2012智轩第二基础基础导学桥 第七章 无穷级数

2012智轩考研数学第二基础导学桥系列---高等数学

325 第七章 无穷级数【数学13AB 】

2012考试内容 (本大纲为数学1，数学2-3需要根据大纲作部分增删) 常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 函数的傅里叶（Fourier ）系数与傅里叶级数 狄利克雷（Dirichlet ）定理 函数在[－l ，l]上的傅里叶级数 函数在[0，l]上的正弦级数和余弦级数

2012考试要求

1. 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2. 掌握几何级数与p 级数的收敛与发散的条件。

3. 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。

6. 了觖函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7. 理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8. 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在

收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10. 掌握,sin ,cos ,ln(1)(1)x e x x x x α++及的麦克劳林（Maclaurin ）展开式，会用它们将一些简单函数间接

展开为幂级数。

11. 了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，

会写出傅里叶级数的和的表达式。

一、三基层面及其拓展

1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1

lim n k n k S u ∞

→∞==∑存在，称级数收敛。 2. 级数的本质：级数就是无限项求和，记为121

n n n u u u u ∞

==++++∑ ，虽然在形式上是用

加法依次连成，但在意义上与有限项求和形式121

m

n m n u u u u ==+++∑ 完全不同。

从有限到无限发生了本质的变化，如级数一般不满足结合律（可任意加括号）和交换律（可任意变换相加顺序），只有当级数收敛时才满足结合律，当级数绝对数收敛时才满足交换

律。所以，无穷级数不能看成是有限项相加，121

n n n u u u u ∞

==++++∑ 只是形式上的记号而

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326

已。

无穷级数的特征就是收敛性，收敛性的定义就是部分和极限存在，只有在收敛时，才能讨论无穷级数的性质。研考数学需要掌握的级数对象分为三类：常数项级数（正项、负项、交错和任意项），函数项级数（只要求掌握幂级数），傅里叶级数。研究常数项级数首先是研究正项级数（又称不变号级数，因为正项级数的全部收敛性质也代表负项级数）分为收敛和发散两种；任意项级数（又称变号级数，包含交错级数）如分为绝对收敛与发散，条件收敛与发散两组，若任意项级数1

n n u ∞=∑收敛，1

n n u ∞=∑发散，则称1

n n u ∞=∑条件收敛，若1

n n u ∞

=∑收敛，则

称级数1

n

n u ∞

=∑绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。任意项级数（如

2

1n

n ∞

=-∑）

加上绝对值后就是正项级数，交错级数（如2

1n

n ∞

=-∑

）是任意项级数的特例，故判别它们的收敛

性，就必须首先考虑其绝对收敛性，这时，所有正项级数的判敛法都能使用。如果任意项级数不绝对收敛，原级数不一定发散，需要用其他方法判别，如对交错级数使用莱布尼茨定理判敛。而其它不绝对收敛的任意项级数类型一般使用拆项法或定义法，更复杂的类型不是考研数学的范畴。级数收敛时，去掉有限个项不影响其收敛性，如去掉奇次项或偶次项（无限次），则会影响收敛性，如1(1)n

n a n

=-，则n a ∑收，2n a ∑发，。

3. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞

=

这是因为部分和 1

1

lim n

n k

n k

n k k S u

S u

S

∞

→∞

===

?=

=∑∑

1111

1

lim lim lim 0n

n k k

k n n k n n k k k k k u u

u S S u S S S S ---→∞

→∞

→∞

==?=

-=-?=-=-=∑∑

4．若有两个级数1

n n u ∞

=∑和1

n n v ∞

=∑，1

1

,n n n n u s v σ∞

∞

====∑∑

则

①1

()n n n u v s σ∞=±=±∑，11n

n n n u v s σ∞

∞==????

?=? ? ?????

∑∑。

②1

n n u ∞

=∑收敛，1

n n v ∞

=∑发散，则1

()n n n u v ∞

=+∑发散。

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327

③若二者都发散，则1

()n n n u v ∞

=+∑不确定，如()1

1

1, 1k k ∞

∞

==-∑∑发散，而()1

110k ∞

=-=∑收敛。

【例1】已知级数()

1

211

1

1

12, 5, n n n n

n n n a a a ∞

∞∞

--===-==∑∑∑求。

解：()()1

2212121

1

1

11

11

==12558n n n

n n n n n n n n n n a a a a a a

∞

∞

∞

∞∞

∞

----======??

+---+=--+=????

∑∑∑∑∑∑

5． 下面三个重要结论及其证明方法具有代表性，请读者反复历练。

证明：

()()()()()()110213211210

1001

()()lim lim lim n

n

n i n n n n n n

n n n n n n n n a

a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a -=---∞

-→∞

→∞

→∞

=-=-+--++-+-=-

-?-=-???

∑∑

收敛

结论。 证明：

221

1

lim 0 1 n

n n n

n n

n n n a

a a a

a a

∞

∞

→∞

==?=?

∑∑ 收敛 收敛

证明：

()

()22

22

22

1

1

1

1

1

1

1

02

1

211, n n n

n

n

n n

n n n n n n n n n n n n n a b a b a

b a

b a b a b b a n

n

n

n

∞

∞

∞

∞

====∞

∞

==≤≤

+?

+?=

?

=

?

∑∑∑∑

∑

∑

和收收收令收令收

二、正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧

1.

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328

11,lim

1,lim 0)1,n n n n n

n l u l l u l μμ+→∞

→+∞

?

=>≠??=??收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）

2.

1,lim

1,1,n n l l l n l μ→∞

=>??

=?收发（当为某次方时）

单独讨论

3.

① 代数式 1

11

1

n n n

n

n n

n n n n u v v u

u v ∞

∞

∞

∞

====≤?

??

∑∑∑∑收敛收敛，发散发散

② 极限式 lim

n n n

u A v →∞

=，其中：1

n

n u ∞

=∑和1

n n v ∞

=∑都是正项级数。

11

1

1

11

1

1

1

1

? 0 ? 0 ? n n n n n

n

n n

n n n n n n n n n

n n n n n n n n

n

n

n

n n n n A u v u v v u

u v

A u v u kv u

v A v u v u u

v v u ∞

∞

∞

∞

====∞

∞

==∞

∞

∞

∞

=====→→

??

≠→→=?=∞?→

?

?∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑是的高阶无穷小收敛收敛，发散发散。

是的同阶无穷小和敛散性相同。

是的高阶无穷小收敛收敛，

发散发散。

●三个常用于比较判敛的参考级数：

a)

b) P 级数：

c) 对数级数：例如，级数 2

1

111

1ln !

ln !

ln ln n

n i n n n n

i

∞

==?

=

>

∑

∑，故2

1ln !

n n ∞

=∑

发散。

●斯特定公式：

329

【例2】 12!lim lim lim n

n n n n n

n n n n n n e

n e e e n n θ-→∞→∞→∞?==→+∞

●常用收敛快慢

正整数

由慢到快

连续型由慢到快

例如根据上面的规律可以快速判断 lim

0n n n a n →

∞=等等。

4若()0f x >，在[)1, +∞上单调递减，则()1n f n ∞=∑与反常积分()1f x dx +∞?同敛散。

5若()11

ln 10,0ln n n n n a a a n αα∞=≥+>>?∑ 收敛。

()1

1ln

10ln 发散n n n

n a a a n ∞=≤

ln ln ln ln ln 1ln ln 当时，原级数收敛。x n n a x n

a n x x x e n

n --=?==

-?->?< ()b ()ln 1ln ln ln ln ln ln 1ln ln ln 21n n n a n n n n

n n ∞=

??==>∑

，原级数收敛。 大收小收，小发大发，同阶同敛散。只有大收小发情形下，比较法才可判敛。

● 判别正项级数收敛的一般思路：先看lim 0n n u →∞

=是否成立，如不成立，则发散，如收敛，则根据级数通项的特点考虑比值法或根值法，如果比值法或根值法的极限不易求出或等于1，则使用比较法或其极限形式。

● 比阶法的极限形式是核心方法，必须熟谙陈氏第17技，否则读者在做题时会糊涂。比较法中最常用的技巧是找到合适的基准级数，主要技巧有3≥

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330

几何平均等常用不等式）

● 凡是由达朗贝尔比值法给出的收敛性结论，由柯西根值法必可以给出相同的结论；反之却不一定。

【例3】设0n a >，{}n a 单调递减，()

11n

n n a ∞

=-∑发散，试证明：111n

n n a ∞

=??

?

+??

∑收敛。

证明：因为0n a >，{}n a 单调递减，则lim n n a →∞

必存在，设lim n n a A →∞

=，

由于()1

1n

n n a ∞

=-∑发散，可推出0lim 00n

a n n a A A >→∞

=≠??

?→>（否则，由莱布尼茨定理判定()

1

1n

n

n a ∞

=-∑必收敛。）

又， {}lim 0, 0,n n n n a A a N n N a A →∞

=>??>>>单调递减使当时，有，

()

()

1

111

0111

111n

n

n n

n

n n n a A a A ∞

∞

==??

?<<

?++??

??

?

?++??

∑

∑为正项级数并收敛收敛

【例4】若12sin lim 1n n

n n n

a →∞

??= ???

，则级数1n n a ∞=∑是否收敛。 解：12sin

12sin

1n n n

n

n n n

a n

a n

→∞

-=

???→，即n a 与12sin

n n

n

-为等价无穷小。

但n 充分大时，由于

2

11n

<，则1sin

3

114

2sin

3222

1110, 原级数收敛。

n

n n

n

n

n n n -??

??≤=≤= ? ???

??

【例

5】讨论1ln 1n

n p n n ∞

=?

?- ?

?

?∑的收敛性。

解：

()32321

2ln ln ln ln ln 1ln 11~

p n o p n p n n o n p n n n n n p

n n p

p n a e

e n

e

n n

???

? ? ? ? ??????

?

????? ?-+ ??

?

??? ?-?? ? ? ???-???

?

?

??

?

??=-===? ??

?

显然1p >收敛。1p ≤发散

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331 【例6】讨论级数()1212n n n ∞

=+-∑

的收敛性。

解：根据达朗贝尔比值法，有

()

()()()11

1212121

lim lim 222121n n n n n n n n +++→∞→∞+-+-??=+-+-极限不存在，无法判断收敛性；

根据柯西根值法，有

()()1

12111lim lim 21, 222n n n n n n n →∞→∞??+-???=+-=????????

原级数收敛。 【例7】R θ∈，试讨论级数的敛散性1cos n n n θ∞

=∑

。

解：

()()111111cos cos 1 cos cos 1lim cos cos 12 1cos 1cos cos 121 n n n n n n n n n n n n k n n k n n n k n n θθθπθθθθθπθθθθπ∞=+∞∞→∞==∞∞==?<→≠??

???===→==?+?

?-?=-→=+=??

∑∑∑∑∑时，绝对收敛；时，发散；时，条件收敛【例8】判别（1）51

4ln n n n ∞

=∑

和（2）11cos n n λ∞=??- ???∑ 的敛散性。

解：(1) 514

ln n n n ∞=∑ 5

41544

1ln ln ln 1lim lim 0< 11

n n n n

n n n n n n n

n →∞→∞∞

===?∑

而发散， 根据只有大收小发才可判敛的原则，无法判断514

ln n n n ∞

=∑

的敛散性； 显然，要想办法让比较极限为零。

故我们另选参考级数

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5

41598489

8

9

1

8

ln ln ln 1lim lim 0< 1

1

n n n n

n n n n n n n n →∞→∞∞

===?∑

而收敛，

根据大收小收，小发大发 ， 5

4

ln lim

n n

n →∞

得收敛。

(2)对 11cos n n λ∞=?

?- ?

?

?∑选比较基准级数2

1

1n n

∞

=∑

22

2

22

12

1cos 2lim

lim 11

2

01cos 0

00

2

n n n n n

n

n

n λλ

λ

λλλ

λ→∞

→∞∞

=-==

??=?

-= ???≠?

≠∑

故原级数收敛。

如能利用同价无穷小等手段估计出级数一般项的阶次，选用的比较基准级数形式就很容易确定。例如

()a

3

2

2

1122

1~

~

1

1

1n n n n u n n n n ∞

=++?

??=

=

+ ?---??

∑

，可直接选用基准级数

3

1

2

1

n n ∞

=∑

就可知原级数收敛。

()

b 3

1

221

0113

n n u x

x

n ∞

=?≤=

≤

=

?

++∑?

，也可选用基准级数3

1

2

1

n n ∞

=∑

就可知

原级数收敛。 ()c 1111111

1n n

n

o n n

n

∞

++=??

?

== ???∑

，选用基准级数11n n

∞

=∑，得原级数发散。

【例9】判别级数1

11

[ln(1)]n n n

∞

=-+∑的敛散性

解 方法一：试探比阶法

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333

12

0001

1

1

ln(1)11ln(1)11lim lim lim

lim 1(1)

()k

k k n x x x k x x n

n x x n x

kx kx x n

--→∞

→→→-+-

-++===+ 2k ?= 上述极限=12

，故原级数收敛。

方法二：泰勒展开法

22222

22221

12

111

111

11ln(1)221

1111

2lim 1 1

222n n n n u o o n n n n n n

n n o n n o n

n n

n

∞

∞

→∞==??????

=

-+

=

-++=+ ? ???????

????+ ???

????

??=?+ ?????????

??∑

∑因为与敛散性相同。

由比阶法知故原级数收敛。

三、任意项级数的敛散性的判据与常用技巧

●

①lim 0n n u →∞

= ②1n n u u +≥?

(1)

n

n

n u ∞

=-∑收敛。

这是一个必要条件，如果①不满足，则0

(1)n

n n u ∞

=-∑必发散，若只有②不满足，则不一定收敛还是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。

● 任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散。 ● 任意项级数判敛的两个重要技巧：

()a 微分积分法。换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质。

()b k 阶无穷小试探法。

在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法，见【例9】。

●变号级数的乘积级数的两个判敛定理

1

n

n a ∞

=∑收敛，且n

b 单调，则1

n

n n a

b ∞

=∑收敛。

1

n

i

i a =∑有界，且n

b 单调趋于0，则1n

n n a

b ∞

=∑收敛。

【例10】设()f x 在[)0, +∞上单调增加有界，求证：()()1

1

n

n n f n f x dx ∞

-=??-????

∑?收敛。

证明：

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334

()()()()()()()()

()()()()

()()()()

1

1

1

1

, 11101 10n n n n n n n

n k f

x dx f n n

f n f f n f n f

x dx f n f n f

x dx f n f n S f k f k f n f ξξξ---==-≤≤?-≤≤?-≤

≤?≤-

≤--=

--=-?????

?

?

∑根据积分中值定理：又：部分和

又题知()f x 在[)0, +∞上单调增加有界，故()lim n f n →∞

存在，则()()1

1n f n f n ∞

=--????∑收敛， 由正项级数的比较法知：()()1

1n

n n f n f x dx ∞

-=??-????

∑?收敛。

【例11】设()f x 在（0，1）内可导，且导数()f x '有界，证明：

（1）1

1

11[(

)()]2

2

n

n n f f ∞

+=-∑绝对收敛 （2）1lim ()2

n

n f →∞

?

证明：（1）'()f x 有界，则?常数M>0'()f x M ?≤ 由拉格朗日中值定理有 '

1

1

1

11111(

)()()22

2

2

2

n

n n

n n f f f M

ε+++-=-

≤

由比较法知 1

111[(

)()]2

2

n

n n f f ∞

+=-∑绝对收敛。

（2）证 11

1

11

11

[(

)()]()()2222

n

n i

i n i s f f f f ++==

-=-∑

lim n n s →? 而1

()2

f 为常数。故1lim (

)2

n

n f →∞

?

【例12

】设1

0,(1)n

n λ∞

=≠-∑的收敛性

解： n →∞ n 比ln n

0→，由莱布尼茨判据知原级数收敛。

又

>

（n 很大时）

1n

=

，故∑

发散。

即原级数条件收敛。

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335

【例13

】讨论(1sin n π∞

=∑的敛散性

解：

(

(

)(

)

(

))

(

)(

)

()

222

sin 1sin 1sin 1sin

~1~1n

n

n

n

n

n n n

π

π

π

π

πλ

=-=-=---

故，原级数条件收敛。

【例14

】判别级数()1

1

( 0n n a a ∞

=->∑的敛散性

解：考查一般项

1

n n u a =-

1

1

1

2

2222

211

11~ln

ln ln 12111111

1

1111 ln ln 22241

1

111ln 42l 由于

组成的级数收敛，故原级数的敛散性由决定；当n

n n

n u a a n

n a o a o n n n n n

n n o a n n n ????

???=-=

=

-

+ ??

??

??

?????

???=

-

-?+=-+?+ ?

? ?????????

????

???+- ? ????

?11n ln 22原级数发散；当原级数收敛。

a a a a ≠

?≠

=

?=

?

【例15】 讨论1

sin n n n

∞

=∑

的敛散性。

解：利用狄利克雷判敛法。

1

1s i n s i n ,

0有界单调趋于

n

n n k a n k b n

==?

=∑

，狄利克雷判敛法知1

sin n n n

∞

=∑

收敛。

又，2

1

1

1

1

sin sin 111cos 22

2

n

n

n

n

k k k k k k k k

k

k

k

====≥

=

-

∑

∑

∑

∑

，发散，故1

sin n n n

∞

=∑

为条件收敛。

【例16】 设()f x 在0x =的某一邻域内具有不为零的二阶连续导数，且0

()lim

x f x x

→=，证明

1

1

()n f n

∞

=∑

绝对收敛。

证明（一）：

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336 00()lim 0(0)lim ()0x x f x f f x x →→=?==

'0()(0

)

(0)l i m 0

0x f x f f x →-==- '''2''2

11

()(0)(0)()()22f x f f x f x f x ξξ=++= 而''()f x 在x=0某邻域内连续，则0M ?>，在某一小邻域内''()f x M ≤ 211

()()2M

f n n ≤ 收，故原命题成立

证明（二）：

'

''

2000()()()1

lim lim lim (0)222x x x f x f x f

x f x x →→→''===

令1

x n =代入上式即得结论。

【例17】 11

(3)(1)(32)n n n n n

n n u n ∞

∞

==-=-+∑∑的敛散性。

解 31

2(32)[1()]3n

n n n n u n n

==++ 命(

)(1)x f x b x =+ 2

3b =

'()1(1l n )1x x f x b x b →+∞=++???→，故'()f x >0，12[1()]

3n n n

u =+单调减少；

由莱布尼茨定理知 1(3)(32)n

n

n n n ∞

=-+∑收敛。 又：1

2n u n >，1

n ∑发，故n u ∑发

∴原级数条件收敛。

【例18】 1(2)[2(1)]n

n

n n n ∞

=-+-∑的敛散性

解： (1)n n u -∑形式中，命21

1

1[2(1)]2[1()]2n n n n n u n n n

==>+-+-发散，绝对不收敛；

显然n u 不单调减少，莱布尼茨判剧失效。

但 lim 0n n u →∞= 原级数不一定发散

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337 折项法 (1)1

[2(1)]n n n n u n n -=-+-

(1)

n n -∑收，11[2(1)]21n n n n <+--，而11

121lim 112

21n n n

+→∞-=<-，收 故原级数条件收敛。

【例19】 已知 lim 0n n nu →∞=，1(1)()n n n u u ++-∑收，证明：n u ∑收 证明：用定义法证明之：

设1(1)()n n n u u ++-∑部分和为n s ，则

2132112111

2()3()(1)()2(1)(1)n n n n n n n s u u u u n u u u u u n u u s n u +++=-+-+++-=----++=--++

n →∞时， 1l i m 0l i m (1)0

n n n n nu n u +→∞→∞=?+= 11lim 2n n s u →∞

=- ， 由级数收敛定义知n u ∑收敛 【例20】 判别下列命题的正误

（1）1n n a ∞

=∑发（n a >0）1

n a n ?≥

()n N ≥

(2) 2121()n n n a a ∞-=+∑收 1

n n a ∞

=?∑收

(3) 1n n a ∞=∑收 21

n n a ∞

=?∑收

(4) lim 0n

n n

u l v →∞=≠ 则n u ∑和n v ∑有相同的敛散性

(5) 11

,n n n n a b ∞∞

==∑∑至少一个发，则()n n a b +∑发

(6) n n a b ∑收22,n n a b ?∑∑均收

(7) 若n a ∑为正项级数，1

1n n n

a a a +

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338

(8) ,,n n n n n w u v w v <<∑∑收n

u ?∑收

解：（1）错误。如反例：2

11n a n n

=

-

；

（2）错误。如反例：()1n n a =-； （3）错误。如反例：()

11n

n a n

=-；

（4）错误。因为只对不变号级数才成立，否则极限可能不唯一，无法判断，见【例10】； （5）正确，反证如下：

因为 , n n n n n n a a b b a b ≤+≤+

()

n n n n a b a b +?∑∑

∑

如收敛和都收敛

，与条件矛盾。

（6）错误，如反例：2

1, 1n n a b n ==；

（7）错误，如反例：1n a n

=

；

（8）正确，证明如下：

因为 0n n n n u w v w <-<-，而：,n n w v ∑∑收敛()()

,n

n n n u

w v w ?--∑∑都收敛，

但 ()n n n n n

u u w w u

=-+?

∑收敛收敛。

【例21】设级数1n n u ∞

=∑收敛，下列必收敛的级数是（ ）。

（A ）()

11n

n n u n

∞

=-∑ （B ）

21n

n u ∞

=∑

（C ）()21

n n n u u ∞

=-∑ （D ）

()11

n

n n u

u ∞

+=+∑

解：（A ）取()

1ln n

n u n

-=

，则命题错误；

（B ）取

1n

n u -=

（C

）取1n

n u -=

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339

（D ） ()1122334111n n n n n n n u u u u u u u u u u u u ∞

+-+=+=+++++++++++∑ ，

112

22n n u u u S ∞

==+=+∑，收敛，

则命题正确。

【例22】设级数1

0n n na ∞

==∑，且()11

n n n n a a ∞

-=-∑收敛，则级数1

n n a ∞

=∑（ ）。

（A ）收敛 （B ） 发散

（C ）不定 （D ） 与n a 有关

解：取()

11

k

k n

n n S n a

a -==

-∑

()()()()()()102132431011101

1

01

1

234 k k k k k k k k k

k

k k

k

k

k k

n n S a a a a a a a a k a a a a a a ka a S

ka S

S

a

S

S

a

a S

--→∞

*-→∞

***-==?=-+-+-+-++-=--++++=--+???→=

???→==

=--∑∑ ，

则命题（A ）正确。

【例23】设函数()f x 在(), -∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）。 ()A 若{}n x 收敛，则(){}n f x 收敛。 ()B 若{}n x 单调，则(){}n f x 收敛。 ()C 若(){}n f x 收敛，则{}n x 收敛。 ()D 若(){}n f x 单调，则{}n x 收敛。 解： 因为()f x 在(), -∞+∞内单调有界，如{}n x 单调，则(){}n f x 单调有界，故(){}n f x 收敛。 ()B 正确。

【例24】举例说明： 1）级数条件收敛?结合性成立，交换性不一定成立，如级数不收敛， 则

结合性和交换性都不一定成立。

2）级数绝对收敛?结合性成立，交换性也成立。

解：1）如

1

1

(1)n n ∞

+=-∑发散，

而 1

(11)

(11)(11)0n n n n

∞

=--+-++

-+==

∑

，故收

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340

()

()

1

1

1

1

(1-1+1)-(1-1+1)++11n n n n n n n

n

∞

∞

++==-+=

-=

-∑∑ 结果可能为1或零，故发散。

2）又如1

1

1(1)

n n n

∞

+=-∑条件收敛，1

1

1lim (1)n n n n s s n

∞

+→∞

===

-∑

但交换位置后 111111

1

1(1)(

)(

)2

4

3

6

8

21

42

4n n n -

-

+-

-

++-

-+--

()'

1

1

1

1

1

111111(

)(

)

214242122141

1

11

11 (

)(1)

2

21

22

2

n

n n n

n n n

k n s n n n n n n

s s n n

n ∞

∞

==∞

+===

-

-

=

--

----=

-=

-=

≠-∑

∑

∑∑

故交换律不成立。

四、幂级数 00

()n n n a x x ∞

=-∑

1．阿贝尔（Abel ）定理

如果级数0

n

n n a x ∞

=∑当2

0001

0, =00n

n x x x x a

x ∞

=?

?=≠?

= ?

??

∑因为显然收敛点收敛，则级数在圆

域0x x <内绝对收敛；如果级数0

n n n a x ∞=∑当1 x x =点发散，则级数在圆域1x x >外发散。由阿贝尔（Abel ）定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是引入幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。注意，除()00 0x x x =≠外，该定理并没有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝尔定理是学好幂级数的关键。如

推论：如果0

n n n a x ∞

=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确

定的正数R 存在，使得：

1

n

n n x R x R x R x R R a x ∞

=<>==-∑当 时，幂级数绝对收敛；当 时，幂级数发散；

当 与时，幂级数可能收敛，也可能发散，我们称为的收敛半径。

如果所给级数为()()0

0n

n n a x a a ∞

=-≠∑在()00 x x x a =≠点收敛，则相当于0

n n n a t ∞

=∑在0t x a

=-处为常数项级数收敛，显然

n

n

n a

t

∞

=∑的收敛半径0

R x a ≤-。如果所给级数为(

)

()0

0n

n

n a x a a ∞

=-

≠∑在()11 x x x a =≠点发散，则相当于0

n

n n a t

∞

=∑在1t x a =-处为常数项级数发

散，显然0

n n n a t ∞

=∑的收敛半径1R x a ≤-。参见例26、例27和例28。

2012智轩考研数学第二基础导学桥系列---高等数学

341

2．幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域 已知00()n n n a x x ∞

=-∑

，若1lim

lim

n n n n

a a ρρ+→∞

→∞

==或

1000+1

1

lim

1=lim

n n n n n

n a a x x x x x x R a a ρρ

+→∞

→∞

-=-

=收敛收敛。

●收敛半径R ：11lim , 000, n

n n a a R R R x ρρρρ→∞+?=≠???

==+∞???=?==+∞???

全平面收敛, =0只有一个收敛点。

●收敛区间()00, x R x R -+：级数在()000, x x R x x R x R -

间是非空点集，对00

()n

n n a x x ∞

=-∑至少在0x x =处收敛，对0

n n n a x ∞

=∑至少在0x =处收敛。由阿贝

尔定理可以推出：幂级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点。

●收敛域：由于级数在收敛区间的端点上（收敛半径R 上）收敛性待定，故收敛域是

()00, x R x R -+、[)00, x R x R -+、(]00, x R x R -+或[]00, x R x R -+四种情况之一。

3．在收敛区域内的性质

(1)

0n

n

n a

x

∞

=∑的和函数()f x 连续并有任意阶导数；

(2)

0n ∞

=∑可逐项微分

1

1'()()n

n n n

n n f x a x na

x

∞

∞

-=='==

∑∑

(3)

n ∞

=∑

可逐项积分

1

()()1x x

n

n n

n n n a f x dx a x dx x n ∞

∞

+===

=

+∑

∑?

?

(4)

关于()0或x x x -的幂级数，乘以或除以一个常数或关于()0或x x x -函数（保证指数不小于0），则收敛域不变；对幂级数求导或积分收敛区间不变，但求导或积分会改变收敛区间端点的

敛散性，故需要单独验证端点的敛散性。例如求11

2

n n

n x

n -∞

=∑

的收敛域。

1

1

11

1

1

1111

2

2

2

22221乘以求导

乘以2

整体变换

n n n

n n n x

n

n

n

n n n n n n x

x

x

x x x n n ----∞

∞

∞

∞

∞

∞

======??

???????→

???→

=???→????→ ? ? ???

????

∑

∑∑

∑∑∑

2012智轩考研数学第二基础导学桥系列---高等数学

342

12n

n x ∞

=?? ?

??∑的形式与1n n u ∞=∑相同，而1

n n u ∞=∑的收敛区域为()11， -，故12n

n x ∞

=?? ?

??∑的收敛区域为

()()11222

， ， x x ∈-?∈-。

再验证端点，()

()

111

1

1

1

111

1

222

2

2

2

收敛；发散。

n

n

n n n

n

n n n n x

x

x x n n

n n

--∞

∞

∞

∞

====--=-?

=-

?=?

=

?∑

∑∑

∑

所以，原级数的收敛域为[)2， 2-。 4．10个标准泰勒幂级数

)

)

]

)

]

2012智轩考研数学第二基础导学桥系列---高等数学

343

5. 幂级数及其求和方法 ● 函数项级数求和方法

一般先求收敛域，然后逐次积分或微分，利用上述10各泰勒级数结论进行零部件组装。 ● 数项级数求和方法

构造辅助幂级数法。

【例25】已知级数()

1

n

n x a n

∞

=-∑

在2x =收敛，试确定a 的取值范围。

解：()

1

n

n x a n

∞

=-∑

的收敛半径为：1

lim

111

n n

R n →∞

==+

()

121111 12113

n

n x x a a x a n a a a ∞==??-?-

???

????→-≤<+?

<≤

∑ 收敛

收敛域为：收敛，故左边取等号 【例26】设幂级数()

()0

1ln 2n

n x a n ∞

=-+∑

在1

2

x =-条件收敛，证明：幂级数()

()2

1

2n

n x a n ∞

=-+∑

在214

x =

发散。

解： 显然两个级数有相同的收敛半径1R =。且收敛区间的中点相同，都为0x a =。

因为()

()0

1ln 2n

n x a n ∞

=-+∑

在1

2

x =-条件收敛，根据阿贝尔定理：绝对收敛区间为

2131a a --

()

()

()

()

2

1112, 01

3314, 22n

n a x x x a a x x n ∞

=?=-→+<→∈-?-??=-→?+<→∈--+??∑

而214

x =

不在收敛域内，故幂级数()

()2

1

2n

n x a n ∞

=-+∑

在2

14

x =

发散。

【例27】设幂级数()0

1n

n n a x ∞

=+∑在2x =-时条件收敛，则在2x =处的收敛性如何？

解：()0

1n

n n a x ∞

=+∑在2x =-时条件收敛，相当于0

n n n a t ∞

=∑在1t =-条件收敛，

2012智轩考研数学第二基础导学桥系列---高等数学

344

又由阿贝尔定理知：对应的级数0n n n a t ∞

=∑的收敛半径为1

1

lim

1n n n a R a ρ

→∞

+=

==，

而()0

1n

n n a x ∞

=+∑的收敛半径与0

n n n a t ∞

=∑相等，故收敛区间为 1120x x +

2x =不在收敛区间内，故发散。

【例28】已知幂级数()0

2n

n n a x ∞

=+∑在0x =处收敛，则在4x =-处发散，求幂级数()

2n

n n a x ∞

=+∑的收敛性域。

解：幂级数()0

2n

n n a x ∞

=+∑在0x =处收敛，相当于0

n n n a t ∞

=∑在2t =收敛，

由阿贝尔定理知：0

n n n a t ∞

=∑的收敛半径为2R ≥；

幂级数()0

2n

n n a x ∞

=+∑在4x =-处发散，相当于0

n n n a t ∞

=∑在2t =-处发散，

由阿贝尔定理知：对应的级数0

n n n a t ∞

=∑的收敛半径为2R ≤，

所以，0n n n a t ∞

=∑收敛半径也1R =；收敛区域为(]2, 2-。

要使()0

2n

n n a x ∞

=+∑收敛，则必须满足：2225x x -<+≤?<≤得其收敛域为 1。

【例29】设幂级数()

1n

n n a x ∞

=-∑在3x =时条件收敛，则2

112n

n n a n ∞

=?

?+ ?

??∑的收敛性如何？

解：()0

1n

n n a x ∞

=-∑对应的级数0

n n n a x ∞

=∑的收敛半径为03312R x =-=-=。

2

2

1111lim 1 1112222n

n n

n

n

n

n n

n a a n n n n →∞?

????

??

?+=+?+<

?+< ? ? ?

?

??

???

??

?而是单调增加的

而1

n

n

n a ∞

=∑是相当于幂级数()

1

1n

n n a x ∞

=-∑

在1x =

处的)

1

11n

n n a ∞

=?

?

-??

∑正数项级数

形式，又因为()11, 3x =∈-

，故1

n

n

n a ∞

=∑绝对收敛，因此2

112n

n n a n ∞

=??+

???

∑收敛。

2012智轩考研数学第二基础导学桥系列---高等数学

345

【例30】设幂级数()0

1n

n n a x ∞

=+∑在1x =处收敛，则(

)()0

10n

n a b ∞

=->∑的收敛性如何？

解：()0

1n

n n a x ∞

=+∑在1x =处收敛0

2lim 2lim

012

n n

n n n n n n n

a a a ∞

→∞

→∞

=?

??????→==∑

由收敛的必要条件收敛

()1

1

12l i 11 n n n n n

n n n a o a a ∞

=∞

→∞

=??

????→=?

???

=?-

∑

∑极限脱帽法

收敛。

而级数绝对收敛。

收敛区间和收敛半径的进阶

1．将级数拆分成为多个，然后分别求出收敛区间，然后取交集。 例如：求级数2

n

n

n n x

+∞

=-∞∑

的收敛区间。

解：把

2

n

n

n n x

+∞

=-∞

∑

拆分成1

2

n

n

n n x +∞

=∑

和1

2

n

n

n n x

+∞

-=-∑

1

1

1

2

lim

122

2

2

n n

n

n

n n

n n

n x x n x x n x

++∞

→+∞

=+?=

收敛

1

1

1112lim

12

22

2

n n

n

n

n n

n n n x

n x

x n x

x

--+∞

-→+∞

-=+-

-?=

>?>

-∑

收敛

故原级数收敛区间为1

22

x <<。但由于原级数不是泰勒级数（出现了负幂项）

，故不存在收敛半径问题。

2．判断收敛半径就不能拆分，一般使用柯西求上极限

1R

=，或使用达朗贝尔求得

1

lim

n n n a R a →∞

+=

例如：求()2

1

31n

n n x n

∞

=??

+-??∑

的收敛半径。 解：

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