解复数题的“思维策略”

解复数题的“思维策略”

上海市卢湾高级中学 赵杨柳

复数集是实数集的扩充，实数集上的运算律仍适用．单纯的复数加、减、乘、除理解起来并不是太难，但若涉及到复数方程，复数求最值等问题，则需要我们根据不同题型，选择恰当的思维策略来解决．下面列举的几种思维策略，希望在解复数题时对同学们有所帮助． 一、化虚为实的思维策略

利用复数的代数形式将复数问题转化为实数问题是一种最常见的解题策略． 例１ 求同时满足下列两个条件的所有复数z：

10（1）1?z??6；

z（2）z的实部和虚部都是整数. 解 设z?a?bi（a,b?R)

101010(a?bi)则1?z??6?1?a?bi??6?1?a?bi?2?6

za?bia?b210b?22b?0?b??0a?b?10?22????a?b??or?10a?10a10a1?a??61?a??6?1?a???2222?6a?b?a?b?? a2?b2?b?0??a2?b2?10???or?;由a,b?Z101?a??6?1?2a?6?a??a?1?a?3,?得出；无解或? 即z?1?3i,z?3?i b??3b??1??点评：本题将Z设为a?bi(a,b?R)，虚化实，因为只有实数才能比较大小，可得虚部为零，实部小于等于6且大于1，,从而转化为实数问题解决。

二、分类讨论的思维策略

分类讨论是指按照一定的标准，把研究对象分成几个部分或几种情况逐一求解的过程，这也是一种常见的解题策略．

例2 已知关于x的方程：2x2?3ax?a2?a?0至少有一个模为1的根?，

求实数a的值.

解：如果?∈R，则??0,∴a?(??,?8]?[0,??)，又∵∈R，∴?=1或-1 当?=1时，代入得：a2+2a+2=0不可能.

当?= -1时，代入得：a2-4a+2=0∴a?2?2 如果?是虚数，则??0，∴a?(?8,0)，并且|?|=1，

a2?a则?也是此方程的根，于是：??=

2a2?a2

但是??=|?|=1，∴=1，解得：a=2（舍去）或者a=-1

2所以，所求的a?2?2，或者-1

点评：因为实系数一元二次方程的根分两实根（??0）和两共轭虚根（??0）两种情况，所以有关实系数方程问题根的问题往往分实根和虚根讨论。

三、整体处理的思维策略

整体处理是数学解题策略中的又一种重要的思维方法，运用它处理问题，往往能收到简洁明快，事半功倍的效果．

例3 如果虚数z满足z3?8，那么z3?z2?2z?2的值是_____．

分析：若设z?a?bi(b?0)，代入求值，过程复杂，不易求解，但运用整体代入的思维策略则显得简洁明快． 解：∵z3?8，?(z?2)(z2?2z?4)?0． ∵z是虚数，∴z≠2．

∴z2?2z?4?0，即z2?2z?2??2．故z3?z2?2z?2?8?2?6．

四、数形结合的思维策略

由于复数既可用代数形式，也可用几何形式表示，这使复数的各种运算都具有了几何意义，因此复数解题时常以形助数，数形结合，使问题的解决更加形象．

例4 复数z1?1?2i，z2??2?i，z3??1?2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．

解法１：如图，设复数z1，z2，z3所对应的点分别为Ａ、Ｂ、Ｃ，正方形的第四个顶点Ｄ对应的复数为x?yi(x，y?R)，则

???????????? AD?OD?OA?(x?yi)?(1?2i)?(x?1)?(y?2)i，

????????????BC?OC?OB?(?1?2i)?(?2?i)?1?3i， ?????????AD?BC，?(x?1)?(y?2)i?1?3i，

，?x?1?1?x?2，则?解得?

y?2??3，y??1.?? 故点Ｄ对应的复数为2?i．

注：利用向量运算法则求复数关键是找出所求复数对应的向量，然后再根据几何意义求出复数．

解法2：如图，设复数z1，z2，z3所对应的点分别为Ａ、Ｂ、Ｃ，正方形的第四个顶点Ｄ对应的复数为x?yi(x，y?R)， ∵点Ａ与点Ｃ关于原点对称，

∴原点Ｏ为正方形的中心，则Ｂ、Ｄ关于Ｏ点对称，即(?2?i)?(x?yi)?0，?x?2，y??1． 故Ｄ对应的复数为2?i．

点评：解法１一定要善于发现问题中可能被利用的条件，寻找最佳的解题方法；解法2利用正方形是对称图形，数形结合解题思路巧妙．解法2实质是运用了平行四边形对角线互相平分的性质．

五、转化为函数的思维策略

运用函数思想来解题就是将问题置于动态的情境中去分析和研究具体问题中的数量关系。求复数的模的最值问题有时需转化为关于复数z的实部x或虚部y的二次函数进行讨论求最值。

例5 设z?C，且z?3i?z?3i?4，求z?2的最大值

解 设z?x?y R(i,x?y)∵z?3i?z?3i?4表示到两定点F1(0,?3),F2(0,3)的距离之和等于4的点的轨迹，是椭圆。 ∴a=2, b=1, c=3

y22∴动点(x,y)的轨迹方程为x??1(?1?x?1)

4228∵z?2?(x?2)2?y2?(x?2)2?4?4x2??3(x?)2?

3328221252?，这时y=± x?[?1,1] ∴x??时，z?2max?3333225221ii时，z?2有最大值∴z???

333

试一试

1、若x满足x2?(4?i)x?3?pi?0(p?R) （1）x?R （2）x为纯虚根；

求p的值；

2、t?0，关于x的方程：x2?2x?t?0两根为?,?，求???

?a??b??? 3、非零复数a、b满足a?ab?b?0，则?????a?b??a?b?

4、若复数z?2?ai(a?R)，则z?1?i?z?1?i的最小值为（ ） 2220122012A．25 B．22 C．4 D．5

5、已知关于x的方程x2?zx?4?3i=0有实数根，求复数z的模的最小值．

试一试答案

1、（1）p?1or3 （2）p?2?213

??2t(t?1)2、（提示：分实根与虚根）?????； 3、?1 4、A

??2(0?t?1)

5、zmin?32．

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