初三奥林匹克数学竞赛方法思路讲解及经典题型分析 第3套题

初三奥林匹克数学竞赛

方法思路讲解及经典题型分析

一元二次方程的求解方法部分

1 解方程（2002-x）+（2003-x）=1.

2 已知a、b、c是不全为零的三个实数，那么，关于x的方程x2+（a+b+c）x+(a2+b2+c2)=0的根的情况是：

（A） 有两个负根（B） 有两个正根（C） 有两个异号实根（D） 无实根

3 已知方程x2+xy+y2-3x-3y+3=0有实根，求之。

2222

4 关于x的两个方程x+4mx+4m+2m+3=0, x+(2m+1) x+m=0中至少有一个方程有实根，求m的取值范围。

5 m为给定的有理数，k为何值时，方程x2+4(1-m) x+3m2-2m+4k=0的根总为有理数？

6 当a在什么范围内取值时，方程x2?5x?a有且只有相异两实根？

1

2

2

7 已知三个关于x的方程x-x+m=0, (m-1) x+2 x+1=0和(m-2) x+2 x-1=0, 若其中至少有两个方程有实根，求实数m的取值范围。

222

8 设a、b、c为互不相等的非零实数，求证三个方程ax+2bx+c=0, bx+2cx+a=0, cx+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根。

9 若a、b、c、d均大于零，证明：在以下四个方程中，至少有两个方程有两个不相等的实数根。

10 已知(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0, 求证：2y=x+z 。

11 如果二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根，那么

12 已知a、b为互不相等的实数，且a-3a+1=0，b-3b+1=0，则

2

2

222

12121212x?x?x?x?22222a?bx?2b?cx?2c?dx?2d?ax?cd?0, ad?0, ab?0, bc?0,

1a?1b?——

11?a2?11?b2?——

2

2

13 若方程x+px+1=0, (p>0)的两根之差为1，那么p= ——

22

14 若方程(x-1)(x-4)=k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距离排列，则k= ——

15 三角形的一边为5，另外两边的长恰是方程2x2-12x+m=0的两个根，则m的取值范围是 ——

16 已知一元二次方程x2-x+1-m=0的两个实数根α、β满足????5，求实数m的取值范围。

2

17 已知关于x的二次方程ax+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为12和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为-2和6，求

18 若m、n是二次方程x2+1994x+7=0的两个根，试求(m2+1993m+6)(n2+1995n+8)的值。

19 设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实数根，当m为何值时x12+x22有最小值？并求出这个最小值。

b?2c3a的值。

3

20 已知α、β是方程x2-7x+8=0的两个根，切α>β，不解方程，利用根与系数的关系求

2?

?3?的值。

2

家庭练习：

1 解方程x?1?23x?3?

2 方程（1984x）2-1983×1985x-1=0的较大根为r, 方程x2+1983x-1984=0的较小根为s, 求r-s的值。

3 已知b，c是方程x2+bx+c=0的两个根，且c≠0, b≠c, 求b、c的值。

4 已知质数p、q是方程x2-13x+m=0 （m>0）的两个根，则p/q+q/p的值是——。

2

5 已知m, n是有理数，且方程x+mx+n=0有一个根是5?2，那么m+n的值是 ——

2??3?0 。

4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/g0gt.html