2019-2020学年上海市实验学校高一下学期期末考试数学试题(有答案)

2019-2020学年上海市实验学校高一下学期期末考试

数学试题 2020.07

一．填空题

1．57lim 57n n

n n

n →∞-=+________． 2．函数()22cos 31y x π=-的最小正周期为________．

3．已知在ABC 中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠

所对的边，若222b c a +-=

，

则A ∠=________．

4．若数列{}n a 的前n 项和23n n S =+，则其通项公式为________． 5．求和：111

112123123n ++++=+++++++ ________．

6．已知数列{}n a 的前n 项和4n n S t =+，若{}n a 为等比数列，则t =________．

7．设无穷数列{}n a 的公比为q ，若()245lim n n a a a a →∞=+++，则q =________．

8．若{}n a 为等比数列，0n a >，且2018a =，则20172019

12a a +的最小值为________． 9．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =，2sin sin A C =，若B 为钝角，1cos 24

C =-，则ABC 的面积为________． 10．已知函数()()5sin 2f x x θ=-，0,

2πθ?

?∈ ???，[]0,5x π∈，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ，且1231n n x x x x x -<<<<<，*n N ∈，若123218322222

n n n x x x x x x π--+++

+++=，则θ=________． 二．选择题 11．已知函数()()sin f x x ω?=+（0ω>，?π<）的图像如图所示，则?的值为（ ）

2

A ．

4π B ．2

π C ．2π- D ．3π- 12．用数学归纳法证明()*11111112324n n N n n n n ++++≥+++∈+时，由n k =到1n k =+时，不等式左边应添加的项是（ ）

A ．

121k + B ．11211k k -++ C ．112122k k +++ D ．112122k k -++ 13．将函数sin 23y x π?

?=- ???图像上的点,4P t π?? ???

向左平移()0s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则（ ）

A ．12t =，s 的最小值为6π

B ．32t =，s 的最小值为6

π C ．12t =，s 的最小值为3π D ．3t =，s 的最小值为3

π 14．对于数列12,,x x ，若使得0n m x ->对一切*n N ∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”，设函数()()sin f x x x x R =+∈及数列12,,

y y ，且()1006y y y R =∈，若()()111* 22n n n n n n n n y N f y y y n f y y y ππ-+-??=???+-< ∈???≥??

，则当01y =时，下列结论正确的应为（ ）

A ．数列12,,

y y 的“准最大项”存在，且为2π B ．数列12,,

y y 的“准最大项”存在，且为3π C ．数列12,,

y y 的“准最大项”存在，且为4π D ．数列12,,

y y 的“准最大项”不存在

三．解答题

3 15．如图，在梯形ABCD 中，AB a =，BC b =，

12

CD a =-，G 为对角线AC 、BD 的交点，E 、F 分别是腰AD 、BC 的中点，求向量EF 和AG （结果用向量a 、b 表示）．

16．已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设数列{}n c 对任意*n N ∈，都有1212222n n n c c c a ++++=成立，求122012c c c +++的值．

17．某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n 个月从事旅游服务工作的人数()f n 可近似地用函数()()cos f n A wn k θ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0w >，()0,θπ∈． 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：

①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；

②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；

③2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多；

（1）试根据已知信息，求()f n 的表达式；

（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．

18．对于任意*

n N ∈，若数列{}n x 满足11n n x x +->，则称这个数列为“K 数列”． （1）已知数列：1，1m +，2

m 是“K 数列”，求实数m 的取值范围；

（2）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，当首项1a 与公差d 满足什么条件时，数列n S 是“K 数列”？

（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且11232n n S S a +-=，*n N ∈，设()11n

n n n c a a λ+=+-，是否存在实数λ，使得数列{}n c 为“K 数列”，若存在，求实数λ的

4 取值范围，若不存在，请说明理由．

四．附加题

19．已知数列{}n a 的前n 项和n A 满足()*1112n n A A n n N n +-=+∈，且11a =，数列{}n b 满足()*2120n n n b b b n N ++-+=∈，32b =，其前9项和为36．

（1）当n 为奇数时，将n a 放在n b 的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将n b 放在n a 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1a ，1b ，2b ，2a ，3a ，3b ，4b ，4a ，5a ，5b ，…，求该数列的前n 项和n S ；

（2）设1n n n

c a b =+，对于任意给定的正整数()2k k ≥，是否存在正整数l 、()m k l m <<，使得k c 、l c 、m c 成等差数列？若存在，求出l 、m （用k 表示），若不存在，请说明理由．

20．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足()2

41n n S a =+，数列{}

n b 满足12b =，24b =，且等式211n n n b b b -+=对任意2n ≥成立． （1）将数列{}n a 与{}n b 的项相间排列构成新数列1122,,,,,,,n n a b a b a b ，设该新数列为{}n c ，求数列{}n c 的通项公式和前2n 项的和2n T ；

（2）对于（1）中的数列{}n c 的前n 项和n T ，若n n T c λ≥?对任意*n N ∈都成立，求实数λ的取值范围．

参考答案

一．填空题

1．1- 2．13 3．4π 4．15 122n n n -=??≥?

5．21n n + 6．1- 7．512 8．4 915 10．

9π 二．选择题

11．C 12．D 13．A 14．B

三．解答题

15．34EF a =，()

23AG a b =+．

5 16．（1）n a n =；（2）2013

2．

17．（1）()2200cos 30063f n n ππ??

=++ ???；

（2）一年中6、7、8、9、10月是该地区的旅游“旺季”．

18．（1）2m >或3m <-；（2）11a d +>且0d ≥；（3）53

6λ> ．

四．附加题

19．（1）n a n =，1n b n =-，2

22,243

,414

1

,41

4n n n k

n S n k n n k ?=??

+?==-???-=-??，*k N ∈；

（2）存在21l k =-，2452m k k =-+．

20．（1）2 1

222n n n n k c n k

=-????=?，*k N ∈，21

222n n T n +=+-；（2）1λ≤．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fzie.html