数论（二）

数论（二）

······完全平方数、带余数的除法

1、若四位数是一个完全平方数，则这个四位数是 _________。

2、一个房间里有100盏灯，用自然数1、2、3、4、??、100编号，每盏灯各有

一个开关，开始时，所有的灯都不亮。有100个人轮流进入房间，第一个人进入房间后，将编号为1的倍数的灯的开关按一下，然后离去。第二个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一下，然后离去；如此下去，直到第100个人进入房间，将编号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离去。问：第100个人离开房间后，房间里那些灯还亮着？

3、1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋8×9＋9×10＋10×11＋11×12的结果是不是完全平方数？为什么？

4、240乘以一个非零自然数α，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么α的最小值是 _________。b的最小值是_________。

5、400以内，有奇数个因数（约数）的自然数有哪些？这些自然数中因数（约数）最多的有多少个因数？

6、一个整数，它的一半是一个完全平方数，且它的三分之一是一个完全立方数，则这个整数最小是多少？

7、已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是_________。

8、少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这200个灯泡按1到200编号，它们的亮暗规则是： 第一秒，全部灯泡变亮； 第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态； 第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态； 一般地，第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态； 这样继续下去，每4分钟为一个周期。第200秒时，明亮的灯泡有（ ）个。

9、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。 10、小东在计算除法时，把除数87写成78，结果得到的商是54，余数是8，正确的余数是多少？

11、一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？ 12、31453×68765×98657的积，除以4的余数是多少？

13、如果时针现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈之后是几点钟？

14、两数相除商8余16，被除数、除数、商、余数的和是463，被除数是多少？ 15、四位数8□98能同时被17和19整除，那么这个四位数是多少？ 16、222……22（2000个2）除以13所得的余数是多少？

17、已知：a=19911991……1991（1991个1991），问：a除以13，余数是几？

18、 69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。

19、学校将五年级学生分组开展课外活动。每组5人，多2人；每组6人，少5人；每组7人，少2人。参加课外活动的学生至少有多少人？

20、一盒棋子，4只4只数多3只，6只6只数多5只，15只15只数多14只，这盒棋子在150-300只之间，问这盒棋子有多少只？

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