15年高考真题 - 理科数学（上海卷）

2015年高考真题理科数学（解析版） 上海卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷

数学（理科）

一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。

1．设全集U?R，若集合A??1,2,3,4?，B?x2?x?3，则A?e UB?_________。 2．若复数z满足3z?z?1?i，其中i为虚数单位，则z?_________。 3．若线性方程组的增广矩阵为????23c1??x?3，解为，则c1?c2?__________。 ???01c2??y?5 4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a?__________。

5．抛物线y2?2px（p?0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p?_______。 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2?，则其母线与轴的夹角的大小为

_______。

x?1x?1 7．方程log29?5?log23?2?2的解为___________。2

???? 8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。 9．已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2。若C1的渐近线方程为y??3x，则C2的渐近线方程为__________。 10．设f?1?x?为f?x??2x?2?2，x??0,2?的反函数，则y?f?x??f?1?x?的最

10x大值为_________。

1??2 11．在?1?x?2015?的展开式中，x项的系数为________（结果用数值表示）。

x?? 12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。若随机变量?1和?2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E?1?E?2?___________（元）。

13．已知函数f?x??sinx。若存在x1,x2,?,xm满足0?x1?x2?????xm?6?，且

|f?x1??f?x2?|?|f?x2??f?x3?|?????|f?xm?1??f?xm?|?12?m?2,m?N?，则m的最小值为__________。

14．在锐角三角形ABC中，tanA? 1 / 6

1，D为边BC上的点，?ABD与?ACD的面22015年高考真题理科数学（解析版） 上海卷

????????积分别为2和4。过D作DE?AB于E，DF?AC于F，则DE?DF?__________。

二．选择题：共4小题，每小题5分，共20分。

15．设z1,z2?C，则“z1,z2中至少有一个数是虚数”是“z1?z2是虚数”的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 16．已知点A的坐标为43,1，将OA绕坐标原点O逆时针旋转

???至OB，则点B的3纵坐标为（ ） （A）

11133353 （B） （C） （D）

222217．记方程①：x2?a1x?1?0，方程②：x2?a2x?2?0，方程③：x2?a3x?4?0，其中a1,a2,a3是正实数。当a1,a2,a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） （A）方程①有实根，且②有实根 （B）方程①有实根，且②无实根

（C）方程①无实根，且②有实根 （D）方程①无实根，且②无实根

2x?y?18．设Pn?xn,yn?是直线

则极限limn??nn?N??与圆x2?y2?2在第一象限的交点，?n?11yn?1?（ ） （A）?1 （B）? （C）1 （D）2

2xn?1三．解答题（本大题共5题，满分74分）

19．（本题满分12分）如图，在长方体

D1A1B1DFAEBC1CABCD?A1BCAA1?1，AB?AD?2，E,F11D1中，

分别是AB,BC的中点．证明A1,C1,F,E四点共面，并求直线CD1与平面AC11FE所成的角的大小。

20．（6分+8分）如图，A,B,C三地有直道相通，AB?5千米，AC?3千米，BC?4千米。现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f?t?（单位：千米）。甲的路线是AB，速度为5千米/小时，

乙的路线是ACB，速度为8千米/小时。乙到达B地后原地等待。设t?t1时乙到达C地。⑴求t1与f?t1?的值；⑵已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当求f?t?的表达式，并判断f?t?在?t1,1?上t1?t?1时，

得最大值是否超过3？说明理由。

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21．（6分+8分）已知椭圆x2?2y2?1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A,B和C,D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S。⑴设A?x1,y1?，C?x2,y2?，用A,C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S?2|x1y1?x2y1|；⑵设l1与l2的斜率之积为?求面积S的值。

?22．（4分+6分+6分）已知数列?an?与?bn?满足an?1?an?2?bn?1?bn?n?N。

1，2??⑴若bn?3n?5，且a1?1，求数列?an?的通项公式；⑵设?an?的第n0项是最大项，即

an0?an?n?N??，bn??n?n?N??，求证：数列?bn?的第n0项是最大项；⑶设a1???0，

求?的取值范围，使得?an?有最大值M与最小值m，且

M???2,2?。 m23．（4分+6分+8分）对于定义域为R的函数g?x?，若存在正常数T，使得cosg?x?是以T为周期的函数，则称g?x?为余弦周期函数，且称T为其余弦周期。已知f?x?是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R。设f?x?单调递增，f?0??0，f?T??4?。⑴验证h?x??x?sinx是以6?为周期的余弦周期函数；⑵设a?b，证明对任意3c???f?a?,f?b???，存在x0??a,b?，使得f?x0??c；⑶证明：“u0为方程cosf?x??1在?0,T?上得解”的充要条件是“u0??为方程cosf?x??1在?T,2T?上有解”，并证明对任意x??0,T?都有f?x?T??f?x??f?T?。

2015年普通高校招生全国统考数学试卷上海卷解答

一．1．?1,4?；2．

11?3?i；3．16；4．4；5．2；6．；7．2；8．120；9．y??x；4223zD1A1ADEBB1FCyC110．4；11．45；12．0.2；13．8；14．?1615 二．BDBA

19．解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则A,0?，F?1,2,0?，1?2,0,1?，C1?0,2,1?，E?2,1 3 / 6

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??????????????????因AC，EF???1,1,0?，故AC知直线ACC?0,2,0?，D1?0,0,1?。1111//EF，11???2,2,0???????与EF共面，即A1,C1,F,E共面。设平面AC11FE的法向量为n??x,y,z?，则n?EF，

??????????????x?y?0，取x?1得n??1,1,1?。设直线CD1与平n?FC1。又FC1???1,0,1?，故??x?z?0??????????????????n?CD115???????sin??|cosn,CD|??面AC所成角为，因，故，FECD?0,?2,1??111115|n||CD1|因此直线CD1与平面AC11FE所成的角的大小为arcsin 20．解：⑴由题t1?15。 15315，记乙到C时甲所在地为D，则AD?千米，在?ACD中，8893CD2?AC2?AD2?2AC?ADcosA??41，故f?t1??CD?41（千米）；

6483737 ⑵甲到B用时1小时；乙到C用时小时，从A到B总用时小时。当t1??t?8888时，f?t???7?8t???5?5t??2?7?8t??5?5t??2274?25t2?42t?18；当?t?1852??25t?42t?18?38?t?78??37?时，f?t??5?5t。所以f?t???。因f?t?在?,?上

?88??78?t?1???5?5t的最大值是f????3??8?341?7?，f?t?在?,1?上的最大值是8?8??7?5?3?故f?t?在?,1?上f???，

?8?8?8?的最大值是

341，不超过3。 821．解：⑴由题l1：y1x?x1y?0，点C到直线l1的距离d?|y1x2?x1y2|x?y2121，|AB|?2|OA|?2x12?y12，所以S?2S?ABC?|AB|?d?2|x1y2?x2y1|；

?y?kx1x。设A?x1,y1?，C?x2,y2?，由?2 ⑵设l1：y?kx，则l2：y??得22k?x?2y?1x1?x212k22x?S?2|xy?xy|?2|?x2?kx1|? x?，同理。由⑴，12212221?2k2k1?2k21 4 / 6

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2k2?1?|2k|?2k2?1?|x1x2|??2。

22|k||k|1?2k?2k?1 22．解：⑴由bn?1?bn?3，得an?1?an?6，故?an?是首项为1，公差为6的等差数列，从而an?6n?5；

⑵由an?1?an?2?bn?1?bn?，得an?1?2bn?1?an?2bn，故?an?2bn?是常数列，因此

an?2bn?a1?2b1，即an?2bn?a1?2b1。因为an0?an，n?N?，所以

2bn0?a1?2b1?2bn?a1?2b1，即bn0?bn。故?bn?的第n0项是最大项；

⑶因为bn??，所以an?1?an?2?nn?n?1??n?，当n?2时，an?a1???ak?ak?1??

k?2n???2??k??k?1??2?n??。当n?1时，a1??，符合上式。所以an?2?n??。因

k?2为??0，所以a2n?2|?|2n?????，a2n?1?2|?|2n?1?????。①当???1时，由指数函数的单调性知，?an?不存在最大、最小值；②当???1时，?an?的最大值为3，最小值为?1，而

3???2,2?；③当?1???0时，由指数函数的单调性知，?an?的最大值?12M?a2?2???，最小值m?a1??，由?2??1?1????0。综上，?的取值范围是??,0?。 2?2?22．解：⑴由题h?x??x?sin2?2????2及?1???0，得

x的定义域为R，对任意x?R，h?x?6??? 3x?6??sinx?6??h?x??6?，故cosh?x?6???cos??h?x??6????cosh?x?，即3h?x?是以6?为余弦周期的余弦周期函数；

⑵由于f?x?的值域为R，所以对任意c???f?a?,f?b???，c都是一个函数值，即有

x0?R，使得f?x0??c。若x0?a，则由f?x?单调递增得到c?f?x0??f?a?，与

c??所以x0?a。同理可证x0?b。故存在x0??a,b?使得f?x0??c； ?f?a?,f?b???矛盾，

⑶若u0为cosf?x??1在?0,T?上的解，则cosf?u0??1，且u0????T,2T?，

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cosf?u0?T??cosf?u0??1，即u0?T为方程cosf?x??1在?T,2T?上的解。同理，

若u0??为方程cosf?x??1在?T,2T?上的解，则u0为该方程在?0,T?上的解。以下证明最后一部分结论。由⑵所证知存在0?x0?x1?x2?x3?x4?T，使得

f?xi??i??i?0,1,2,3,4?，而?xi,xi?1??i?0,1,2,3?是函数cosf?x?的单调区间。与之前

类似地可以证明：u0是cosf?x???1在?0,T?上的解当且仅当u0?T是cosf?x???1在

?T,2T?上的解，从而cosf?x???1在?0,T?和?T,2T?上的解的个数相同。故

f?xi?T??f?xi??4??i?0,1,2,3,4?。对于x??0,x1?，f?x???0,??，f?x?T???4?,5??，而cosf?x?T??cosf?x?，故

f?x?T??f?x??4??f?x??f?T?。类似地，当x??xi,xi?1??i?1,2,3?时，有f?x?T??f?x??f?T?。结论成立。

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