高中数学点线对称问题

对称问题专题

【知识要点】

1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.

设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P′（2a－x0，2b－y0）. 2.点关于直线成轴对称问题

由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：

设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有

y??y0·k=－1，

x??x0可求出x′、y′.

x??x0y??y0=k·+b，

22特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P′（2a－x0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P′（x0，2b－y0）.

3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：

（1）曲线f（x，y）=0关于已知点A（a，b）的对称曲线的方程是f（2a－x，2b－y）=0. （2）曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法： 设曲线f（x，y）=0上任意一点为P（x0，y0），P点关于直线y=kx+b的对称点为P′（x，y），则由（2）知，P与P′的坐标满足

y?y0·k=－1， x?x0x?xy0?y=k·0+b，

22代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x0，y0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程.

4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y）； （2）点（x，y）关于y轴的对称点为（－x，y）； （3）点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y）； （4）点（x，y）关于直线x－y=0的对称点为（y，x）； （5）点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（－y，－x）.

从中解出x0、y0，

【典型例题】

【例1】 求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的方程.

剖析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：（1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；（2）若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；（3）a以l为轴旋转180°，一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.

2x+y－4=0，

解得a与l的交点E（3，－2），E点也在b上 解：由 3x+4y－1=0，

方法一：在直线a：2x+y－4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0），

2?x00?y0+4×－1=0， 22由 y?04y?(?2)x?3480=，解得B（，－）.由两点式得直线b的方程为=，

84x0?2355?2?(?)3?55即2x+11y+16=0.

方法二：设直线b上的动点P（x，y）关于l：3x+4y－1=0的对称点Q（x0，y0），则有

x?x0y?y03×+4×－1=0，

223×

y?y047x?24y?6?24x?7y?8=. 解得x0=，y0=. x?x032525Q（x0，y0）在直线a：2x+y－4=0上，

7x?24y?6?24x?7y?8+－4=0，

2525化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程. 方法三：设直线b上的动点P（x，y），直线a上的点Q（x0，4－2x0），且P、Q两点关于直线l：3x+4y－1=0对称，则有

|3x?4y?1||3x0?4(4?2x0)?1|=，

55则2×

y?(4?2x0)4=.

x?x03

消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0（舍）.

评述：本题体现了求直线方程的两种不同的途径，方法一与，除了点E外，分别找出确定直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程，方法二与方法三是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数，本题综合性较强，只有对坐标法有较深刻的理解，同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题.

【例2】 光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点 B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.

剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.

解：∵A（－3，4）关于x轴的对称点A1（－3，－4）在经x轴反射的光线上， 同样A1（－3，－4）关于y轴的对称点A2（3，－4）在经过射入y轴的反射线上，

6?4=－2.

?2?3故所求直线方程为y－6=－2（x+2）， 即2x+y－2=0.

评述：注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例3】 已知点M（3，5），在直线l：x－2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小. 剖析：如下图，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连结MM1、MM2，连线MM1、MM2与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的△MPQ的周长最小.

∴kA2B=

yM2QPOMlM1x

解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）.同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（－3，5）.

据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y－7=0.

7）. 2x+2y－7=0， 59得交点P（，）. 解方程组 x－2y+2=0， 24597故点P（，）、Q（0，）即为所求.

242评述：恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果. 深化拓展

令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，

恰当地利用平面几何的知识解题.

不妨再试试这个小题：已知点A（1，3）、B（5，2），在x轴上找一点P，使得|PA|+|PB|最小，则最小值为____________，P点的坐标为____________.

答案：41 （

17，0） 5

【巩固练习】

1.已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为

A.（a，b） B.（b，a）C.（－a，－b） D.（－b，－a） 解析：N（a，－b），P（－a，－b），则Q（b，a）． 答案：B

2.曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是

A.y2=8－4x B.y2=4x－8 C.y2=16－4x D.y2=4x－16

解析：设曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P（x，y），则P（x，y）关于直线x=2的对称点为Q（4－x，y）.因为Q（4－x，y）在曲线y2=4x上，

所以y2=4（4－x），即y2=16－4x. 答案：C

3.已知直线l1：x+my+5=0和直线l2：x+ny+p=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是

15p1= B.p=－5 C.m=－n且p=－5 D.=－且p=－5

nmnm解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为（－x）+my+5=0，即x－my－5=0，与l2比较， ∴m=－n且p=－5.反之亦验证成立. 答案：C

4.点A（4，5）关于直线l的对称点为B（－2，7），则l的方程为____________. 解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线. 答案：3x－y+3=0

5.设直线x+4y－5=0的倾斜角为θ，则它关于直线y－3=0对称的直线的倾斜角是____________. 解析：数形结合. 答案：π－θ

A.

6.已知圆C与圆（x－1）2+y2=1关于直线y=－x对称，则圆C的方程为 A.（x+1）2+y2=1 B.x2+y2=1

C.x2+（y+1）2=1 D.x2+（y－1）2=1 解析：由M（x，y）关于y=－x的对称点为（－y，－x）， 即得x2+（y+1）2=1. 答案：C

7.与直线x+2y－1=0关于点（1，－1）对称的直线方程为 A.2x－y－5=0 B.x+2y－3=0 C.x+2y+3=0 D.2x－y－1=0

解析：将x+2y－1=0中的x、y分别代以2－x，－2－y，得（2－x）+2（－2－y）－1=0，即x+2y+3=0.故选C.

答案：C

8.两直线y=

3x和x=1关于直线l对称，直线l的方程是____________. 3解析：l上的点为到两直线y=

|x?3y|3x与x=1距离相等的点的集合，即=｜x－1｜，化简得x+3y

231?(3)－2=0或3x－3y－2=0.

答案：x+3y－2=0或3x－3y－2=0

9.直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A（4，－1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标

是____________.

解析：易知A（4，－1）、B（3，4）在直线l：2x－y－4=0的两侧.作A关于直线l的对称点A1（0，1），当A1、B、P共线时距离之差最大.

答案：（5，6）

10.已知△ABC的一个顶点A（－1，－4），∠B、∠C的平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程.

解：设点A（－1，－4）关于直线y+1=0的对称点为A′（x1，y1），则x1=－1，y1=2×（－1）－（－4）=2，即A′（－1，2）.

在直线BC上，再设点A（－1，－4）关于l2：x+y+1=0的对称点为A″（x2，y2），则有

y2?4×（－1）=－1， x2?1x2?1y2?4++1=0. 22 x2=3， 解得 y=0，

2

即A″（3，0）也在直线BC上，由直线方程的两点式得线的方程.

【能力提高】

11.求函数y=x2?9+x2?8x?41的最小值.

解：因为y=(x?0)2?(0?3)2+(x?4)2?(0?5)2，

y?2x?1=，即x+2y－3=0为边BC所在直0?23?1所以函数y是x轴上的点P（x，0）与两定点A（0，3）、B（4，3）距离之和. y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值.

由平面几何知识可知，若A关于x轴的对称点为A ′（0，－3）， 则|PA|+|PB|的最小值等于|A′B|， 即(4?0)2?(5?3)2=45. 所以ymin=45.

12.直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A（－4，2）、B（3，1），求点C的坐标，并判断△ABC的形状.

解：由题意，点A关于直线y=2x的对称点A′在BC所在直线上，设A′点坐标为（x1，y1），则x1、y1满足

y1?21=－，即x1=－2y1. x1?42 ①

y1?2x?4=2·1，即2x1－y1－10=0. ② 22解①②两式组成的方程组，得 x1=4， y1=－2.

y?1x?3∴BC所在直线方程为=，

?2?14?3即3x+y－10=0.

3x+y－10=0， x=2，

解方程组 得

y=2x， y=4.

∴所求C点坐标为（2，4）.

由题意|AB|2=50，|AC|2=40，|BC|2=10， ∴△ABC为直角三角形. 13. 已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y－2=0，在直线l上求一点P. （1）使|PA|+|PB|最小； （2）使|PA|－|PB|最大. 解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）.

x?2y?3 1+2·1－2=0，

22则有 y1?31·（－）=－1. x1?222， 5解得 9y1=－.

5 x1=－

由两点式求得直线A1B的方程为y=

7356（x－4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（，－）. 112525由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小.

（2）由两点式求得直线AB的方程为y－1=－（x－4），即x+y－5=0. 直线AB与l的交点可求得为P（8，－3），它使|PA|－|PB|最大.

14. 直线l经过点（1，1），若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围. 解法一：设直线l的方程为y－1=k（x－1），弦的两个端点分别是A（x1，y1）、B（x2，y2），代入抛物线方程并作差得（y1+y2）（y1－y2）=x1－x2.

∵kAB=

y1?y21=－，

x1?x2k∴y1+y2=－k.注意到AB的中点在直线l：y－1=k（x－1）上，∴x1+x2=1－∴y12+y22=x1+x2=1－y12+y22>

2. k2. k(y1?y2)2(k?2)(k2?2k?2)2k2?由，得1－><0?－2

22kk2解法二：设抛物线上关于直线l：y－1=k（x－1）对称的两点为（y12，y1）、（y22，y2），

则 y1?y2y12?y22=－

1 k22y1?y2y1?y2－1=k（－1）

22y1+y2=－k，

? k211y1y2=+－，

2k2k2112

∴y1、y2是方程y+ky++－=0的两根.

2k2(k?2)(k2?2k?2)k2112

由Δ=k－4（+－）>0?<0 ?－2

2kk215.（2013?湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）

C．

A．2

B．1

8 3

D． 4 3

14. 直线l经过点（1，1），若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围. 解法一：设直线l的方程为y－1=k（x－1），弦的两个端点分别是A（x1，y1）、B（x2，y2），代入抛物线方程并作差得（y1+y2）（y1－y2）=x1－x2.

∵kAB=

y1?y21=－，

x1?x2k∴y1+y2=－k.注意到AB的中点在直线l：y－1=k（x－1）上，∴x1+x2=1－∴y12+y22=x1+x2=1－y12+y22>

2. k2. k(y1?y2)2(k?2)(k2?2k?2)2k2?由，得1－><0?－2

22kk2解法二：设抛物线上关于直线l：y－1=k（x－1）对称的两点为（y12，y1）、（y22，y2），

则 y1?y2y12?y22=－

1 k22y1?y2y1?y2－1=k（－1）

22y1+y2=－k，

? k211y1y2=+－，

2k2k2112

∴y1、y2是方程y+ky++－=0的两根.

2k2(k?2)(k2?2k?2)k2112

由Δ=k－4（+－）>0?<0 ?－2

2kk215.（2013?湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）

C．

A．2

B．1

8 3

D． 4 3

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