高等数学下册复习题模拟试卷和答案

高等数学（下）模拟试卷五

一． 填空题（每空3分，共21分）

ln(x?y)1．函数的 定义域为 。 z?y2．已知函数z?ex2?y2，则dz?(1,0) 。

?z3．已知z?exy，则?x? 。

22L4．设L为x?y?1上点?1,0?到??1,0?的上半弧段，则 。

?2ds?5．交换积分顺序?1?edx?lnx0f(x,y)dy? 。

(?1)n?6.级数n?1n是绝对收敛还是条件收敛？ 。

7．微分方程y??sinx的通解为 。

二．选择题（每空3分，共15分）

1．函数z?f?x,y?在点?x0,y0?的全微分存在是f?x,y?在该点连续的（ ）条件。

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分，也非必要

2．平面?1:x?2y?z?1?0与?2:2x?y?z?2?0的夹角为（ ）。

????A．6 B．4 C．2 D．3 (x?5)n?n3．幂级数n?1的收敛域为（ ）。

A．?4,6? B．?4,6? C．?4,6? D．?4,6?

?y1(x)?4．设y1(x),y2(x)是微分方程y???p(x)y??q(x)y?0的两特解且y2(x)常数，则下列（ ）是其通解（c1,c2为任意常数）。

A．y?c1y1(x)?y2(x) B．y?y1(x)?c2y2(x) C．y?y1(x)?y2(x) D．y?c1y1(x)?c2y2(x)

5．?在直角坐标系下化为三次积分为（ ），其中?为x?3,x?0,y?3,y?0，z?0,z?3所围的闭区域。

A．

???zdv?03dx?dy?zdz00300333 B．

?30dx?dy?zdz0033 C．

?30dx?dy?zdz3003

?D．

30dx?dy?zdz

三．计算下列各题（共21分，每题7分）

?z?z,z1、已知lnz?e?xy?0，求?x?y。

x?1y?2z??(1,0,2)1?23的直线方程。 2、求过点且平行直线

3、利用极坐标计算D一象限的区域。

22(x?y)d???22，其中D为由x?y?4、y?0及y?x所围的在第

四．求解下列各题（共20分，第1题8分，第2题12分）

2x2?(y?e)dx?(2xy?5x?siny)dy1、利用格林公式计算曲线积分

L，其中L为圆域D：

x2?y2?4的边界曲线，取逆时针方向。

2、判别下列级数的敛散性：

(1)?(?1)n?1?n?11

n2(2)?nn n?13

?五、求解下列各题（共23分，第1、2题各8分，第3题7分）

1f(x,y)?x3?y2?3x?3y?121、求函数的极值。

dy?y?e?x2、求方程dx满足yx?0?2的特解。

3、求方程y???2y??8y?2e的通解。

x高等数学（下）模拟试卷六

一、填空题：（每题3分,共21分.）

5．将?10dx?1?x20f(x2?y2)dy化为极坐标系下的二重积分 。

(?1)n?26.级数n?1n是绝对收敛还是条件收敛？ 。

?7．微分方程y??2x的通解为 。

二、选择题：（每题3分,共15分.）

1．函数z?f?x,y?的偏导数在点?x0,y0?连续是其全微分存在的（ ）条件。

A．必要非充分， B．充分， C．充分必要， D．既非充分，也非必要，

2．直线

l:xy?2z?2??110与平面?:x?2y?z?3的夹角为（ ）。

????A．6 B．3 C．2 D．4

xn?n23．幂级数n?13n的收敛域为（ ）。

A．(?3,3) B．[?3,3] C．(?3,3] D．[?3,3)

?*4.设y(x)是微分方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的特解，y(x)是方程y???p(x)y??q(x)y

?0的通解，则下列（ ）是方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的通解。

***y(x)y(x)?y(x)y(x)yA． B． C． D． (x)?y(x)

5．

2z???dv?在柱面坐标系下化为三次积分为（ ），其中?为x?y?z?R的上半

RR2222球体。

A．

?2?02?0d??rdr?z2dz00 B．

?2?02?0d??rdr?z2dz00Rr

? C．

d??dr?0RR2?r20zdz2? D．

d??rdr?0RR2?r20z2dz

三、计算下列各题（共18分，每题6分）

?z?z,3z?3xyz?5?x?y 1、已知，求

2、求过点(1,0,2)且平行于平面2x?y?3z?5的平面方程。

22(x?y)dxdy??D3、计算

，其中D为y?x、y?0及x?1所围的闭区域。

四、求解下列各题（共25分，第1题7分,第2题8分，第3题10分）

2(x?y)dx?(x?siny)dy2y?2x?x1、计算曲线积分?L，其中L为圆周上点(0,0)到

(1,1)的一段弧。

2、利用高斯公式计算曲面积分：

???xdydz?ydzdx?zdxdy?，其中?是由

z?0,z?3,x2?y2?1所围区域的整个表面的外侧。

3、判别下列级数的敛散性：

?1?n(?1)(2)4sin??(1)lnn3n n?2n?1

五、求解下列各题（共21分,每题7分）

1f(x,y)?3x2?6x?y3?2y2?131、求函数的极值。

?ndy?y?exy2、求方程dx满足

x?0?1的特解。

x3、求方程y???5y??6y?(x?1)e的通解。

高等数学（下）模拟试卷七

一． 填空题（每空3分，共24分）

1z?(x2?y2)25?x2?y2的定义域为 1．二元函数

2．

3．z?xy的全微分dz? _ ?zy?z?arctanx，则?x______________________ 5．设

8．级数n?0?2?1n的和s=

二．选择题：（每题3分，共15分）

1．f?x,y?在点?a,b?处两个偏导数存在是f?x,y?在点?a,b?处连续的 条件

（A）充分而非必要 （B）必要而非充分

（C）充分必要 （D）既非充分也非必要

2．累次积分

(A) （C）

?dx?0101x0f(x,y)dy改变积分次序为

?10dy?f(x,y)dxdy?y20 （B）

?dy?01x01f(x,y)dx

3x?10f(x,y)dx （D）

?10dy?2f(x,y)dxy3x???y?5y?6y?xe3．下列函数中， 是微分方程的特解形式(a、b为常数)

（A）y?(ax?b)e23x （B） y?x(ax?b)e3x3x

（C）y?x(ax?b)e （D） y?ae

4．下列级数中，收敛的级数是 n??2n?1n?1（A） （B） n?12n?1 （C） ?z?222x?y?z?4z?x5．设，则 1??(?3)n?nn?12 （D）

?(?1)n?nn?1?

xxxx?(A) z (B) 2?z (C) z?2 (D) z

得分 三、求解下列各题（每题7分，共21分）

x?z?z2 z?ulnv,而u?,v?3x?4y,阅卷人 y?x?y 1. 设，求

3n?nn2n?12. 判断级数

?的收敛性 3.计算

xe??D2?y2dxdy22x?y?1所围，其中D为

区域

四、计算下列各题（每题10分，共40分）

2.计算二重积分

?I????x?y?dxdyD，其中D是由直线y?x,x?1及x轴围成的平面区域.

32f(x,y)?y?x?6x?12y?5的极值. 3.求函数

xn?2nn?44.求幂级数n?1的收敛域.

（下）模拟试卷五

一、填空题：（每空3分，共21分）

x2?y2x2?y2??(x,y)x?y,y?02xedx?2yedy12、

， 、

，3、0,4、2?，

5、?01dy?eeyf(x,y)dx，6、条件收敛，7、y??cosx?c（c为?常数），

二、选择题：（每空3分，共15分）1、A，2、D，3、A，4、D，5、B

zF(x,y,z)?lnz?e?xy???1? 1三、解：、令

F?zyz??x??xFz1?zez ???4?

Fy?zxz???z?yF1?zez ???7?

1,?2,3????2? 2、所求直线方程的方向向量可取为?x?1yz?2???23???7? 则直线方程为：1?3、原式

四、解：1、令

??d??r3dr4002???4?

?? ???7?

P(x,y)?y2?ex,Q(x,y)?2xy?5x?sin2y,???(D?P?Q?2y,?2y?5?y?x???3?

原式

?Q?P?)dxdy?x?y???6?

?20? ???8?

2、(1) 此级数为交错级数 ???1?

nn?1(n?1,2,??) ???4?

故原级数收敛 ???6?

(2) 此级数为正项级数???1?

因

n??lim1n?01 ，

?1(n?1)2n?113lim??12n??3n3n 因 ???4? 故原级数收敛 ???6?

f(x,y)?3?y?0五、解：1、由fx(x,y)?3x?3?0，y得驻点(1,3),(?1,3) ???2?

A?fxx(1,3)?6,B?fxy(1,3)?0,C?fyy(1,3)??1在(1,3)处

2AC?B?0,，所以在此处无极值 ???5? 因

2在(?1,3)处

A?fxx(?1,3)??6,B?fxy(?1,3)?0,C?fyy(?1,3)??1f(?1,3)?152???8?

2AC?B?0,A?0，所以有极大值 因

2、通解

y?[?e?xe?dx?c]e?dx?1dx ???3?

?x?x ?xe?ce ???6?

yx?0?c?2

?xy?(x?2)e特解为 ???8?

3、1)其对应的齐次方程的特征方程为 r2?2r?8?0

有两不相等的实根r1?2,r2??4 所以对应的齐次方程的通解为 y?c1e 2)设其特解y(x)?ae

*x2x?c2e?4x（c1,c2为?常数） ???3?

?5aex?2ex,a??将其代入原方程得

25

2y*(x)??ex5???6? 故特解

3)原方程的通解为y?c1e?c2e2x?4x2

?ex

5???7?

高等数学（下）模拟试卷六参考答案

一、 填空题：（每空3分，共21分）

1(x,y)x?1?y?x?1?2232xcos(x2?y2)dx?2ycos(x2?y2)dy1、?， 、，、,

?2y?x?c（c为?常数）67，、绝对收敛，、，

二、选择题：（每空3分，共15分）1、B，2、B，3、B，4、D，5、D 三、解：

31、令F(x,y,z)?z?3xyz?5???2?

4、22，5、?20d??f(r2)rdr01F?zyz??x?2?xFzz?xy ???4?

Fy?zxz???2Fzz?xy ???6? ?y2、所求平面方程的法向量可取为?2,1,3????2?

则平面方程为：2(x?1)?y?3(z?2)?0???6?

1x03、原式01?3 ???6?

??dx?(x2?y2)dy???4?

四、解：1、令

原式

P(x,y)?x2?y,Q(x,y)??(x?siny),11?P?Q???1?y?x???3?

??(x2?0)dx??(1?siny)dy00???6?

53 ???7?

2、令P?x,Q?y,R?z???2?

?cos1?原式

????(??P?Q?R??)dv?x?y?z???5?

???7? ? ?9????8?

3、(1) 此级数为交错级数 ???1?

????3dv111?lim?0n??lnn 因 ，lnnln(n?1)(n?2,3??) ???4?

故原级数收敛 ???5?

(2) 此级数为正项级数???1?

n?143lim??1n???34nsinn3 因 ???4? 故原级数发散 ???5?

2f(x,y)?4y?y?0f(x,y)?6x?6?0五、解：1、由x，y得驻点(?1,0),(?1,4)

4n?1sin????3?

A?fxx(?1,0)?6,B?fxy(?1,0)?0,C?fyy(?1,0)?4在(?1,0)处

因AC?B?0,A?0，所以有极小值f(?1,0)??2 ???5? 在(?1,4)处

2A?fxx(?1,4)?6,B?fxy(?1,4)?0,C?fyy(?1,4)??42

因AC?B?0,，所以在此处无极值 ???7?

2、通解

y?[?exe??1dxdx?c]e?dx ???3?

?(x?c)e ???5?

xyx?0?c?1,

xy?(x?1)e特解为 ???7?

1)对应的齐次方程的特征方程为 r2?5r?6?0 , 有两不相等的实根r1?2,r2?3 3、

2x3xy?ce?ce12所以对应的齐次方程的通解为 （c1,c2为?常数） ???3?

*x2)y(x)?(ax?b)e 设其特解

将其代入原方程得

2ax?3a?2b?x?1,a?15,b?24

15y*(x)?(x?)ex24???6? 故特解

3)原方程的通解为y?c1e2x?c2e3x15?(x?)ex24???7?

高等数学（下）模拟试卷七参考答案一．填空题：（每空3分，共

2t3y?C?()?y?1yt(x,y)|0?x?y?25??yxdx?xlnxdy 351. 2. 3.

yx22y?e(C1cos2x?C2sin2x) 7.8?8. 2 y?Cx1?xy 4. 5. 6.

22二．选择题：（每题3分，共15分）

1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 三．求解下列微分方程（每题7分，共21分）

?z?z?u?z?v2x3x2???2ln(3x?4y)?2?x?u?x?v?xy(3x?4y)y1.解： ………(4分) ?z?z?u?z?v?2x24x2???3ln(3x?4y)??y?u?y?v?yy(3x?4y)y2 ………(7分)

2.解：limun?1?limx??ux??n3n?1(n?1)?2n?13nn?2n?(5分)3?1???(6分)2所以此级数发散????(7分) ?x3. 解：e??D2

?y2dxdy=? 2? 0 2?d??erdr??(5分)01r2

四．计算下列各题（每题10分，共40分）

1.解：原方程的通解为1r21=?ed? 020??(e?1)??(7分)y?e1??dxx?[?lnxe??xdx1dx?c] ???(6分)1=x[?lnxdx?C]?x[?lnxdlnx?C]x1?x[(lnx)2?C]?????????(10分)2

2. 解：???x?y?dxdy=?dx?D 0 11x 0?x?y?dy??(6分) 1312?x1?=??xy?y?dx??x2dx???(10分) 0 022?02? ??fx(x,y)??2x?6?03.解： 得驻点(3，2)和(3，-2)????(4分)?2f(x,y)?3y?12?0??yfxx(x,y)??2,fxy(x,y)?0,fyy(x,y)?6y在点(3，2)处，A=-2，B=0，C=12，AC?B2=-24<0，故点(3，2)不是极值点????????(7分)在点(3，-2)处，A=-2，B=0，C=-12，AC?B2=24>0，且A<0，2)是极大值点，极大值f(3,?2)?30??????(10分) 故点(3，4.解：此幂级数的收敛半径：R=limn??anan?11n24n?lim?4??(6分)n??1(n?1)24n?1x?4时幂级数变为?1是收敛的p-级数2nn=1??(-1)nx??4时幂级数变为?2绝对收敛?????????????(8分)n=1nxn 所以?2n收敛域为[-4，4]????????????????(10分)n?4n?1

?

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