L的细绳，一端系有一质量为m的小球，另一端固定在O点。细绳能够承受的最大拉力为7mg。现将小球拉至细绳呈水平位置，然后由静止释放，小球将在竖直平面内摆动。如果在竖直平面内直线OA（OA与竖直方向的夹角为θ）上某一点O′钉一个小钉，为使小球可绕O′点在竖直平面内做圆周运动，且细绳不致被拉断，求：OO′的长度d所允许的范围。

20、如图所示,光滑圆管的AB部分平直,BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆,圆管截面半径r  R,有一质量为m,半径比r略小的光滑小球,以水平初速度v0射入圆管. (1)若要小球能从C端出来,初速度v0应为多大?

(2)在小球从C端出来的瞬间,试探讨小球对管壁的压力有哪几种情况,初速度v0各应满足什么条件?

第 26 页 共 27 页

m O L d θ D ’ O＇C

A

第 27 页 共 27 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/g106.html