23 内积空间与希尔伯特空间

2.3 内积空间与希尔伯特空间

通过前面的学习，知道n维欧氏空间就是n维线性赋范空间的“模型”，范数相当于向量的模，表明了线性赋范空间的代数结构．对于三维向量空间，我们知道向量不仅有模，而且两

cos??个向量有夹角，例如?为向量?和?的夹角时有：

???或者??????cos?，其中?????表示两个向量的数量积(或点积或内积)，?表示向量的模．于是便有了直交性、直交投影以及向量的分解等概念，这些均反映了空间的“几何结构”．通过在线性空间上定义内积，可得到内积空间，由内积可导出范数，若完备则为Hilbert空间．

2.3.1 内积空间

定义1.1 设U是数域K上的线性空间，若存在映射(? , ?)：U?U?K，使得?x,y,z?U，

??K，它满足以下内积公理：

(1) (x,x)?0；(x,x)?0?x?0； 正定性(或非负性) (2) (x,y)?(y,x)； 共轭对称性 (3) (?x??z,y)??(x,y)??(z,y)， 线性性

则称在U上定义了内积(? , ?)，称(x,y)为x与y的内积，U为K上的内积空间(Inner product spaces)．当K?R时，称U为实内积空间；当K?C时，称U为复内积空间．称有限维的实内积空间为欧几里德(Euclid spaces)空间,即为欧氏空间；称有限维的复内积空间为酉(Unitary spaces)空间．

注1：关于复数：设z?a?bi?C，那么z?a2?b2?oz；z?r(cos??isin?)其中?为辐射角、r?z；z?z?z；z?z；对于z1,z2?C，有z1?z2?z1?z2．

注2：在实内积空间中，第二条内积公理共轭对称性变为对称性．

注3：在复内积空间中，第三条内积公理为第一变元是线性的，第二变元是共轭线性的． 因为(x,?y)?(?y,x)??(y,x)???(y,x)??(x,y)，所以有

(x,?y??z)??(x,y)??(x,z)，

2即对于第二变元是共轭线性的．在实内积空间中，第三条内积公理为第一变元、第二变元均为线性的．

os?，即??????在n维欧氏空间Rn中，??,??Rn，有??????c

cos????．下

12面的引理说明这样的性质在内积空间上同样成立．如果在内积空间上定义范数x?(x,x)，其中x?U，通过Schwarz不等式可证明U为线性赋范空间，即需验证??(? , ?)满足范数公理．

引理1.1 Schwarz不等式

设U为内积空间，?x,y?U有(x,y)?x?y．

证明 当x?0或者y?0时，显然结论成立．假设x?0及y?0，那么???C有

(x??y,x??y)?0

12即

0?(x??y,x??y)?(x,x)??(x,y)??(y,x)???(y,y)

?(x,x)??[(x,y)??(y,y)]??(y,x)

(x,y)(x,y)令???，则有0?(x,x)?，即

(y,y)(y,y)2(x,y)?(x,x)(y,y)?x?y，

222因此(x,y)?x?y．□

讨论什么条件下？Schwarz不等式中的(x,y)?x?y成立． 验证??(? , ?)满足范数公理．

(1)正定性和(2)齐次性容验证；(3)三角不等式：?x,y?U有

x?y?(x?y,x?y)?(x,x?y)?(y,x?y)

?(x,x?y)?(y,x?y) ?x?x?y?y?x?y ?(x?y)x?y

212故x?y?x?y．

因此任何内积空间都可看成由内积导出的线性赋范空间，由范数x?(x,x)导出的距离为

d(x,y)?x?y?(x?y,x?y)．

1212例1.1 在点列依范数收敛时，内积(x,y)是x,y的连续映射．即内积空间U中的点列{xn}，

{yn}依范数收敛xn?x0，yn?y0，那么有(xn,yn)?(x0,y0)．

证明 因为当n??时yn?y0，所以{yn}有界，即存在正实数M?0，使得yn?M，那么

(xn,yn)?(x0,y0)?(xn,yn)?(x0,yn)?(x0,yn)?(x0,y0)

?(xn,yn)?(x0,yn)?(x0,yn)?(x0,y0)

?(xn?x0,yn)?(x0,yn?y0) ?xn?x0yn?x0yn?y0 ?xn?x0M?x0yn?y0?0

因此二元函数F(x,y)?(x,y)是连续函数．□

2.3.2 希尔伯特空间

定义1.2 设U是数域K上的内积空间，如果U按内积导出的范数x?(x,x)成为Banach空间，就称U为Hilbert空间，简记为H空间．

注4：因为内积(x,y)可导出范数x?(x,x)，范数x可导出距离d(x,y)?x?y，所以有

内积空间?线性赋范空间?度量空间．

其中称完备的线性赋范空间为Banach空间，完备的内积空间为Hilbert空间．

下面给出一些Hilbert空间的例子． 1、实内积空间Rn是Hilbert空间．

对于x?(x1,x2,?,xn), y?(y1,y2,?,yn)?Rn，n维欧式空间Rn上的标准内积定义为

(x,y)?x1y1?x2y2???xnyn

1212导出的范数为x?(?x)，距离为d(x,y)?(?xi?yi)．□

i?1in122n212i?12、复内积空间Cn是Hilbert空间．

对于x?(x1,x2,?,xn), y?(y1,y2,?,yn)?Cn，n维酉空间Cn上的内积定义为

(x,y)?x1y1?x2y2???xnyn

导出的范数为x?(?xi)，距离为d(x,y)?(?xi?yi)．□

i?1i?1n212n2123、复内积空间l2是Hilbert空间．

l?{x|x?(x1,x2,?),?xi???,xi?C}，?x,y?l2，定义内积为

2i?1?2(x,y)?x1y1?x2y2????xiyi

i?1?由Cauchy不等式知(x,y)??212?xyii?1?i?1?i?(?xi)(?yi)???，内积导出的范数为

i?1i?1212?122?212x?(?xi)，距离为d(x,y)?(?xi?yi)．□

i?14、复内积空间L2[a,b]是Hilbert空间．

L2[a,b]?x(t):[a,b]?C| (L) ??[a,b]|x(t)|2dt???，?x,y?L2[a,b]定义内积为

?(x,y)?(L) ?[a,b]x(t)y(t)dt

由荷尔德(H?lder)公式知

(x,y)??[a,b]x(t)y(t)dt??2[a,b][a,b]12x(t)y(t)dt?(?[a,b]x(t)dt)(?[a,b]212[a,b]y(t)dt)???

212212内积导出的范数为x?(?x(t)dt)，距离为d(x,y)?(?x(t)?y(t)dt)．□

2.3.3 内积空间与线性赋范空间的关系

对于一个内积空间而言，内积可诱导一个范数，即它也是一个线性赋范空间，那么内积空间中的内积与它作为线性赋范空间的范数的关系如何？

定理1.1 极化恒等式 内积空间中的内积与范数的关系式． 122(1) 在实内积空间中(x,y)?(x?y?x?y)．

412222(2) 在复内积空间中(x,y)?(x?y?x?y?ix?iy?ix?iy)．

4证明 (1) 由于在实内积空间中范数x?(x,x)，所以 x?y?x?y?(x?y,x?y)?(x?y,x?y)

?[(x,x)?(x,y)?(y,x)?(y,y)]?[(x,x)?(x,y)?(y,x)?(y,y)]

2212?2(x,y)?2(y,x) ?4(x,y)．

同理可证(2)复内积空间中的极化恒等式成立．□

注5：从上证明过程可知，对于任何内积空间有

x?y?x?y?4Re(x,y)；

22

对应的另一个结果可从下面的证明过程获得：

x?y?x?y?2x?2y．

2222由于内积可诱导出范数，所以一个内积空间可自然而然的看成一个线性赋范空间，然而一个线性赋范空间的范数却未必可由它的某个内积导出，什么情况下成立呢？

定理1.2 内积空间的特征性质

线性赋范空间X成为内积空间??x,y?X，范数满足平行四边形公式

x?y?x?y?2x?2y．

2222证明 必要性? 因为x?(x,x)，所以

x?y?x?y?(x?y,x?y)?(x?y,x?y)

?(x,x?y)?(y,x?y)?(x,x?y)?(y,x?y) ?(x,x?y)?(y,x?y)?(x,x?y)?(y,x?y)

2212?(x,2x)?(y,2y) ?2(x,x)?2(y,y)

?2x?2y

22充分性? 首先定义内积，当X是实内积空间时，定义

122(x,y)?(x?y?x?y)；

4当X是复内积空间时，定义

12222(x,y)?(x?y?x?y?ix?iy?ix?iy)．

4下面仅验证实内积空间定义的内积满足正定性、共轭对称性及线性性，对于X是复内积空间时同理可证(练习)．

1222由于(x,x)?(x?x?x?x)?x，显然内积公理中的正定性成立；根据

4112222(x,y)?(x?y?x?y)?(y?x?y?x)?(y,x)

44可知内积公理中的对称性同样成立．下面证明?x,y,z?X及??R有

(x?y,z)?(x,z)?(y,z)，(?x,z)??(x,z)．

由平行四边形公式知：

zzzz(x?)?(y?)?(x?)?(y?)2222zzzz(x?)?(y?)?(x?)?(y?)2222222zz?2x??2y?；

22zz?2x??2y?．

2222222上述两式相减并除以4得，

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