小学奥数工程问题分类讲解

小学奥数─工程问题分类讲解

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一． 工程问题的基本概念

定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。 工作总量：一般抽象成单位“1” 工作效率：单位时间内完成的工作量

三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间， 工作效率=工作总量÷工作时间， 工作时间=工作总量÷工作效率；

二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：

① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；

② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；

③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；

④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．

三、利用常见的数学思想方法：

如代换法、比例法、列表法、方程法等

抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．

熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；

（1） 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理； （2） 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；

（3） 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．

例题精讲

一、 周期性工程问题

【例 1】 一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果接甲、乙、甲、乙．．．顺序交替工作，

每次1小时，那么需要多长时间完成？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 甲1小时完成整个工程的

11，乙1小时完成整个工程的，交替干活时两个小时完成整个工程的610114441??，甲、乙各干3小时后完成整个工程的?3?，还剩下，甲再干1小时完成整个610151555工程的

111，还剩下，乙花小时即20分钟即可完成．所以需要7小时20分钟来完成整个工程． 6303【答案】7小时20分钟

【巩固】 一项工程，甲单独完成需l2小时，乙单独完成需15小时。甲乙合做1小时后，由甲单独做1小

时，再由乙单独做1小时，……，甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用________小时。

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，一试 【解析】 甲乙合做1小时后，还剩下：1?2×5=10小时，还剩下

1117113，还需要做??，甲乙单独做2小时，共做??1512201512201111111，需要甲做1小时，还有??，乙还需要做??小时，一1010126060154共需要1+10+1+ 0.25=12.25小时

【答案】8.5天

【例 2】 一项工程，乙单独做要17天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好

用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工．问：甲单独做需要几天？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流

做的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的．那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的．如果设甲、乙工作效率分别为V1和V2，那么1V1?V2?V1，所以V1?2V2，乙单独做要用17天，甲的工作效率是乙的2倍，所以甲单独做需要

217?2?8.5天．

【答案】8.5天

【巩固】 规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第

一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

甲乙甲乙?甲1小时?乙0.8小时【解析】 根据题意，有：，可知，甲做1?0.6?0.4小时与乙做1?0.8?0.2小

乙甲乙甲?乙1小时?甲0.6小时时的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量． 所以，乙单独工作需要9.8?5?5?2?7.3小时．

【答案】7.3小时

【例 3】 蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需5小时；排光一池水，单开

排水管需3小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开1小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？(精确到分钟)

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 法一：

1121211小时排水比1小时进水多??，??3?，说明排水开了3小时后（实际加上进

351521510水3小时，已经过去6小时了），水池还剩一池子水的再过1小时，水池里的水为一池子水的把这些水排完需要

113??， 105101， 10319??小时，不到1小时， 1031099?7小时?7小时54分． 1010所以共需要 6?1?法二：

1122111小时排水比1小时进水多??，?4??，

351515230说明8小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的排一池子需要3小时，排一池子水的所以实际需要8?【答案】7小时54分

1， 30111需要3??小时，

30103019?7小时?7小时54分． 1010【巩固】 蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管

需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有

1的水，6若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？

【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答

11117171【解析】 甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水：????，循环5次后水池还空：1???5?，

3456606604111333的工作量由甲管注水需要：??(小时)，所以经过4?5??20小时后水开始溢出水池． 4434443【答案】20

4

二、 水管问题

【例 4】 一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小

时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同

时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开．这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水．可以计算出乙单独灌水的工作量为11111，所以整池水由乙管单独灌水，1??2??2?，所以乙的工作效率为：?(6?2?2)?54101020需要1?1． ?20（小时）

20【答案】20小时

【巩固】 某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需24小时注满，若要求

10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放 小时．

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲“满负荷”地做，才可能使得同时开放的时间最小．所

1??1?4(小时)，即甲、乙最少要同时开放4小时． 以，乙开放的时间为?1??10???12?24【答案】4小时

【例 5】 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打

开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4 × 60= 240（立方

米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8 × 8 × 90，其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.所以打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.

【答案】54分钟

【巩固】 一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入．当池中有一半的水时，如果打

开9个出水口，9小时可以把水排空．如果打开7个出水口，18小时可以把水排空．如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过 时 分水池刚好被排空．

【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】对比思想方法

【解析】 本题是牛吃草问题的变形．

设每个出水口每小时的出水量为1，则进水口每小时的进水量为：(7?18?9?9)?(18?9)?5，半池水的量为：(9?5)?9?36，所以一池水的量为72．

如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为72?(15?5)?7.2小时，即7小时12分钟．

【答案】7小时12分钟

【例 6】 一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水．若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已

满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满．又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．则该水箱最多可容纳多少吨水？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．那么甲管注入18吨水的时间是乙管注入

18?2?36吨水的时间，则甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是36:27?4:3．那

么在这两种情况下丙管注水的时间比为4:3，而且前一种情况比后一种情况多注入27?18?9吨水，则甲管注入18吨水时，丙管注入水9?(4?3)?4?36吨． 所以该水箱最多可容纳水18?36?54吨．

【答案】54吨

【巩固】 一个水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入30吨水时，水箱已满；

如果只打开乙、丙两管，乙管注入40吨水时，水箱才满．已知乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍，则该水箱注满时可容纳 吨水．

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 方法一：乙注入40吨水的时间相当于甲注入

那么，乙注40吨水丙可注水量为（吨）为水箱容量。

方法二：如果只打开甲、丙两管，注满水时甲管注入了30吨水；如果只打开乙、丙两管，注满水时乙管注入了40吨水．由于乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍，所以在甲管注入30吨水的时间内，乙管可以注入30?1.5?45吨水，而在只打开乙、丙两管的情况下乙管共注入了40吨水，可见打开甲、丙两管注满水所用的时间是打开乙、丙两管所用时间的

459可以假设打开乙、?倍．

40840吨水的时间，甲注入30吨水，丙可注水量为x，1.540140190?30?120所以30?x?40?解得x?90，?x，?x，

1.5301.530丙两管的情况下丙管注了a吨水，则打开甲、丙两管的情况下丙管注了

9a吨水，所以有89a?30?a?40，得到a?80，所以水箱注满时可容纳80?40?120吨水．在得到第一种情况所89用时间是第二种情况所用时间的倍之后，可以假设第二种情况此时乙、丙两管继续注水，总时

89间为注满水所需时间的倍，也就是与第一种情况所用时间相同．此时，注入的水量也是水箱容

891积的倍，即比第一种情况多了倍．然而此时注水时间相同，所以丙管注入的水量相同，乙管

881则注入30?1.5?45吨水，比甲管多注了45?30?15吨，所以这15吨就是水箱容积的，那么水

81箱容积为15??120吨．

8【答案】120吨

【例 7】 放满一个水池，如果同时打开1，2号阀门，则12分钟可以完成；如果同时打开1，3号阀门，

则15分钟可以完成；如果单独打开1号阀门，则20分钟可以完成；那么，如果同时打开1，2，3号阀门， 分钟可以完成。

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2009年，学而思杯，6年级

【解析】 单独打开1号门，20分钟可以完成，说明1号门每分钟完成

1，而同时打开1、2号闸门12分20钟可以完成，说明2号闸门每分钟完成

111，而现在同时打开1、3号闸门，15分钟可??122030111，则同时打开1、2、3号闸门，需要??152060以完成，说明3号闸门每分钟完成11??11??????10分钟。 ?203060?【答案】10分钟

【巩固】 放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4

阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成．问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据条件，列表如下（画○表示阀门打开，画×表示阀门关闭）：

1号 ○ × ○ ○ 2号 ○ ○ × ○ 3号 ○ ○ ○ × 4号 × ○ ○ ○ 工作效率 1 201 211 281 30从表中可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和为： 111?11?1????3?，那么同时打开这4个阀门，需要． 1??18（分钟）??1818?20212830?【答案】18分钟

三、 比例法及工资分配问题

【例 8】 有一项工程，有三个工程队来争夺施工权利，已知甲乙丙三个工程队都是工作时间长短来付费

的，甲、乙两队合作，10天可以全部完工，共需要支付18000元，由乙、丙两队合作，20天可以完工，共需要支付12000元，由甲、丙两队合作，12天可以完成，共需要支付15000，如果该工程只需要一个工程队承建，如果只能一个队伍单独施工，那么最快的比最慢的会早完工____天.需要支付速度最快的队伍____元.

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】2010年，学而思杯，5年级

11??1【解析】 甲乙丙的工效和为?????2?0?10122?7711，所以甲的工效为，乙的工效为??60602015711711，丙的工效为??，所以从时间上考虑，应该选择甲，会比丙早完工60?15?45??601230601060180001200015000天，同样的道理，甲乙丙的每日工资之和是 (，所以甲的每??)?2?1825（元）

102012日费用为1825?600?1225（元），乙的费用为1825?1250?575（元），丙的费用为1825?1800?25（元），所以需要支付速度最快的队伍1225?15?18375（元）

【巩固】 甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获

5040元．实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天？

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答

?504?0【解析】 开始时甲队拿到84003360:50?40336，甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比，即为元

2；:甲提高工效后，甲、乙总的工资及工效比为

(3360?960):(5040?960)?18:17．设甲开始时的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工

效后还需x天才能完成任务．有(2?4?4x):(3?4?3x)?18:17，化简为216?54x?136?68x，解得x?【答案】12天

【例 9】 一项工程，甲15天做了

11后，乙加入进来，甲、乙一起又做了，这时丙也加入进甲、乙、丙444040．工程总量为5?4?7??60，所以原计划60?(2?3)?12天完成．

77一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天?

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 方法一：先把整个工程分为三个阶段：Ⅰ﹑Ⅱ﹑Ⅲ；且易知甲的工作效率为

1.又乙、丙工作的60天数之比为(Ⅱ+Ⅲ)：Ⅲ=2：1，所以有Ⅱ阶段和Ⅲ阶段所需的时间相等．即甲、乙合作完成的

14111的工程与甲、乙、丙合作完成1???的工程所需的时间相等．所以对于工作效率有：(甲+

442乙)×2=(甲+乙+丙)，甲+乙=丙，那么有丙-乙=工作效率为

1.又有乙、丙的工作效率的比为3：5．易知乙的6035,丙的工作效率为：.那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：

12012015?113118?(?)??(?)?15?6?6?27天. 4601202601201设乙的工作效率为3x，那么丙的工作效率为5x．所以有乙工，60方法二：显然甲的工作效率为作的天数为11?(?x3460)?12111111?(?x3?)??(x丙8工),作的天数为?(?8x).且有460260260?(1x?8601)?2?111111?即x(??(8?)3x.)??(?8x),解得x?.所以乙264060260120的工作效率为

35,丙的工作效率为高.那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：

12012015?113118?(?)??(?)?15?6?6?27天. 460120260120【答案】27天

【巩固】 某工地用3种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10:7:6，速度比为

6:8:9，运送土方的路程之比为15:14:14，三种车的辆数之比为10:5:7．工程开始时，乙、丙

两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2007年，二中

【解析】 由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为15:14:14，速度之比为6:8:9，所以它们运送1次

所需的时间之比为

1514145714249相同时间内它们运送的次数比为：::．在前10天，::?::，

6892495714甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为5:5:7．由于三种卡车载重量之比为

10:7:6，所以三种卡车的总载重量之比为50:35:42．那么三种卡车在前10天内的工作量之比为：

2??4??9???50??:?35??:?42???20:20:27．在后15天，由于甲车全部投入使用，所以在后15天里5??7??14??的工作量之比为40:20:27．所以在这25天内，甲的工作量与总工作量之比为：

20?10?40?1532． ?(20?20?27)?10?(40?20?27)?1579 【答案】

23【例 10】 一项工程，甲、乙两队合干需2天，需支付工程款2208元；乙、丙两队合干需3天，需支付

546工程款2400元；甲、丙两队合干需2天，需支付工程款2400元．如果要求总工程款尽量少，

7

32 79应选择哪个工程队？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

2534【解析】 甲、乙一天完成工程的1?2?；乙、丙一天完成工程的1?3?；甲、丙一天完成工程的

512415675741511．所以，甲的工效为(?1?2??)?2?；乙的工效为??；丙的工效为

7201220154124671123甲、乙一天需工程款2208?2?920(元)；乙、丙一天需工程款2400?3?640(元)； ??．

20410546甲、丙一天需工程款2400?2?840(元)．所以，甲一天的工程款为(920?840?640)?2?560(元)；

7乙一天的工程款为920?560?360(元)．丙一天的工程款为840?560?280(元)．单独完成整个工程，甲队需工程款560?4?2240(元)；乙队需工程款360?6?2160(元)；丙队需工程款

280?10?2800(元)．所以应该选择乙队．

【答案】乙队

【巩固】 甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、

11乙两人合作6天完成了工程的，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的，以后三人

43合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】2008年，清华附中

11【解析】 根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为?6?；

318111乙、丙两人的工作效率之和为(1?)??2?；

3412111甲、乙、丙三人的工作效率之和为(1?)?(1?)?5?．

3410分别可求得甲的工作效率为

111117，乙的工作效率为?，丙的工作效率为???1012601860180112111791，则甲完成的工程量为：??6?5??，乙完成的工程量为：??6?2?5??，??1018456060180180丙完成的工程量为：所以，甲应得1800?214119114，三人所完成的工作量之比为:??2?5??:?33:91:56．

45456018045339156?330元，乙应得330??910元，丙应得330??560元．

33?91?563333【答案】甲应得330元，乙应得910元，丙应得560元

【随练1】 为了创建绿色学校，科学俱乐部的同学设计了一个回收食堂的洗菜水来浇花草的水池，要求单独打开进

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