15届高三理科数学三诊模拟考试试题答案

成都七中高2015届数学三诊模拟试题（理科）

参考答案

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的.）

（CUA） B （ ）A 1．设集合U 1,2,3,4 ,A 1,2 ,B 2,4 , 则

A. 4 B. 2 C. 1,4 D. 1,2,4 2.已知复数z A．一象限

3 i

（i为虚数单位），则复数z所在的象限是（ ）C 2i

B．二象限

C．三象限

D．四象限

3．“函数f(x) kx 2在区间 1,1 上存在零点”是“k 3”的（ ）B A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4. 已知|a| 1,|b| a (b a) 4，则向量a与b的夹角为（ ）D

2 5

B． C． D．63 36

5. 设 an 是公差为正数的等差数列，若a1 a2 a3 15，a1a2a3 80，则

A．

a11 a12 a13 ( )C

C．105 D．120

6.已知函数f(x) asinx bcosx(x R)，若x x0是函数f(x)的一条对称轴，且tanx0 2，则点(a,b)所在的直线方程为( )A

A．x 2y 0 B．x 2y 0 C．2x y 0 D．2x y

0 7.一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） D （A （B）最长棱的棱长为3

（C）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D）侧面四个三角形都是直角三角形

俯视图

正(主)视图

侧(左)视图

A．75 B．90

8.在 ABC中,已知AB 4,AC 4, B 30 ,则 ABC的面积是（ ）C

A.43 B.83 C.43或8 D.3

x2y2

9. 过双曲线2 2 1(a 0,b 0)的左焦点F( c,0)(c 0)，作倾斜角为的直线FE交

ab6

该双曲线右支于点P，若OE

1

(OF OP)，且OE EF 0，则双曲线的离心率为( )B 2

A.

1 B.

1 C

.D.

(x 1)(x 1)

log5(1 x)

10.已知函数f(x) 2

(x 2) 2

，则关于x的方程f(x

1

2) a(a R)的x

实根个数不可能为（ ）B ．．．

A.3个 B.5个 C.6个 D. 7个

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共计25分

11.运行如图所示的流程图，如果输入a 1,b 2，则输出的a的值为 .9

4

12.已知(1 2x)的展开式中的二次项系数的最大值为a，系数的最大值为b，则

b

的值为 a

16 3

13. 已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.-5

x y≤1,

14.设D为不等式组 2x y≥ 1,表示的平面区域，点B(a,b)为坐标平面xOy内一点，若对于区域

x 2y≤1

D内的任一点A(x,y)，都有OA OB≤1成立，则a b的最大值等于 2

15.设x,y R，定义x y x(a y)（a R，且a为常数），若f(x) ex，g(x) e x 2x2，

F(x) f(x) g(x)．

①g(x)不存在极值；

②若f(x)的反函数为h(x)，且函数y kx与函数y h(x)有两个交点，则k ③若F(x)在R上是减函数，则实数a的取值范围是( , 2]； ④若a 3，在F(x)的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直． 其中真命题的序号有__________（把所有真命题序号写上）．②③

三、解答题（本大题6小题，共计75分） 16.（12分）已知函数f x 2cos2

1

； e

x

sinx。 2

(1)求函数f x 的最小正周期和值域； (2)若 为第二象限角，且f 16．【解析】(1)

1

cos2

的值。 ，求

3 31 cos2 sin2

f x 1 2sin(x

5

) ……3分 6

T 2 值域[ 1,3] ……6分

（2）由f

1

得cos 又

为二象限角，则sin 3 33

1

……8分 3

cos2 cos2 sin2 cos sin

……10分

2

1 cos2 sin2 2cos 2sin cos 2cos

1 ……12分

2

17.（12分）如图，四棱锥P ABCD中， PAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且平面PAB 平面ABCD，PA 2，PC 4． （Ⅰ）若点E是PC的中点，求证：PA//平面BDE； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，在线段PA上是否存在一点F且FA PA,使得二面角E-BD-F为直二面角，若存在，求实数 的值；若不存在，请说明理由.

解：(1)如图(17-1)，连接AC，设ACBD Q，

C又点E是PC的中点，则在 PAC中，中位线EQ//PA， 又EQ 平面BDE，PA 平面BDE。所以PA//平面BDE ……5分

（Ⅱ）取

中点O，建立空间直角坐标系xyz如图2所示,

在Rt PCD中，斜边PC=4,PB 2，

得BC。3由AF

AP，则有：

A(1，0，0)，,B( 1,0,0),C( 1D(1

1P(0，0,,,E( F(1 ,0)

22

n1BD 0

设平面BDE的一个法向量为n1=(x,y,z)则有 解得n1 1,1)

n1BE 0 2 n2BD 0

设平面BDF的一个法向量为n2=(x,y,z)则有 解得n2 1,) 10分

n2BF 0

2

依题意 n1n2 0 解得 = [0,1]故在线段PA上存在点F满足得二面角E-BD-F为直二面

5

角. 12分

18.（12分）成都七中科技活动月开展了知识竞赛活动.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的. （1

（2）设选手甲在初赛中答题的个数为X. 解：(1）设选手甲答对每个题的概率为p手甲答了3题都对进入复赛概率为：

A，则选

2分 4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛

4分 或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛

6分

9分 12分 19.（12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S4 4S2，a2n 2an 1 （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn 的前n项和为Rn 解：（1）设公差为d则有

an 1

cn b2n 1(n N*)，求数列{cn} ( 为常数)，n

2

4a1 6d 8a1 4d a1 1*

解得：则有an 2n 1(n N) 6分

a1 (2n 1)d 2a1 2(n 1)d 1 d 2

（2）由题意Tn

n*

(n N) n 12

n 2

8分 n 1

241 6n

， Rn n 1

99.4

n 1时b1 1，n 2时bn Tn Tn 1

当 0时cn b2n 1

2n 34n 1

0时 cn b2n 1

,n 1 1

41 6n

Rn n 1 2n 3

99.4,n 2 n 1

4

综上Rn

41 6n* (n N) 12分 n 199.4

20.（13分）已知抛物线C:y2 2px(p 0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为M.点P(m,n)（m p）在抛物线C上，且 FOP的外接圆圆心到准线l的距离为（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若直线PF与抛物线C交于另一点A，证明：kMP kMA为定值；

（Ⅲ）过点P作圆(x 1)2 y2 1的两条切线，与y轴分别交于D、E两点，求 PDE面积取得最小值时对应的m值.

解：（Ⅰ）依题意F(,0) FOP的外接圆圆心横坐标为

3

.2

p2

pp3p

，故圆心到准线的距离为

2424

2

解得p 2，所求抛物线的方程为y 4x ……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知F(1,0)，准线x 1故M( 1,0)

x my 12

设直线的方程为x my 1联立方程 2得y 4my 4 0由韦达定理得

y 4x

y1 y2 4my1y24(y1 y2)(y1y2 4)

=0（定值） ……8分 k k 则MPMA2222

y1y2(y1 4)(y2 4) y1y2 4 1 144

222

（Ⅲ）点P(m,n)在抛物线C上则n 4m，由题意可知，过点P与圆(x 1) y 1相切的直

线斜率存在，设切线方程为y n k(x m)即：kx y km n 0与y轴交点为

(0,km n),DE m(k1 k2)又直线与圆相切得d

r

1 整理得

2(1 m)n

k k 12 m2 2m222

(m 2m)k 2(m 1)nk n 1 0则有 2

n 1 kk 12 m2 2m

DE S PDE

11

DEm ……11分 22

m2(m2 2m)2m2(m2 3m 6)'

f(m) f(m) 0m 记则解得

(m 2)2(m

2)3易知m

21.（14分）已知函数g x alnx,f x x3 x2 bx。 （1）若f x 在区间 1,2 上不是单调函数，求实数b的范围；

（2）若对任意x [1, )，都有g x x2 (a 2)x恒成立，求实数a的取值范围； （3）当b 0时，设F x

3 3f(m

)m 时取最小值即当时 PDE面积最小 ……13分

22

f( x)x 1

，对任意给定的正实数a，曲线y F x 上是否

g(x)x 1

存在两点P,Q，使得 POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由.

' f(1) 0

解：（1）依题意f(x) 3x 2x b 0在(1,2)上恰有一根

' f(2) 0

'

2

解得 16 b 5 …….4分

22

（2）g(x) x (a 2)x (x lnx)a x lnx 0

x2 lnx

x [1, )时x lnx 0 a 恒成立

x lnxx2 lnx(x 1)(x 2 2lnx)

令m(x) 则 m'(x) 2

x lnx(x lnx)

令n(x) x 2 2lnx则n'(x) 1

2x 2

xx

则n(x)在 0,2 单减，在 2, 单增n(x)min n(2) 4 2ln2 0 则m(x)在x [1, )时单增m(x)min m(1) 1

a 1 …….9分

x3 x2,x 1

（3）由条件F x 假设曲线y F x 上存在两点P、Q满足条件，则P、Q

alnx ,x 1

只能在y轴两侧，不妨设P(t,F(t))(t 0且t 1)，则Q( t,t3 t2) 依题意，OPOQ 0 t2 F(t)(t3 t2) 0

下面研究方程 t2 F(t)(t3 t2) 0 (*)在t (0,1) (1, )上解的情况 ①0 t 1时，F(t) t3 t2方程(*)为 t2 ( t3 t2)(t3 t2) 0 化简得

t4 t2 1 0此方程无解

②t 1时，F(t) alnt方程(*)为 t2 alnt(t3 t2) 0 化简得

11

(t 1)lnt,令h(t) (t 1)lnt则h'(t) lnt 1 0(t 1) ath(t)在(1, )上单增，又h(1) 0则h(t) (0, )

即当a 0时方程（*）恒有解

综上可知对任意给定的正实数a，曲线y F x 上一定存在两点P,Q，使得 POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上. 14分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fz44.html