应用类比法学习平面向量的坐标表示和数量积

中学生数学

年 !月上

第

#期

高中%

应用类比法学习平面向量的坐标表示和数量积山东省济南市长清第五中学!

&

齐相国

(

类比法是创新思维的一种重要的形式平,

另外还要注意数学符号的正确书写万71(

,

面向量的坐标运算和数量积运算是平面向量运算的主旋律是学习的重点正确理解平面向量的坐标表示和平面向量的数量积的意义、,,(

是向量的坐标表示,

,

,

1

是点的坐标,

表示不能将向量万的坐标写成万能将点,、

1

,

也不

的坐标写成,

一

,

,

刃

弄清点的坐标与向量的坐标平面向量的数量积与实数乘法的区别和联系是学好这一部分(

二平面向量的数一积可通过以下三方面类比来学习%

的关键一点的坐标与向)坐标的异同向量坐标表示的实质是,、

从物理学角度平面向量的数量积是从,

,

物理做功抽象出来的功定义为一个物体在外力=作用下与所产生的位移>的数量积?>一 2=%一=,

向量的坐标是向

量的代数表示任一平面向量可以用一个有序实数对来表示示一个向量(

+

反过来任一有序实数对就表,

,

#%

Α<

欲通过从力做功情况来看可9

,

即一个平面向量就是一个二元有(

以加深我们对数量积运算律的认识若力增

序实数对点的坐标与向量坐标形式上相同都分为横坐标和纵坐标

倍则功也增大,

,

9

倍而当力反转方向时功要变

,

,

向量的坐标等于表示

该向量的有向线段的终点坐标减去其始点坐标如图所示设,一,,,

号于是有运算律以了

了一久(

万

了,(

+

两个力

,

,

夕, 1,

,

.(

/

刁

,

万0,

.

在同一物体所做的功等于合力所做的功于是有

1

一

一%

,

1

一

分配律万6万

了一万

了6万

(

下

平面向量的数量积万,

了是平面向量、

之间的一种乘法运算它不同于向量的加法(

减法和实数与向量乘积运算

向量的加法减,

、

法和实数与向量乘积运算的结果仍是向量而平面向量的数量积的结果是一个实数可以等向量的坐标表示与表示该向量的有向线段的始点终点的具体位置没有关系,,,、,,(

于正数负数零平面向量的数量积万(

、

、

只与其

万与实数乘法,(

相对位置有关即向量坐标不确定向量的位置只确定它的大小和方

向它的大小为向量,

Χ既有联系又有区别正确区分两者关键是Β以公式万

的长度向量的模一

为 2万 2一 2, . 3 4/

5

仁王不了

至

万一#万 2

#了 2Δ<Β为依据平面向“”

丫

。

一

户 6

1

一1

,

,

量的数量积万,

方向可由该向量,

万中万与了之间的“

乘既不和数“”

,

度崖多寸

。穆协雌

与

轴正方向所成的角来确定,

有二(

。

!

7

能省略不写也不能换为两方面看数量积万,

Ε

”

(

从

“

形

”

!

89夕二一一7卫一一5

,

价

6

犷

早下+(

了

:任

;<

,

了一

%万%

Α%万3<Β

而点的

镇+Φ的几何意义是一个向量的长度乘以另一个向量在该向量所在基线上的正射影+从坐标形式看如设万一Χ一二,/,

坐标只确定点的位置向量的坐标表示,,

使向量运算完全代数,

,

,

1

,

,

了一

,

1

/

,

则万页

化将向量运算转化为代数运算实现了数与(

6

夕% 1

(

下转第#

形的紧密结合

网址

Γ

(

Η

9Ι8

Β<

ΚΦ 9Β

%』Η)

Η<

(

司 (心 (

(

电子信箱

Γ

Λ

Η

9Ι 8

Β<

ΚΦ 9Β

一9

Η )

(

Η9

、

掌学匀的刹充与提高用

中学生数学

年 !月上

第#期《高中Μ

月

别

嘴

法

农

工

场Ν##

的

注衰拥军

盆

事

项

湖南省长沙县实验中学在求函数,

一二望

遥奏号轰(

的值域时同学,

,

域为

二

、一.且#

/

、

,

号%一 1二 .,

们大都将函数转化为关于原函数可化为夕

的二次方程用判的少丈

而

十0%

一&#,

% .

二

%中 2工

别式法求函数的值域解答如下6%/

虽然不能取,

普

但可以取一

扩大了,

的

6,一“’

一夕一

了

十,

一目一Ο

0、

<

,

取值范围+

当然也扩大了+

的取值范围导致

当一

1护

时一劣

一△一Θ,

一

此时原函数无意尸闪 4 4“ 4Π

结论错误 3 3事上一实 5一当#,’

义故一 4Π

,

1夕

、一‘

粤1

+’

了

二

扩%#十2% .#‘2二 1#二共万一升于二一廿诀 4扮书二##共‘&十1%一2 .% 1##6

,’

当一1

1

,0

一

合一

时由%,

,

一1

,

一Ν(

,

6

#

尹一

.,

时

,

一

#

2&7 1

,

一

故这类题不宜采用+

判别式法宜采用反函数法求解+

妻

得

任Ρ,

、

综合上述讨论原函数的值域为但是当一喜时一 !一4一护一意义故上述解答是错误的Μ’

、一

口马

合Π (

少

一

兰

—

一

8‘

士星】

,,,

。,

3孟

3

1石 0<;

一2

,

3

,

才

工

门厂。

—

,

1

,

二

#一

,

一

Ο

此时原函数无 4一4 4一礴、

,

尹一音且 2 5一 5 5二结论求形““如’故 5一>、

.

3

>

护一?厂+

.

一=乙

一

、

沈

一3尸9

,

、

0

:

,

二

3

,

一

‘一

一

了

口右工了一等气一兰上一气Α了<#十Β9

,

,

,

3

、

,

,

、

%的值一护8Α,

3

一

“

7

5

Σ

Σ因错用曰夕

二

由囚

1

了

0

了6

升6于一针了6一01

妥二

6

二0

丁

Ο井 2#一份侄工%一汁/于 6六 6”

十%

止

6

域若函数的分子与分母没有公因式,

,

可以将函

6

#

一/ 6

6一

6

%

十

即(

夕

十,

%

犷

数化为关于#的二次方程利用判别式法求值域若函数的分子与分母有公因式可以将函数(,

6

一11了

一。不是同解变形,Ο

约去公因式然后用反函数法求值域责审周

,

+

尹‘ 6# 6Σ 4 6#上 06下一二认井气一分异宇六一三士影不的曰定义%/一扩6 6 6一十 4 4

春荔%

上接第#

页与实数乘法

实数运算+

向量运算一。

平面向量的数量积万!

一Χ目

一Χ或

万

了一。、万一。

的相同点平面向量的数量积万

与实数万,

或了二,或万土了 )一Δ4二%

乘法#工

均满足交换律和分配律两个向量了,

,

00 0铸8%

万+

簇万万Δ

万

万与两个实数

都适合以下关系式少(

度,雌沙

土十一

%一尹士&#%工一

万

了一了

+

了万尹了%

%一了一犷#

(

一

Ε

户万一了

)#扩

川簇 )#士川簇#

引

(

少一。+!

一,或

一。,

说明

%平面向量的数量积不满足结合 .

平面向量的数量积万

了与实数乘法向量运算

律即万与了

了%

了共了,

了

了%因为万+

+

了

多崖一

的不相同点实数运算

了都是实数而万与了不一定共线%万 2,+

…

)了一%

了一下,

+

了了共万%吞了一了了一了,

,

例如

%

一。

%

】了

%了

厂尹万

当了一万了土了时万+

了一。但推不责审宋华%

出了一万

网址

!

6# !Φ

+

ΙΓΗ司,

=Ι

0Ι<

Κ心Ι

Κ,

+

电子信箱

!

6#ΦΦ

ΙΛΓΗΜ,

=

Ι

一Ι<Κ<

Ι

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fz04.html