大学物理第四版6狭义相对论习题思考题

习题6

6-1．设固有长度l0?2.50m的汽车，以v?30.0m/s的速度沿直线行驶，问站在路旁的观察者按相对论计算该汽车长度缩短了多少？

222解：l?l01?(uc) ，由泰勒展开，知1?x?1?12x?? 22u∴1?(1u21u2?1.25?10?14m。 ，?l?l0?l?l0?2)?1?22c2c2c

86-2．在参考系S中，一粒子沿直线运动，从坐标原点运动到了x?1.5?10m处，经历时间为?t?1.00s，试计算该过程对应的固有时。

解：以粒子为S?系，u??x/?t?0.5c

22利用?t???t1?(uc)有：

1.5?1082 ?t??1?()?0.866s。

3?108

6-3．从加速器中以速度v?0.8c飞出的离子在它的运动方向上又发射出光子。求这光子相对于加速器的速度。 解：设加速器为S系，离子为S?系，利用：vx?则：vx?

6-4 1000m的高空大气层中产生了一个π介子，以速度v?0.8c飞向地球,假定该π介子在其自身的静止参照系中的寿命等于其平均寿命2.4×10s，试分别从下面两个角度，即地面上观测者相对π介子静止系中的观测者来判断该π介子能否到达地球表面。 解：（1）地面上的观察者认为时间膨胀： 有?t??6v?c?0.8cx?u??c 。

uv?0.8c?c1?2x1?c2cv?x?u，

uv?1?2xc?t'u21?2c，∴?t?2.4?106(0.8c)21?c2?6?4?10?6sa

由l?v?t?0.8?3?10?4?108?960m?1000m，∴到达不了地球；

（2）?介子静止系中的观测者认为长度收缩：

(0.8c)2u2有l?l01?2，∴l?10001??600m 2cc而s?v?t?2.4?10?0.8?3?10?576m?600m，∴到达不了地球。

6-5 长度l0?1m的米尺静止于S'系中，与x′轴的夹角?'=30°，S'系相对S系沿x轴运动，在S系中观测者测得米尺与x轴夹角为??45°。试求：（1）S'系和S系的相对运动速度。（2）S系中测得的米尺长度。 解：（1）米尺相对S?静止，它在x?,y?轴上的投影分别为：

?68??L0cos???0.866m，L??Lxy?L0sin??0.5m。

米尺相对S沿x方向运动，设速度为v，对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩，而y方向的长度不变，即：

v2?1?2，Ly?L?Lx?Lxy

c故 ：tan??LyLx?L?yLx?L?y?1?Lxvc22。

v20.5把??45及L?,L?代入，则得：，故 ：v?0.816c 1??yc20.866ο(2)在S系中测得米尺长度为L?

Lysin45??0.707m 。

6-6 一门宽为a，今有一固有长度l0(l0＞a)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动。若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至少为多少？

22解：门外观测者测得杆长为运动长度，l?l01?()，当l?a时，可认为能被拉进门，则：a?l01?() ucuc解得杆的运动速率至少为：u?c1?()

6-7 两个惯性系中的观察者O和O?以0.6c（c表示真空中光速）的相对速度相互接近，如果O测得两者的初始距离是20m，则O?测得两者经过多少时间相遇？ 解： O测得相遇时间为?t：?t?al02L020? v0.6cL01??2O? 测得的是固有时?t?：∴ ?t???8.89?10?8s， ??v?t

2或者，O?测得长度收缩：L?L01???0.8L0

?t??0.8L00.8?20?8??8.89?10s 80.6c0.6?3?10

6-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地

球的速度是多少？ 解： 由长度缩短公式得：l??l01??2?1??2?34，v?c 55

6-9．两个宇宙飞船相对于恒星参考系以0.8c的速度沿相反方向飞行，求两飞船的相对速度。

'解：设宇宙船A为S系，测得恒星的速度为vx?0.8c，宇宙船B为S?系，测得恒星的速度为vx??0.8c，两个飞船的相对速度为u，

'vx?u根据洛伦兹速度变换公式：vx?，有： 'uvx1?2c?0.8c?u0.8c? 得：u?0.976c 。

?0.8cu1?c2

6-10．从S系观察到有一粒子在t1?0时由x1?100m处以速度v?0.98c沿x方向运动，10s后到达x2点，如在S?系

?,x1?,t2?,x2?各为多少？(t?t??0时，S?(相对S系以速度u?0.96c沿x方向运动)观察，粒子出发和到达的时空坐标t1与S的原点重合)，并算出粒子相对S?系的速度。

ux2x?utc解：利用洛仑兹变换：t??，x??， 221?(u2)1?(u2)cct?考虑到1?(u2c2)?1?0.962?0.28，有：

u0.96cx0??100212cct1?????1.147?10?6s； 21?(0.96c)21?(u2)ccu0.96ct2?2x210?2?9.8ccc??t2??2.11s； 220.96c1?()1?(u2)ccx1?ut1100?0.96c?0??x1??357.14m；

221?(0.96c)1?(u2)ccx2?ut29.8c?0.96c?10??x2??2.14?108m；

21?(0.96c)21?(u2)ccv?u0.98c?0.96c'vx?x??1.014?108m/s 。

u0.96c1?2vx1?2?0.98ccct1?

6-11．一飞船静长l0，以速度u相对于恒星系作匀速直线飞行，飞船内一小球从尾部运动到头部，宇航员测得小球运动速度为v，试算出恒星系观察者测得小球的运动时间。 解：设恒星系为S系，飞船为S?系，由题意：?t??l0， vuu?x?u???x?t(1?)l(1?v)0222cc?t??c∴?t?。 ?2221?(u2)1?(u2)v1?(u2)ccc?t??

0??6-12．一个静止的K介子能衰变成一个π介子和一个π介子，这两个π介子的速率均为0.85c．现有一个以速率

0.90c相对于实验室运动的K0介子发生上述衰变。以实验室为参考系，两个π介子可能有的最大速率和最小速率是多

少？

解：以实验室为S系，运动的K介子为S?系，利用vx?0最大速度：vxmax?最小速度 vxminv?0.85c?0.9cx?u??0.992c ， uv?0.9c?0.85c1?2x1?c2cv??u(?0.85c)?0.9c?x??0.213c 。

uv?0.9c?(?0.85c)1?2x1?c2c22v?x?u，有：

uv?1?2xc

6-13．一个电子从静止开始加速到0.1c，需对它做多少功？，若速度从0.9c增加到0.99c又要做多少功？ 解：由相对论动能：Ek?mc?m0c：

（1）Ek1?m0c(211?v11?v222?1)?0.51?106(c211?0.12?1)?2.57MeV；

（2）Ek2?m0c(2?c211?v21) c2?0.51?106(11?0.992?11?0.92)?2.44MeV 。

6-14．一静止电子(静止能量为0.51MeV)被1.3MeV的电势差加速，然后以恒定速度运动。求：（1）电子在达到最终速度后飞越8.4m的距离需要多少时间？（2）在电子的静止系中测量，此段距离是多少？ 解：（1）∵m0c2?0.51MeV，Ek?1.3MeV ∴mc2?m0c2?Ek?1.81MeV，考虑到：m?m01?vc22，

v2m0c2得：1?2?，可求得：v?0.96c?2.88?108m?s?1 ， 2cmcl8.4?8?2.92?10s； 那么，t??8v2.88?10v2?（2）由l?l1?2，有l??8.4?1?0.962?2.37m。

c

6-15．有两个中子A和B，沿同一直线相向运动，在实验室中测得每个中子的速率为?c．试证明相对中子A静止的

1??22参考系中测得的中子B的总能量为：E?，其中m0为中子的静质量。 mc021??证明：设中子A为S系，实验室为S?系，中子B相对于中子A速度为：

v??u2?cvx?x?，代入E?mc2，有： 2u1??1?2v?xcm0c2m0c21??2E???m0c2 。 222?21??vx1?()1?221??c

?316-16．一电子在电场中从静止开始加速，电子的静止质量为9.11?10kg. （1）问电子应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%？ （2）此时电子的速率是多少？

m?m0?0.004， m00.004m0c2222有：eU?mc?m0c?0.004m0c，∴U??2.05?103V；

ev2m07?1（2）∵m?1.004m0，∴1?2?，可求得：v?2.7?10m?s。

cm解：（1）由Ek?mc2?m0c2，且Ek?eU，

6-17．已知一粒子的动能等于其静止能量的n倍，求：（1）粒子的速率，（2）粒子的动量。 解：（1）依题意知：Ek?nm0c2，又∵Ek?mc2?m0c2，

v21∴ ?m0c?nm0c，有：1?2?22c(n?1)v1?2c22m0c2cn(n?2)；

n?124（2）由E2?P2c2?m0c，而：E?(n?1)m0c2，

整理得：v?得：P?m0cn(n?2) 。

236-18．太阳的辐射能来源于内部一系列核反应，其中之一是氢核(1)和氘核()聚变为氦核(同时放出?光子，HH112He)，反应方程为：

3H?21H?2He?? 3已知氢、氘和He的原子质量依次为1.007825u、2.014102u和3.016029u. 原子质量单位1u?1.66?10?27kg. 试估算?光子的能量。

解：?m?1.007825u?2.014102u?3.016029u

?0.005898u?0.979?10?29kg

0.979?10?29?(3?108)22根据质能方程：?E??mc??5.5MeV。

1.6?10?1911

思考题6

6-1．关于狭义相对论，下列几种说法中错误的是下列哪种表述：

（A）一切运动物体的速度都不能大于真空中的光速；

（B）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同； （C）在真空中，光的速度与光源的运动状态无关； （D）在真空中，光的速度与光的频率有关。 答：（D）

6-2．两飞船A、B均沿静止参照系的x轴方向运动，速度分别为v1和v2。由飞船A向飞船B发射一束光，相对于飞船A的速度为c，则该光束相对于飞船B的速度为多少？ 答：光速c 。

6-3．在惯性系S和S?，分别观测同一个空间曲面。如果在S系观测该曲面是球面，在S?系观测必定是椭球面。反过来，如果在S?系观测是球面，则在S系观测定是椭球面，这一结论是否正确？ 答：根据运动的相对性这个结论是正确的。

6-4．一列以速度v行驶的火车，其中点C?与站台中点C对准时，从站台首尾两端同时发出闪光。从C?点的观察者看来，这两次闪光是否同时？何处在先？ 答：根据?t???(?t?u?x)，由于?t?0，?x?0，所以?t??0，即对C?点的观测者来说两次闪光不同时发生，2c尾部在先。

6-5．一高速列车穿过一山底隧道，列车和隧道静止时有相同的长度l0，山顶上有人看到当列车完全进入隧道中时，在隧道的进口和出口处同时发生了雷击，但并未击中列车。试按相对论理论定性分析列车上的旅客应观察到什么现现象？这现象是如何发生的？

答：对于地面的观察者雷击是在不同地方同时发生的，但是对于列车上的旅客来说这两个事件不是同时发生的，他应该看到两次雷击现象。

6-6．假设在海拔9000m高山处产生的?子，静止时的平均寿命为?0?2?s，以速度v?0.998c向山下运动。在下述两参考系中估计在山脚下能否测到?子？（1）在地面参考系中观测；（2）在?子参考系中观测。 答：在?子参考系中观测?子飞过的距离 l??0v?5.988?102m； 对于地面的观测者?子飞过的距离l??lv21?2c?9.46?103m，

因l?大于9000m，所以可以到达地面。

6-7．在地球上测量来自太阳赤道上相对的两端辐射的Hα线，其中一条Hα线的波长为656nm，且与另一条Hα线的

波长相差9?10nm. 假定此效应是由于太阳自转引起的，求太阳自转的周期（太阳的直径是1.4?10km）。 答：此题可根据多普勒效应求解，具体解略。

6-8．设在S?系中有一粒子，原来静止于原点O?，在某一时刻粒子分裂为相等的两半A和B，分别以速率u沿x?轴的正向和反向运动。设另一参考系S以速率u沿?x?方向运动。

（1）S系中测得B的速度多大？

（2）S系中测得A和B的质量比(答：S系中测得B的速度为0。

?36mA)多大？ mBu?u2uc2A相对于S系中的速度：v?， ?u2c2?u21?2cm0m0(c2?u2)（1）mA?； ?222c?uv1?2cmAc2?u2（2）?22。

mBc?u

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