(全)概率论与数理统计答案(东华大学出版)

1 第二章 离散型随机变量及其分布律

第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题

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1、 一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用ξ表示所得球上的数字，求ξ的分布律。

解答：因为ξ只能取-3、1、2，且分别有2、3、1个，所以ξ的分布律为：

2、 在200个元件中有30个次品，从中任意抽取10个进行检查，用ξ表示其中的次品数，问ξ的分布律是什么？

解答：由于200个元件中有30个次品，只任意抽取10个检查，因此10个元件中的次品数可能为0、1、2到10个。当次品数ξ为k 时，即有k 个次品时，则有10-k 个正品。所以：

ξ的分布律为：103017010200{},0,1,,10k k C C P k k C ξ-===。

3、 一个盒子中有m 个白球，n m -个黑球，不放回地连续随机地从中摸球，直到取到黑球才停止。设此时取到的白球数为ξ，求ξ的分布律。

解答：因为只要取到黑球就停止，而白球数只有m 个，因此在取到黑球之前，所取到的白球数只可能为0m 中的任意一个自然数。设在取到黑球时取到的白球数ξ等于k ，则第

1k +次取到是黑球，以i A 表示第i 次取到的是白球；_i A 表示第i 次取到的是黑球。则ξ的

分布律为：__12

112111{}()()(|)(|)11,0,1,,11k k k k P k P A A A A P A P A A P A A A m m m k n m k m n n n k n k ξ++===--+-=????=--+-。

4、 汽车沿街道行驶，要通过3个有红绿灯的路口，信号灯出现什么信号相互独立，且红绿灯显示时间相等。以ξ表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数，求ξ的分布律。 解答：因为只有3个路口，因此ξ只可能取0、1、2、3，其中{3}ξ=表示没有碰到红灯。

2 以i A 表示第i 个路口是红灯，因红绿灯显示时间相等，所以()1/2i P A =，又因信号灯出现什么信号相互独立，所以123,,A A A 相互独立。因此ξ的分布律为：

_11{0}()2P P A ξ===

， __12121{1}()()()4P P A A P A P A ξ====

， {2}P ξ==____1231231()()()()8P A A A P A P A P A ==

， ______123123{3}()()()()1/8P P A A A P A P A P A ξ====。

5、 一实习生用同一台机器制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率为

1,(1,2,3)1

i p i i ==+。用ξ表示3个零件合格品的个数，求ξ的分布律。 解答：因为利用同一台机器制造3个同种零件，因此可认为这3个零件是否合格是相互独立的，以i A 表示第i 个零件是合格的，则()1/(1)i P A i =+。因ξ表示零件的合格数，因此ξ的分布律为：

______

1231231111{0}()()()()(1)(1)(1)2344

P P A A A P A P A P A ξ====---=， ______12312312311{1}()()()24

P P A A A P A A A P A A A ξ==++=， ___1231231236{2}()()()24

P P A A A P A A A P A A A ξ==++=， 1231{3}()24P P A A A ξ===。 6、 设随机变量ξ的分布律为{},0,1,2,!k P k c

k k λξ===，式中λ为大于0的常数。试确定常数c 的值。

解答：因{},0,1,2,!k

P k c k k λξ===如果是随机变量ξ的分布律，则应该满足如下两个

条件：1、对任意的k ，{}0P k ξ=≥，因此可得0c ≥；2、

01{}k P k ξ∞===∑0!k k c k λ∞

==∑ce λ=，所以可得c e λ-=。

7、 设在每一次试验中，事件A 发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3时，指示灯发出

信号。（1）若进行5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）若进行7次独立试

3 验，求指示灯发出信号的概率。

解答：因为进行的是独立试验，所以如进行n 次试验，则事件A 在n 次试验中发生的次数ξ服从参数为n 和()0.3p P A ==的二项分布。因为当A 在n 次试验中发生次数不少于3时，指示灯发出信号。因此，{}{3}P P ξ=≥发出信号3{}n k P k ξ===∑30.30.7n k k n k n k C

-==∑。第

一小题中的n 等于5，第二小题中的n 等于7。计算即可。

8、 某交换台有50门分机，各分机是否呼叫外线相互独立，在单位时间内呼叫外线的概率

都是10%，问在单位时间内至少有3门以上的分机需要外线的概率是多少？

解答：同上一题，因为各分机是否呼叫外线相互独立，因此在单位时间里呼叫外线的分机束缚从参数为50和0.1的二项分布。所以所求的概率等于{3}1{0}P P ξξ≥=-={1}P ξ-= {2}P ξ-=504948250*4910.950*0.9*0.10.90.12

=---。 9、 把一个试验独立重复地做n 次，设在每次试验中事件A 出现的概率为p ，求在这n 次试

验中A 至少出现一次的概率是多少。

解答：同上一题，n 次试验中A 出现的次数服从参数为n 和p 的二项分布。因此，所要求的概率等于{1}1{0}1(1)n

P P p ξξ≥=-==--。

10、 甲乙两选手轮流射击，直到有一个命中为止，若甲命中率为0.6，乙命中率为0.7，如果甲首先射击，求：

（1） 两人射击总次数ξ的分布律；

（2） 甲射击次数1ξ的分布律；

（3） 乙射击次数2ξ的分布律。

解答：因为轮流射击，直到有一个命中为止，且由甲首先射击。因此可以看到，如果由甲射中，则总的射击次数应为奇数，乙比甲少射一次，而由乙射中的话，则甲、乙两人射击次数相同。且可以知道，乙可能没有射击。而由题意可知，每次是否射中是相互独立的。令i A 表示甲第i 次射击时射中，则()0.6i P A =（1,2,i =）；令i B 表示乙第i 次射击时射中，则()0.7(1,2,)i P B i ==。由此可知：

4

（1）__

___

_

11

1111{21}()()()()k

k k k k P k P A B A B A P A P B P A ξ+=+==0.12*0.6k =，

0,1,

k

=

_

_

__

_

111

111{2}()()()()k

k k k P k P A B A B P A P B P B ξ-===10.12*0.28k -=，1,2,k

=

（2） _

__

_

__

_

_1111

1

1

111

1{}(

)()()()()k

k k k k k P k P A B A B P A B B A P A P B P

B ξ--==+= +__1

11111()

()()0.88*0.12,1,2,

k k k P A P B P A k ---=

=

（3） __

____

_

_

1211

1

1

111

1{}(

)()()()()k

k k k k k P k P A B A B P A B B A P A P B P

B ξ-+==+= _

_

1

111()()()0.352*0.12,1,2

k

k

k P A P B P A k -+=

=

21{0}()0.6P P A ξ===。 11、

一电话交换机每分钟收到的呼叫数服从4λ=的泊松分布。求（1）一分钟内恰好

有8次呼叫的概率；（2）一分钟内呼叫数大于9次的概率。 解答：因每分钟受到的呼叫数(4)ξ

π，因此84

4{8}8!

P e ξ-==，而{9}1{9}P P ξξ>=-≤

=4

104!

i i e i ∞

-=∑=0.008132。（查表得到） 12、

某路口有大量车辆通过，设每辆车在高峰时间（9点—10点）出事故的概率为

0.001，设某天的高峰时间有500辆车通过，问出事故的车数不少于2的概率（利用泊松定理来计算）。

解答：可以认为每辆车是否出事故是相互独立。则该天高峰时间车事故的车数

(500,0.001)B ξ，因500n =较大，而0.001p =较小，因此可利用泊松定理近似计算，

则令500*0.001λ=，即近似认为(0.5)ξπ。即{2}1{1}

P P ξξ≥=-≤0.5

20.5!

k i e k ∞

-==∑，查表可得等于0.090204。 13、

设车间内每月耗用某种零件的数量服从参数为3的泊松分布。问月初要备该种零

件多少个才能以0.999的概率保证当月的需要量？ 解答：因每月耗用零件的数量(3)ξ

π，要保证当月的需要量，则要求当月的耗用量ξ小

5 于等于月初所备的零件数x ，也就是1

303{}10.999!i

x i P x e i ξ--=≤=-=∑，查表可得10x ≥。

14、 设ξ服从泊松分布，且{1}{2}P P ξξ===，求{4}P ξ=。

解答：因()ξπλ，即1

2

{1}{2}1!2!P e P e λλλλξξ--=====，由此可得2λ=，所以

4

42{4}4!

P e ξ-==。 15、 设ξ服从参数为λ的泊松分布，即{},0,1,2,!k

P k e k k λλξ-===，求使得

{}P k ξ=达到极大值的k ，并证明你的结论。

解答：因1

{1}/(){}(1)!!k k

P k e e P k k k λλξλλξ+--=+==+1

k λ=+,因此如果1k λ<+，则{1}{}P k P k ξξ=+<=，而若1k λ>+，则{1}{}P k P k ξξ=+>=。所以，若存在正整数l 使得1l l λ<<+，则{}P l ξ=取得最大；而若存在正整数l λ=，则{1}P l ξ=-与{}P l ξ=同时达到最大。

16、 设随机变量(2,),(3,)B p B p ξη，若{1}5/9P ξ≥=，求{1}P η≥。

解答：因(2,),(3,)B p B p ξη

，所以25{1}1{0}1(1)9

P P p ξξ=≥=-==--，由此可得13p =。所以3119{1}1{0}1(1)327P P ηη≥=-==--=。 17、 设有10个同类元件，其中有2只次品。装配仪器时从中任取1只，如果是次品则

扔掉重新任取一只。如再是次品，继续扔掉再任取一只。试求在取到正品前已取出的次品数的分布？

解答：因其中只有2只次品，所以取到正品前已取出的次品数ξ只可能取0、1、2，因此ξ的分布律为828218{0},{1},{2}101091098

P P P ξξξ====?==??。

6

第三节 二维离散型随机变量及其分布律习题

Page 62

1、 设二维随机变量(,)ξη可能取的值为(0,0),(1,1),(1,1/3),(2,0),(2,1/3)--，相应的概率

为1/6,1/3,1/12,1/4,1/6。

（1） 列表表示其联合分布律；

（2） 分别求出ξ和η的边缘分布律；

（3） 分别求ξ在0η=和1/3η=条件下的条件分布律；

（4） 求{11}P ξη-≤+≤。

解答：由题意可得二维随机变量(,)ξη的联合分布律及ξ和η的边缘分布律为：

7

（3） 条件概率的定义得：0(1|0)05/12P ξη=-==

=，1/6(0|0)5/12P ξη===2

5

=，1/43(2|0)5/125P ξη====；11/121(1|)31/43P ξη=-===，1

(0|)03P ξη===，

11/62

(2|)31/43

P ξη====。

（4） 1

{11}(1,0){1,}{1,1}3P P P P ξηξηξηξη-≤+≤==-=+=-=+=-=

1(0,0){0,}{0,1}3P P P ξηξηξη+==+==+==7

12

=。

2、 在一个盒子中放6只球，上面分别标有号码1、1、2、2、2、3，不放回地随机摸2只

球，用ξ和η分别表示第一个与第二个球的号码。 （1） 求(,)ξη的联合分布律；

（2） 求ξ在2η=条件下的条件分布律； （3） 问ξ与η是否独立？为什么？

（4） 把摸球从不放回改成放回抽样，问此时ξ与η是否独立？ 解答：（1）(,)ξη的联合分布律为：

注：{2,2}{2}{2|2}6530

P P P ξηξηξ=======

?=。 （2）

{2}{1,2}{2,3}{3,

2}P P P P ηξηξηξη====+==+==1530

=，因此，ξ在2η=注：{2,2}6/302

{2|2}{2}15/305

P P P ξηξηη=====

===。

（3）因为

21010

{1,1}{1}{1}303030

P P P ξηξη===≠===?，所以ξ与η并不独立。 （4）当从不放回改成放回抽样时，因第二次摸到什么球与第一次毫无关系，因此由题意即

8

可得知这两个随机变量是相互独立的。

3、 用ξ和η分别表示某地区一天内新生婴儿的人数和其中的男孩人数，设ξ和η的联合分

布律为14

7.146.86{,},0,1,2,,0,1,,!()!

m n m P n m e n m n m n m ξη--===

==-。

（1） 试求ξ与η的边缘分布律；

（2） 求条件分布律{|}P n m ξη==和{|}P m n ηξ==

解答：显然由题意可知，男婴数不可能大于新生婴儿数，所以：

（1）1400

7.146.86{}{,}!()!m n m n

n

m m P n P n m e m n m ξξη--=======-∑∑

14

7.146.86!n

m

m n m n

m e C

n --==∑

141414(7.14 6.86),0,1,2!!

n n e e n n n --=?+==，

147.14 6.86{}{,}!()!m n m n m

n m P m P n m e m n m ηξη-∞

∞

-====

==

=-∑

∑140

7.14 6.86!()!m n m

n m e m n m --==?-∑

14

6.86

7.147.147.14,0,1,2!

!

m m e e

e

m m m --

=??=?=；

（2）14

6.86

7.14

7.146.86{,} 6.86!()!

{|},7.14{}()!

!m n m n m m

e

P n m m n m P n m e n m P m n m e m ξηξηη-----==-=====≥=-? 14

147.146.86{,}7.14 6.86!()!{|}(

)()14{}1414

!

m n m m m n m

n n e

P n m m n m P m n C P n e n ξηηξξ----==-======?，0,1,m n =。

4、 设二维随机变量(,)ξη的联合分布律如下表所示，问表中,x y 取什么值时，ξ和η独立。

9

解答：由二维随机变量的联合分布律及随机变量的独立性条件可知：

111111691833111{1,2}{1}{2}()939x y P P P x ξηξη?+=----=????=======?+??，得：29

19x y ?

=???

?=??

，验证可知正确。 5、 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6和0.7。今各投3次，求 （1） 两人投中次数相等的概率； （2） 甲比乙投中次数多的概率； （3） 写出它们的联合分布律。

解答：以ξ表示甲投中的次数、η表示乙投中的次数。由题意，假设每次是否投中是相互独立的，则可得(,)ξη的联合分布律为：

其中：3333{,}0.60.40.70.3,,0,1,2,3i i i j j j

P i i C C i j ξη--===??=。由此可得：

{}0.0017280.0544320.1905120.0740880.32076P ξη==+++=

{}0.0077760.0116640.0058320.0816480.0408240.095256P ξη>=+++++

0.243=。

第四节离散型随机变量函数的分布律习题

Page 66

1、设ξ的分布律如下表所示，试求（1）ξ+2；（2）2ξ-；（3）2

ξ-的分布律。

(1)

解答：

10

11

由此得到：（1）2ξ+的分布律为：

（2）2

ξ-的分布律为：

（3）2

(1)ξ-的分布律为：

2、 设ξ与η独立，(,),(,)B m p B n p ξ

η,求ξ+η的分布律。

解答：因ξ与η独立，则0

{}{,}{}{}k k

i i P k P i k i P i P k i ξηξηξη==+==

==-===-∑∑

()

()

(1)

(1)

(1)

k

k

i

i

m i

k i k i

n k i k

m n k i k i m

n

m n

i i C p p C

p

p p p C

C -----+--===--=-∑∑()(1)

k k m n k n m C p p +-+=-，0,1,,()k m n =+，即(,)B m n p ξη++。

3、 12,,,n ξξξ相互独立，都服从0-1分布，其分布律为{1}i P p ξ==，{0}1i P p ξ==-，

1,2,

,i n =，求证：12(,)n

B n p ηξξξ=+++。

解答：因为12,,

,n ξξξ相互独立，都服从0-1分布，因此0

n

i i ηξ==∑的可能取的值为0,1,

n ，

事件{}k η==1{10}n k n k ξξ-到中有个取，个取，由此对任意k (0)k n ≤≤，{}P k η=

11(1)(0)(1)k k n k k k n k n n C P P C p p ξξ--====-，即η

(,)B n p 。

12

4、 设(,)ξη的联合分布律同第二章第三节中第2题，求（1）ξη+；（2）2ξ；（3）2ξηη-的分布律。

解答：因为(,)ξη的联合分布律如下表：

因此：

（1）ξη+的分布律为：

注：{3}{1,2}

{2,1}303030

P P P ξηξηξη+====+===+=

。 （2）2ξ的分布律为：

注：3

1

66315

{24}{2}{2,}30303030

j P P P j ξξξη========

++=∑。 （3）2ξηη-

的分布律为：

注：3

1

66315

{20}{2}{2,}30303030

j P P P j ξηηξξη=-====

===

++=∑。 5、 设(,)ξη的联合分布律如下表所示，

13

（1） 求η在1ξ=条件下的条件分布律； （2） 求max(,)V ξη=的分布律； （3） 求min(,)U ξη=的分布律； （4） 求(,)U V 的联合分布律； （5）

求W ξη=+的分布律。 解答：（1）5

0{1}{1,}0.010.020.040.050.060.080.26j P P j ξξη===

===+++++=∑，

注：{1,}

{|1},0,1,

,5{1}

P j P j j P ξηηξξ=====

==。

（2）max(,)V ξη=的分布律为：

注：3

2

{3}{max(,)3}{,3}{3,}i j P V P P i P j ξηξηξη========+==∑∑0.28=。

（3）min(,)U ξη=的分布律为：

14

注：5

2

{2}{min(,)2}{2,}{3,2}0.25i P U P P j P ξηξηξη=======+===∑。

（4）(,)U V 的联合分布律为：

注：{1,

3}{min(,)1,max(,)3}{1,3}{3,1}P U V P P P ξηξηξηξη========+== 0.050.020.07=+=。 （5）W ξη=+的分布律为：

注：3

{5}{5}{,5}i P W P P i i ξηξη===+==

==-∑0.090.060.050.040.24=+++=。

6、 设随机变量12,ξξ独立，分别服从参数为1λ与2λ的泊松分布，试证：

1111212

12

{|}(

)(1),0,1,2,,k

k n k n P k n C k n λλξξξλλλλ-=+==-

=++

解答：1122(),()ξπλξπλ，且1ξ与2ξ相互独立，所以（例2.13）：1212()ξξπλλ++。

因此：112121121212{,}{,}

{|}{}{}

P k n P k n k P k n P n P n ξξξξξξξξξξξξ=+===-=+==

=+=+=

1212{}{}{}

P k P n k P n ξξξξ==-=

+=1

2

1212()12!()!

()!

k

n k

n e

e k n k e n λλλλλλλλ----+-=

+1112121k

n k

k n C λλλλλλ-????=- ? ?++??

??

，

0,1,

k n =。

15

复习题

Page68

1、 掷两粒骰子，用ξ表示两粒骰子点数之和，η表示第一粒与第二粒点数之差，试求ξ和

η的联合分布律，并讨论ξ与η是否独立。

解答：以U 表示第一粒骰子的点数、V 表示第二粒骰子的点数，则由题意可知随机变量U 和V 相互独立，且1{}{},,1,2,,66P U i P V j i j =====。则ξ和η的联合分布律为：

{,}{,}{,}22

k l k l P k l P U V k U V l P U V ξη+-===+=-==== {}{},2,3,,12;5,4,,522k l k l P U P V k l +-=====--

。

16

它们的联合分布表如下表：

由随机变量独立性的定义可知，ξ和η相互不独立。

2、 设,ξη相互独立，{},{

},,i j P i p P j q i j ξη====可取任意非负整数值，试求：{}P ξη=和{}P ξη≥。

解答：因,ξη相互独立，则0

{}{,}{}{}i

i

i i i P P i i P i P i p q ξηξηξη∞∞∞

=====

======?∑∑∑。

000

00

{}{,}{,}{}{}i

i

i i j i j P P i i P i j P i P j ξηξηξηξη∞

∞

∞

=====≥==≤======∑∑∑∑∑

00

i

i

j

i j p q

∞

===

?∑∑。

3、 在盒子中有N 只球，分别标上号码1,2,

,N ，现有放回地随机摸n 次球，设ξ是n 次

中得到的最大号码，试求ξ的分布律。 解答：令(1,2,

,)i i n η=表示第i 次摸到球的号码，则可得{}i k

P k N

η≤=

(1,,)k N =。

由题意可知每次摸到什么号码是相互独立的。而事件{}k ξ=12{,,}n k k k ηηη=≤≤≤

1{1,1}n k k ηη-≤-≤-。即1

{}{,}n P k P k k ξηη==≤≤1{1,1}n P k k ηη-≤-≤-

111({})({1}),1,2,

,n

n

n n k k P k P k k N N N ηη-????

=≤-≤-=-= ? ?????

。

17

4、 设在贝努里试验中（成功的概率为p ），直到第k 次成功出现就停止试验，到此时为止

所进行的试验次数为ξ，求证：11{}(1),,1,2,

k k n k

n P n C p p n k k k ξ---==-=++。

解答：假设到第k 次成功时已进行的试验次数为n ，则我们可以知道，在第n 次试验是成功的，并且在前1n -试验中有1k -次试验是成功的、有n k -次试验是不成功的，但显然的是：这1k -次成功的试验可以发生在前1n -试验中的任意1k -次。并且由于每次试验是相

互独立的，因此，我们可得11{}(1),,1,2,

k k n k

n P n C p p n k k k ξ---==-=++。

5、 作5次独立重复试验，设()1/3P A =，已知5次中A 至少有一次不发生。求A 发生次

数与A 不发生次数之比的分布律。

解答：以ξ表示A 在5次独立重复试验中发生的次数，则1

(5,)3

B ξ

。已知A 至少有一次

不发生，令η表示A 发生次数与A 不发生次数之比，则可知η的概率分布律为：

注：2{2}{|4}{2|4}3{4}P P P P ξηξξξξ==≤==≤=≤()()()

2

3

2

55

12380242113C ==-。 6、 设,ξη相互独立，且服从相同分布{}{}1/2,1,2,3,

n

P n P n n ξη=====。

（1） 求12ζξ=的分布律； （2） 求2ζξη=+的分布律。

解答：（1）11

{2}{22}{},1,2,2k

P k P k P k k ζξξ======

=；

（2）121

{}{}{,}{,}k i j k

i P k P k P i j P i k i ζξηξηξη-+====+==

=====-∑∑

111

1

111{}{}222k k i k i k

i i k P i P

k i ξη---==-=

==-=?=∑∑

，2,3,k =。

7、 设随机变量,ξη相互独立，下表列出了二维随机变量(,)ξη的联合分布律及关于ξ和关

于η的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。

18

解答：因随机变量,ξη相互独立，因此

2121{,}{}{}8

P x y P x P y ξηξη====== 21{}6P x ξ==?，即得：23{}4P x ξ==，继而得到11{}4P x ξ==，11{,}P x y ξη==1146

=? 124=，1311112{,}{}{,}{,}P x y P x P x y P x y ξηξξηξη====-==-==112=， 由18=121221{,}{}{}{}4P x y P x P y P y ξηξηη=======，得到21{}2

P y η==， 222123

{,}{}{,}8

P x y P y P x y ξηηξη====-===，31{}1{}P y P y ηη==-=

21{

}3P y η-==，233131

{,}{}{,}3

P x y P y P x y ξηηξη====-===。

第三章 连续型随机变量及分布

习题3.1（p.86）

1、 设随机变量ξ的分布律如下表所示，

试求ξ的分布函数，并利用分布函数求{}20≤≤ξP 。

解：()?????

??????≥

<≤<≤<≤<=27127385

3

124111031

00x x x x x x F

19 {}{}{}()()()()2411024110

00220020=-=-+-=≤<+==≤≤-

F F F F P P P ξξξ 2、 函数x sin 在下列范围内取值

⑴ []2/π,0；⑵ []π,0；⑶ []2/π3,0；

它是否可作为一个连续型随机变量的密度函数？

解：作为连续型随机变量的密度函数，()x f 在定义范围内满足

①()0≥x f ； ② ()1d =?+∞∞

-x x f

⑴ 1d sin 2π

=?x x 且当[]2/π,0∈x 时，0sin ≥x ，故可作为连续型随机变量的密度函数； ⑵ 12cos d sin π

0π

≠=-=?x x x ，故不可以作为连续型随机变量的密度函数； ⑶1cos d sin 23π023π

0=-=?x

x x ，但当[]2/π3,π∈x 时，0sin

随机变量的密度函数。

3、 要使下列函数成为密度函数，问式中的参数c b a ,,应满足什么条件（21,l l 是已知数）？

⑴ ()()

???>=-其它0

e c x a x

f c x b ；

解：()()()()b a b a b a x a x x f c b c c x b c

c x b c -=?===-∞+∞+-+∞-+∞??e e 1

d

e d 1 c b a b ,1,0=-

<∴任意。 ⑵ ()???≤≤-=其它0

21l x l b

x a x g 解：()??-==

+∞

∞-21

d d 1l l x b x a x x g ①1l b <，()()212

12d 12l l l l b x a x b x a -?=-=?， ()()[]22122=---∴b l b l a

20

②21l b l <≤，()()()()???

?

???

?-+

--

?=????

????-+-=??2

1

212

2d d 122l b

b

l l b b l b x x b a x b x x x b a ()()

[

]22

12

2=-+-∴b l b l a

③2l b ≥，()()()

2

1

2

1

12

d 12

l l l l x b a x x b a --?

=-=?

， ()()

[

]22

22

1=---∴l b l b a

4、 设连续型随机变量ξ的分布函数为

()1

100,1,

,03

≥<≤

???=x x x Ax x F ⑴求常数A ； ⑵求ξ的密度函数； ⑶求{

}5.0>ξP ，{}13.0≤≤ξP ，{}43>ξP 。

解：⑴ ()x F 连续，()()111

===+

-

F F A ，1=∴A

⑵ ()()??

?<≤='=其它

1

032

x x x F x f

⑶ {}875.0d 35.015

.031

0.5

2

==>?

x

x x P ＝ξ {}973.0d 313.01

3

.02==≤≤?x x P ξ

{}

{

}{}64

37d 34343431

4

3

2

==-<+>=>?

x x P P P ξξξ 5、 设随机变量ξ的密度函数为

()?????>≤=-

,e 0

,042x Kx x x f x ⑴求未知常数K ； ⑵求{}11≤≤-ξP 。

解：⑴ ()K K x K x Kx x x f x x x 2e 24d e

2d e

d 10

4

2

4

4

2

22

=?-=???

? ??--===

+∞

-∞

+-∞

+-∞

+∞

-???

2

1=

∴K ⑵ {}4

11

4

4

1

e

1e

d e

2112

2-

-

--=-==≤≤-?x x x x

P ξ

6、设随机变量ξ的密度函数为

21

⑴()?????≤

≤-=其它,02π2π,cos 21

x x x f ⑵()??

???≤≤<≤--+=其它1001,0,1,1x x x x x f

求ξ的分布函数()x F ，并画出()x f 和()x F 的图形。 解：()()?∞

-=

x

t t f x F d

⑴ 2π

-

-x

t x F

2

π

2π<≤-x ，()()1sin 21sin 21d cos 212

π2

π+===

-

-

?x t t t x F x

x

2

π

≥x ，()1sin 21d cos 212π

2

π2

π

2

π===

--

?t t t x F ()()????

?????

≥

<≤--<+=∴2π2π2π2

π11s i n

2

1

0x x x x x F ⑵ 1-

?∞

-x

t x F

01<≤-x ，()()()21

2d 1d 0d 21

1

++=++==???--∞-∞-x x t t t t t f x F x

x

10<≤x ，()()()()21

2d 1d 1d 0d 20

11

++-=-+++==????--∞-∞-x x t t t t t t t f x F x

x

1≥x ，()()()()1d 0d 1d 1d 0d 1

10

01

1=+-+++==

?????--∞

-∞

-x

x t t t t t t t t f x F

()????

?????

≥<≤+

+-<≤-++-<=∴1

110212

121

21022x x x x x x x x x F

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