基于MATLAB图像变换及压缩编码

附件1： 学 号：

0120818700223

课 程 设 计

题 目 学 院 专 业 班 级 姓 名 指导教师

MATLAB课程设计 信息工程学院 通信工程专业 通信0806班

邱 帆 郭志强

2010 年 12 月 15 日

附件2：

课程设计任务书

学生姓名： 邱 帆 专业班级： 通信0806 指导教师： 郭志强 工作单位： 武汉理工大学

题 目: 基于MATLAB图像变换及压缩编码 初始条件：

1) MATLAB2009软件 2) MATLAB图像处理相关书籍 3) 数字信号处理与图像处理基础知识

要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写

等具体要求）

1) 读入图像并对图像进行傅利叶变换、小波变换、小波包变换、离散余弦变换、离散

沃尔什变换，二维哈达玛变换。

2) 分别采用小波变换和离散余弦变换对图像进行压缩，并与原图像进行比较。

时间安排：

第12周：安排任务，分组

第13-14周：设计仿真，撰写报告 第15周：完成设计，提交报告，答辩

指导教师签名： 年 月 日

系主任（或责任教师）签名： 年 月 日

目 录

摘 要 ........................................................................................................................................... I Abstract ...................................................................................................................................... II 1 图像变换 ................................................................................................................................ 1

1.1傅立叶变换 ................................................................................................................... 1

1.1.1MATLAB提供的快速傅立叶变换的函数 ........................................................ 1 1.1.2 二维傅立叶变换的MATLAB实现 ................................................................. 2 1.2 小波变换 ...................................................................................................................... 3

1.2.1 MATLAB提供的小波变换函数 ....................................................................... 3 1.2.2 小波变换的MATLAB实现 ............................................................................. 7 1.3 小波包变换 .................................................................................................................. 8 1.4 离散余弦变换 ............................................................................................................ 10

1.4.1MATLAB提供的DCT变换函数 .................................................................... 10 1.4.2离散余弦变换的MATLAB实现 .....................................................................11 1.5离散沃尔什和哈达玛变换 ......................................................................................... 12

1.5.1MATLAB提供的哈达玛变换函数 .................................................................. 13 1.5.2沃尔什—哈达玛变换的MATLAB实现 ........................................................ 13

2 图像压缩 .............................................................................................................................. 14

2.1基于小波变换的图像压缩 ......................................................................................... 14 2.2基于离散余弦变换的图像压缩 ................................................................................. 16 3 总结 ...................................................................................................................................... 19 参考文献 .................................................................................................................................. 20

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摘 要

MATLAB是目前在国际上被广泛接受和使用人科学与工程计算软件。它由原来只是为了更简单更快捷地解决矩阵运算发展成目前的一种集数值运算、符号运算、数据可视化、图形界面设计、程序设计、仿真等多种功能与一体的集成软件。

本次课程设计的目的在于较全面了解常用的数字图像变换与压缩的原理及方法，能够运用相关软件进行模拟分析。通过对采集的数字图像进行进行各种变换，最后进行压缩处理，从而达到本次课程设计的目的。

关键词：MATLAB 数据数字图像处理 变换

I

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Abstract

MATLAB is widely accepted in the international arena and the use of human science and engineering calculation software. It originally only for a simpler and more efficient solution to the current matrix operations into a set of numerical computation, symbolic computation, data visualization, graphical interface design, process design, simulation and other functions with one integrated software.

This course is designed to comprehensively understand common digital image transformation and compression of principle and method, can use the relevant software is simulated and analyzed. Through the acquisition of the digital image for all kinds of transform, finally compression processing, thus achieve the purpose of this course design.

Keywords: MATLAB data digital image processing transform

II

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1 图像变换

为了有效地和快速地对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有的性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间以得到所需要的效果。这种使图像处理简化的方法通常是对图像进行变换。图像变换技术在图像增强、图像恢复和有效的减少图像数据，进行数据压缩以及特征抽取等方面都有着十分重要的作用。下面将对图像进行傅利叶变换、小波变换、小波包变换、离散余弦变换、离散沃尔什变换，二维哈达玛变换。

1.1傅立叶变换

在图像处理的广泛领域中，傅立叶变换起着非常重要的作用，包括图像的效果增强、图像分析、图像复原和图像压缩等。在图像数据的数字处理中常用的是二维离散傅立叶变换，他能把空间域的图像转变到空间频域上进行研究，从而能很容易地了解到图像的各空间频域成分，进行相应处理。

1.1.1MATLAB提供的快速傅立叶变换的函数

在MATLAB中，提供了fft函数、fft2函数和fftn函数分别用于进行一维DFT、二维DFT和N维DFT的快速傅立叶变换；ifft函数、ifft2函数和ifftn函数分别用于进行一维DFT、二维DFT和N维DFT的快速傅立叶反变换。下面分别对会用到的几种函数给予介绍。 (1) fft2函数

该函数是用于计算二维快速傅立叶变换，其语法格式为： B＝fft2(I)

其功能是：返回图像I的二维fft变换矩阵，输入图像I和输出图像B大小相同。 B=fft2(I,m,n)

其功能是：通过对图像I剪切或补零，按用户指定的点数计算fft返回B的大小为m*n。很多MATLAB图像显示函数无法显示复数图像，为了观察图像傅立叶变换后的结果，应对变换后的结果求模，方法是对变换结果调用abs函数。

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(2) fftshift函数

该函数是用于将变换后图像频谱中心从矩阵的原点移到矩阵的中心，其语法格式为：

B=fftshift(I)

Fftshift(I)可以用于调整fft、fft2和fftn的输出结果。对于向量，fftshift(I)将I的左右两半交换位置；对于I，fftshift(I)将I的一、三象限和二、四象限进行互换；对于高维矢量，fftshift(I)将矩阵各维的两半进行互换。 (3) ifft2函数

该函数用于计算图像的二维傅立叶反变换矩阵，输入图像I和输出图像B大小相同。 B＝ifft2(I)

其功能是：返回图像I的二维傅立叶反变换矩阵，输入图像I和输出图像B大小相同。

B=ifft2(I,m,n)

其功能是：通过对图像I剪切或补零，按用户指定的点数计算二维傅立叶反变换，返回矩阵B的大小为m*n。通常输出矩阵B为复数图矩阵，如果要求模，需调用abs函数。

1.1.2 二维傅立叶变换的MATLAB实现

傅立叶变换程序如下：

a=imread('cameraman.tif'); ％装入图像 figure, subplot(1,2,1)

imshow(a); ％显示图像 title('原图像')

B=fft2(a); ％进行傅立叶变换 C=fftshift(B); subplot(1,2,2)

imshow(log(abs(C)),[]),colormap(jet(64)),colorbar; ％显示变换后的系数分布

％将变换后图像频谱中心从矩阵的原点移到矩阵中心

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title('傅立叶变换后的系数分布') 运行结果如图1所示。

图1 二维傅立叶变换图

由上图可知，图中心的系数最高且高于10，外侧的值比内侧的值低且略高于10，图像的大部分的系数是低于10的，约为7～8，且分布在周围。

1.2 小波变换

小波变换是当前应用数学中一个迅速发展的领域，是分析和处理非平稳信号的一种有力工具。它是以局部化函数所形成的小波基作为基底展开的，具有许多特殊的性能和优点，小波分析是一种更合理的进频表示和子带多分辨分析。

1.2.1 MATLAB提供的小波变换函数

MATLAB小波分析工具箱提供了很多用于小波分解、重构的函数，下面对重要的二维小波分析函数进行介绍。

通常处理的图像很多为索引图像，图像矩阵各元素表示的是调色板中的序号。而小波分析是对数值进行分析的，因此要将索引图像进行编码，进行小波才有实际意义。MATLAB提供了wcodemat函数耿对图像进行编码和与一维小波变换的函数有着一一对应关系的二维离散小波变换函数，下面简单介绍如下： (1) wcodemat函数

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该函数用于对索引图像的数据矩阵进行编码，其语法格式为： Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL) Y=wcodemat(X,NB,OPT) Y=wcodemat(X,NB) Y=wcodemat(X)

其功能是：对索引图像的数据进行矩阵X进行编码，Y为编码返回值。NB是最大编码值，决定了编码范围是0～NB，默认值为16。OPT指定编码方式，其含义为：当OPT=?row?时，对图像按照行进行编码；当OPT=?col?时，对图像按照列进行编码；当OPT=?mat?时，对图像进行按照整个矩阵进行编码；OPT的默认值为?mat?。ABSOL决定返回矩阵的类型，当ABSOL=0时，返回编码矩阵；当ABSOL=1时，返回数据矩阵的绝对值ABS(X)。 (2) dwt2函数

该函数实现二维离散小波变换，其语法格式为： [cA,cH;cV,cD]=dwt2(X,?wname?)

其功能是：使用指定的小波基函数?wname?对图像X进行二维离散小波变换，cA，cH，cV，cD分别为图像分解的近似分量、水平分理、垂直分量和细节分量。

[cA,cH;cV,cD]=dwt2(X,Lo_D,Hi_D)

其功能是：使用指定的低能和高能滤波器组Lo_D,Hi_D对图像进行二维离散小波变换。 (3) idwt2函数

该函数可以实现二维离散小波反变换，其语法格式为： X=idwt2(cA,cH;,cV,cD,?wname?)

其功能是：利用小波分解得到的cA，cH，cV，cD分量进行二维离散小波反变换得到原始图像，wname函数指定二维小波反变换采用的小波基函数。

X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R)

其功能是：利用小波分解得到的cA，cH，cV，cD分量进行二维离散小波反变换得到原始图像，Lo_R,Hi_R为指定的重构滤波器组。

X=idwt2(cA,cH;,cV,cD,?wname?,S) X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R,S)

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其功能是：返回二维离散小波反变换结果的中间附近S个点的值。 (4) wavedec2函数

该函数是用于二维图像进行多层小波分解，其语法格式为： [C,S]=wavedec2(X,N,?wname?)

其功能是：使用指定的小波基函数wname对图像X进行N层二维离散小波分解。 [C,S]=wavedec2(X,N,?Lo_D,Hi_D?)

其功能是：使用指定的低通和高通滤波器组Lo_D,Hi_D对图像N层二维离散小波分解。

(5) waverec2函数

该函数用于二维图像的多层小波重构，其语法格式为： X=waverec2(C,S,?wname?)

其功能是：利用二维小波分解得到的数据C和长度矢量S重构原始图像X，所以用小波基函数由wname决定。

X=waverec2(C,S,?Lo_R,Hi_R?)

其功能是：使用指定的重构滤波器组Lo_R,Hi_R重构原始图像X。 (6) appcoef2函数

该函数用来提取二维图像小波分解的近似分量，其语法格式为： A=appcoef2(C,S,?wname?) A=appcoef2(C,S,?wname?,N)

其功能是：利用二维离散小波分解wavedec2函数产生的多层小波分解结构C和S提取图像第N层的近似分量，wname为指定的小波基函数的名称，N的默认值为N=size(S(1,：)－2，即为长度S的行数减去2。

A=appcoef2(C,S,Lo_R,Hi_R,N) A=appcoef2(C,S,Lo_R,Hi_R)

其功能是：使用指定的重构滤波器组Lo_R,Hi_R提取第N层的近似分量，其中参数的含义与上面语法格式相同。 (7) detcoef2函数

该函数是用来提取二维图像小波分解的细节分量，其语法格式为： D=detcoef2(O,C,S,N)

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其功能是：利用wavedec2函数产生的多层小波分解结构C和S来提取图像第N层的近似分量。O指定细节图像的类型，当O=?d?时，重构对角细节图像；当O=?h?时，重构水平细节图像；当O=?v?时，重构垂直细节图像。 (8) upcoef2函数

该函数是用于利用多层小波分解重构近似分量或细节分量，其语法结构为： Y=upcoef2(O,X,?wname?) Y=upcoef2(O,X,?wname?,N) Y=upcoef2(O,X,?wname?,N,S)

其功能是：由二维离散小波变换系数重构原始图像的近似信号或细节，参数O指定细节的类型，即：当O=?a?时，重构近似信号，即X是第N层的近似系数；当O=?h?时，重构水平细节图像，即X是第N层的水平细节系数；当O=?v?时，重构垂直细节图像，即X是第N层的垂直细节系数；当O=?d?时，重构对角细节分信号，即X是第N层的对角细节系数。

Wname是使用的小波基函数的名称，N指定重构的次数。若N未指定，则N＝1。 Y=upcoef2(O,X,Lo_R,Hi_R) Y=upcoef2(O,X,Lo_R,Hi_R,N) Y=upcoef2(O,X,Lo_R,Hi_R,N,S)

其功能与上面类同，只是使用指定的重构滤波器组，Lo_R,Hi_R来重构原始信号的近似信号和细节信号。 (9) wrcoef2函数

该函数是实现由多层二维小波分解来生重构某一层的分解图像，其语法格式为： X=wrcoef2(?type?,C,S,?wname?,N) X=wrcoef2(?type?,C,S,Lo_R,Hi_R)

其功能是：用多层小波分解得到的C和S重构第N层的分解图像，N不指定时，采用N=size(S(1,:))-2。经过重构，返回图像与原始图像大小相同。Wname为指定的小波基函数；

Lo_R,Hi_R为指定的滤波器组。

Type决定重构分量的类型，其含义是：当type=?a?时，重构近似信号；当type=?h?时，重构水平分量；当type=?v?时，重构垂直分量；当type=?d?时，重构细节分量。

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X=wrcoef2(?type?,C,S,?wname?) X=wrcoef2(?type?,C,S,Lo_R,Hi_R)

其功能是与上面类同，只是N为缺少，N=size(S(1:))-2。 (10) upwlev2函数

该函数实现二维图像小波分解的单层重构，其语法格式为： [NC,NS,cA]=upwlev2(C,S,?wname?)

其功能是：利用wavedec2函数产生的多层小波分解结构C,S来重构上一层的分解结构NC,NS。同时还返回上一层的近似分量cA，所用的小波基由wname为指定。

[NC,NS,cA]=upwlev2(C,S, S,Lo_R,Hi_R)

其功能是：使用指定的重构滤波器组S,Lo_R,Hi_R来重构上一层小波分解结构，NC,NS,同时还返回上一层近似分量cA。

1.2.2 小波变换的MATLAB实现

小波变换程序如下：

X=imread('cameraman.tif'); ％读入图像 imshow(X);

％对图像进行小波分解，得到近似分量和细节分量、 [cA1,cH1,cV1,cD1] = dwt2(X,'bior3.7'); A1 = upcoef2('a',cA1,'bior3.7',1); H1 = upcoef2('h',cH1,'bior3.7',1); V1 = upcoef2('v',cV1,'bior3.7',1); D1 = upcoef2('d',cD1,'bior3.7',1); subplot(2,2,1); image(wcodemat(A1,192)); title('Approximation A1')

subplot(2,2,2); image(wcodemat(H1,192)); title('Horizontal Detail H1')

subplot(2,2,3); image(wcodemat(V1,192)); title('Vertical Detail V1')

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subplot(2,2,4); image(wcodemat(D1,192)); title('Diagonal Detail D1') 运行结果如图2所示。

图2 小波变换图

1.3 小波包变换

小波包分解是在小波基础上发展的，比小波分解更高级，对信号的分解重构更能体现多分辨率的特征。为了克服小波分解在高频段的频率分辨率较差，而在低频段的时间分辨率较差的缺点，人们在小波分解的基础上提出了小波包分解。小波包分解提高了信号的时频分辨率。是一种更精细的信号分析方法。小波包方法是小波分解的推广，它提供了更丰富的信号分析方法。小波包元素是由三个参数确定波形，分别是：位置、尺度和频率。对一个给定的正交小波函数，可以生成一组小波包基。每一个小波包基里提供一种特定的信号分析方法，它可以保存信号的能量并根据特征进行精确的重构。小波包可以对一个给定的信号进行大量不同的分解。在正交小波分解过程中，一般是将低频系数分解为两部分。分解后得到一个近似系数向量和一个细节系数向量。在两个连续的近似系数中丢失的信息可以在细节系数中得到。下一步是将近似系数向量进一步分解为两

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个部分，而细节系数向量不再分解。在小波包分解中，每一个细节系数向量也使用近似系数向量分解同样的分法分为两部分。

小波包程序如下： load bust

％载入原始图像

％加入含噪

init=2055615866; randn('seed',init);

X1=X+20*randn(size(X)); subplot(2,2,1);image(X1); colormap(map); axis square; title('原始图像'); T=wpdec2(X1,1,'db4'); A=wprcoef(T,[1 0]); subplot(2,2,2);image(A); axis square;

title('一层小波包分解后的图像'); %原始图像的边缘检测 B1=edge(A,'sobel'); subplot(2,2,3);imshow(B1); axis square;

title('原始图像边缘检测'); B2=edge(X1,'sobel'); subplot(2,2,4),imshow(B2); axis square

title('图像近似部分边缘检测); 运行结果如图3所示。

%图像近似部分的边缘检测

%检测边缘

％利用小波db4对图像X进行一层小波包分解 ％重构图像近似部分

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图3 小波包变换图

1.4 离散余弦变换

离散余弦变换的变换核为余弦函数，计算速度较快，有利于图像压缩和其他处理。在大多数情况下，离散余弦变换（DCT）用于图像的压缩操作中。JPEG图像格式的压缩算法采用的是DCT。

1.4.1MATLAB提供的DCT变换函数

(1) dct2函数

该函数用于实现图像的二维离散余弦变换，其语法格式为： B=dct2(A)

其功能是：返回图像A的二维离散余弦变换值，它的大小与A相同，且各元素为离散余弦变换的系数F（k1,k2）。

B=dct2(A,m,n) B=dct2(A,[m n])

其功能是：在对图像A进行二维离散余弦变换之前，先将图像A补零到m*n。如

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果m和n比图像A小，则进行之前，将A剪切。 (2) idct2函数

该函数用于实现图像的二维离散余弦反变换，其语法格式为： B=idct2(A)

其功能是：计算矩阵A的二维离散余弦反变换值，返回图像B的大小与A相同。 B=idct2(A,m,n) B=idct2(A,[m n])

其功能是：在对图像A进行二维离散余弦反变换之前，先将图像A补零到m*n。如果m和n比图像A小，则进行之前，将A剪切，返回图像大小为m*n。 (3) dctmtx函数

该函数用于计算二维离散余弦变换矩阵，其语法格式为： D=dctmtx(n)

其功能是：返回n*n的DCT变换矩阵，如果A的大小为n*n，D*A是A矩阵每一列的DCT变换值，D?*A是A每一列的DCT反变换值。如果A为n*n的方阵，则A的DCT变换可以用D*A*D?计算。特别是对于A很大情况，比利用dct2计算二维离散DCT变换要快。

1.4.2离散余弦变换的MATLAB实现

程序如下：

a=imread('D:\\che.jpg'); ％装入图像 figure, subplot(2,2,1)

imshow(a); ％显示图像 title('原图像')

A=rgb2gray(a); ％将图像转化为灰度图像 subplot(2,2,2)

imshow(A); ％显示图像 title('灰度图')

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B=dct2(A); ％进行余弦变换 subplot(2,2,3)

imshow(log(abs(B)),[]),colormap(jet(64)),colorbar; ％显示图像 title('余弦变换')

B(abs(B)<10)=0; ％将DCT变换值小于10的元素设为0 C=idct2(B)/255; ％进行余弦反变换 subplot(2,2,4) imshow(C); title('反余弦变换') 运行结果如图４所示。

图4 离散余弦变换图

1.5离散沃尔什和哈达玛变换

上面介绍的傅立叶变换、DCT变换都是由正弦或余弦等三角函数为基本的正交函数基，在快速算法中要用到复数乘法、三角函数乘法，占用时间仍然较多。在某些应用领域，需要有更为有效和使得的变换方法：沃尔什（Walsh）变换就算是其中一种。它包括只有+1和-1两个数值所构成的完备正交基，由于沃尔什函数基就是二值正交基，与

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数字逻辑的二个状态相对应，因而更加适用于计算机处理。另外，与傅立叶变换相比，沃尔什变换减少了存储空间和提高了处理速度，这一点对图像处理来说是至关重要的：特别是在大量数据需要进行实时处理时，沃尔什变换更加显示出其优越性。

哈达玛（Hadamard）变换本质上是一种特殊排序的沃尔什变换，哈达玛变换矩阵也是一个方阵，只包括+1和-1两个矩阵元素，各行或各列之间彼此是正交的，即任意二行相乘或二列相乘后的各数之和必定为零。哈达玛变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶矩阵可以用两个低阶矩阵求得，这个特点使人们更愿意采用哈达玛变换。

1.5.1MATLAB提供的哈达玛变换函数

Hadamard是MATLAB提供的哈达玛变换矩阵函数，其语法格式为： H=hadamard(N)

其功能是：产生一个n阶hadamard矩阵，其中元素为+1或-1，各正交，该矩阵H具有如下特性：H?*H=n*I其中[n n]=size(H)，I=eye(n,n)该矩阵只有当n,n/12,n/20为2的幂时才存在。

1.5.2沃尔什—哈达玛变换的MATLAB实现

程序如下：

cameraman=imread('cameraman.tif'); subplot(1,2,1) imshow(cameraman); title('原图像'); H=hadamard(256);

％hadamard矩阵 ％数据类型 ％hadamard变换

cameraman=double(cameraman)/255; hcameraman=H*cameraman*H; hcameraman=hcameraman/256; subplot(1,2,2) imshow(hcameraman);

title('二维离散Hadamard变换图');

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运行结果如图5所示。

图5 Walsh-Hadamard变换图

2 图像压缩

近年来，随着计算机通信技术的迅速发展，特别是多媒体网络技术的兴起，图像压缩编码已受到了人们越来越多的关注。

图像压缩与编码从本质上来说就是要对处理的图像按一定的规则进行变换和组合，从而达到以尽可能少的代码（符号—）来表示尽可能多的数据信息。压缩通过编码来实现，或者说编码带来压缩的效果。因此，一般把此项处理称为压缩编码。

下面分别采用小波变换和离散余弦变换对图像进行压缩。

2.1基于小波变换的图像压缩

下面利用二维小波分析对图像进行压缩。一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的。高分辨率（即高频）子图像上大部分点的数值都接近于0，越是高频这种现象越明显。对一个图像来说，表现一个图像最主要的部分是低频部分，所以一个最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频部分保留低频部分。

程序如下：

X=imread('cameraman.tif'); ％调入图像 X=double(X)/255; ％归一化图像

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subplot(2,2,1),imagesc(X),colormap(gray); ％显示原始图像 title('原图像')

disp(压缩前图像X的大小');whos('X');

[C,S]=wavedec2(X,2,'bior3.7'); ％对图像用bior3.7小波２层小波分解

ca1=appcoef2(C,S,'bior3.7',1); ％保留小波分解第１层低频信息，进行图像压缩 ca1=wcodemat(ca1,440,'mat',0); ％对第１层信息进行量化编码

subplot(2,2,2),imagesc(ca1),colormap(gray);％显示第一层（50%分辨率）的图像 title('第１层小波分解后图像')

disp('第一次压缩后图像X的大小');whos('X');

ca2=appcoef2(C,S,'bior3.7',2); ％保留小波分解第２层低频信息，进行图像的压缩 ca2=wcodemat(ca2,440,'mat',0); ％对第２层信息进行量化编码

subplot(2,2,3),imagesc(ca2),colormap(gray); ％显示第一层（25%分辨率）的图像 title('第２层小波分解后图像')

disp('第二次压缩后图像X的大小');whos('X'); 运行结果如图６所示。

图6 基于小波变换的图像压缩

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fz9f.html