求二次函数的最值教案

求二次函数的最值

教学目标： 1.知识与技能：

（1）掌握运用分类讨论和数形结合思想求二次函数的最值。 （2）会利用转化化归思想求解含参数二次函数的最值。 2.过程与方法：

（1）经历由轴定区间定到轴定区间动的类比推理，培养学生类比推理能力。

（2）结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解二次函数的最值问题，提高学生的综合能力。 3.情感、态度与价值观：

（1）有机地渗透数形结合、化归等数学思想方法，培养学生良好的思维习惯。

（2）了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。 教学重点：运用分类讨论和数形结合思想求二次函数最值 教学难点：求解含参数的二次函数最值 教学过程： 【考纲考情】

二次函数在高考中占有重要的地位，尤其利用二次函数处理最值问题在历年高考中都有不同程度的考查，因此在学习中应给予足够重视。本节课我们主要研究如何借助二次函数的图像和性质求最值。

【知识梳理】

二次函数的图像与性质 2y?ax?bx?c(a?0) （1）

y

对称轴x??b 2ab4ac?b2) 顶点坐标(?,2a4a 在????,??b??上单调递减， 2a?o x 在???b?,???上单调递增。 ?2a?y

2（2）y?ax?bx?c(a?0)

b 对称轴x?? 2ab4ac?b2) 顶点坐标(?,2a4a 在????,??b??上单调递增， 2a? 在???b?,???上单调递减。 ?2a?o x 【应用举例】

例1：求下列二次函数的最值： 2f(x)?x?2x?3 （1）

2f(x)?x?2x?3,x???3,?2? （2）

??2f(x)?x?2x?3,x??0,2? （4）

2 （3）f(x)?x?2x?3,x??2,1

分析：做出函数的图像，由图像观察函数的单调性，从而确定函数的最值，数形结合非常重要。

y (1) ????-3 --1 o 1 2

(3)

???

-3 --1

2

(2) y x

?-3 -2 -1 ???o 1 x

y (4) y ?o 1 x -3 -2 -1 ????o 1 ?2 x

解：二次函数f(x)?x?2x?3的对称轴为x??1， （1）二次函数有最小值f?x?min?f??1???4，无最大值 （2）二次函数在??3,?2?上单调递减，所以 f?x?min?f??2???3 f?x?max?f??3??0

（3）二次函数在??2,?1?上单调递减，在??1,1?上单调递增，所以

2 f?x?min?f??1???4 f?x?max?f?1??0

（4）二次函数在?0,2?上单调递增，所以 f?x?min?f?0???3 f?x?max?f?2??5

点评：求二次函数在闭区间上的最值，利用函数的单调性解决。 （设计意图：求二次函数的最值，分为在定义域上求和在给定闭区间上求，（2）（3）（4）分别对应对称轴和区间的三种位置关系，总结二次函数的最值求解要判断对称轴与区间的位置关系。） （限时训练）

21.函数f(x)?x?4x?1在?0,3?上的最小值为（A）

A.-3 B.1 C.-2 D.0

22.函数f(x)??x?2x?1在??1,0?上的最大值与最小值和是＿＿

（学生练习，教师点评，检查学生课堂效果）

2例2：求二次函数f(x)?x?2x?3在?a,3?上的最小值。

分析：对称轴为x?1确定，但区间为?a,3?不确定，需要对参数a进行分类讨论。 解：这个函数的对称轴为 x?1 当ay?1时，

f?x?在?a,3?上单调递增， ?f?x?min?f?a??a2?2a?3 当a3 ?2 ?1 ??1时，

??? ?2 f?x?在?a,1?上单调递减，

?a-2 -1 o 1 a?3 ?4 x 在?1,3?上单调递增，

?f?x?min?f?1??2

点评：求二次函数的闭区间最值含有参数时要分情况讨论，一般分为对称轴在区间的左、中、右三种情况进行讨论。

（设计意图：本例题是轴定区间动问题，渗透数形结合和分论讨论的思想。） （巩固训练）

求函数f?x??x2?2x?1在?2,a?上的最小值。 （学生练习，教师点评） 【课时小结】

本节课我们主要探究了如何求二次函数的最值，解决方法是结合二次函数在闭区间上的图像，依据函数的单调性求出，关键是判断图像的开口方向，对称轴与区间的位置关系。

【课时作业】

2??fx??x?2x?3在??2,0?上的最值。 1.求函数

22.求函数f?x???x?2mx?3在??1,1?上的最大值。

【板书设计】 求二次函数的最值 一、知识梳理 例2：………… 2.………… ………… 二、例1：………… 析：………… 析：………… ………… ………… ………… ………… 三、课堂练习 1.…………

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