高等代数(北大版第三版)习题答案II

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高等代数（北大第三版）答案

目录

第一章 多项式 第二章 行列式 第三章 线性方程组 第四章 矩阵 第五章 二次型 第六章 线性空间 第七章 线性变换 第八章 —矩阵

第九章 欧氏空间

第十章 双线性函数与辛空间

注：

答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！

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12．设A为一个n级实对称矩阵，且A 0，证明：必存在实n维向量X 0，使

X AX 0。

证 因为A 0，于是A 0，所以rank A n，且A不是正定矩阵。故必存在非退化线性替换X CY使

1

AX Y C 1ACY Y BY X

y1 y2 yp yp 1 yp 2 yn，

1

且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在Z CY中，令y1 y2 yp

2

2

2

2

2

2

0,yp 1 yp 2 yn 1,则可得一线性方程组

c11x1 c12x2 c1nxn 0 cp1x1 cp2x2 cpnxn 0

，

cp 1,1x1 cp 1,2x2 cp 1,nxn 1 cn1x1 cn2x2 cnnxn 1

由于C 0，故可得唯一组非零解Xs x1s,x2s, ,xns 使

AXs 0 0 0 1 1 1 n p 0， Xs

即证存在X 0，使X AX 0。

13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：A B也是正定矩阵。 证 因为A,B为正定矩阵，所以X AX,X BX为正定二次型，且 X AX 0， X BX 0，

因此

AX X BX 0， X A B X X

于是X A B X必为正定二次型，从而A B为正定矩阵。

14．证明：二次型f x1,x2, ,xn 是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。 证 必要性。采用反证法。若正惯性指数p 秩r，则p r。即

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f x1,x2, ,xn y1 y2 yp yp 1 yr，

2

2

2

2

2

若令

y1 y2 yp 0，yp 1 yr 1，

则可得非零解 x1,x2, ,xn 使f x1,x2, ,xn 0。这与所给条件f x1,x2, ,xn

0矛盾，故p r。

充分性。由p r，知

f x1,x2, ,xn y1 y2 yp，

2

2

2

故有f x1,x2, ,xn 0，即证二次型半正定。

n 2

15．证明：n xi xi 是半正定的。

i 1 i 1 n 2

证 n xi xi

i 1 i 1

nx1 x2 xn

n

2

n

2

222

x

2122 x2 xn 2x1x2 2x1xn 2x2x3 2x2xn 2xn 1xn

n 1 x1 x2 xn （2x1x2 2x1xn 2x2x3

2

2

2

2x2xn 2xn 1xn）

x1 2x1x2 x2 x1 2x1x3 x3 xn 1 2xn 1xn xn

22

22

22

可见：

1 i j n

x

i

xj 。

2

1） 当x1,x2, ,xn不全相等时 f x1,x2, ,xn 2） 当x1 x2 xn时 f x1,x2, ,xn

1 i j n

x x

i

xj 0。

2

i

xj 0。

2

1 i j n

故原二次型f x1,x2, ,xn 是半正定的。

AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使 16．设f x1,x2, ,xn X

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AX 0， X2 AX2 0。 X1

AX0 0。 证明：必存在实n维向量X0 0使X0

设A的秩为r，作非退化线性替换X CY将原二次型化为标准型 X AX d1y1 d2y2 dryr， 其中dr为1或-1。由已知，必存在两个向量X1,X2使

2

2

2

AX1 0 和 X2 AX2 0， X1

故标准型中的系数d1, ,dr不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有p个1，q个-1， 且p q r，即

AX y1 yp yp 1 yp q， X

这时p与q存在三种可能：

p q， p q， p q 下面仅讨论p q的情形，其他类似可证。

令y1 yq 1， yq 1 yp 0， yp 1 yp q 1， 则由Z CY可求得非零向量X0使

2222

AX0 y1 yp yp 1 yp q 0， X0

即证。

17．A是一个实矩阵，证明：

rank A A rank A 。

证 由于rank A rank A A 的充分条件是AX 0与A AX 0为同解方程组，故只要证明AX 0与A AX 0同解即可。事实上

AX 0 A AX 0 X A AX 0 AX AX 0 AX 0， 即证AX 0与A AX 0同解，故

rank A A rank A 。

注 该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。

2222

一、 补充题参考解答

1． 用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果： 1）x1x2n x2x2n 1 x2x2n 1 xnxn 1；

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2）x1x2 x2x3 xn 1xn； 3）

x

i 1n

n

2i

1 i j n

2

xx

i

j

；

4）

x

i 1

i

x，其中x

x1 x2 xn

。

n

解 1）作非退化线性替换

x1 y1 y2n x y y

22n 1 2

xn yn yn 1

，

x y ynn 1 n 1

x2n 1 y2 y2n 1 x y y

12n 2n

即X TY，则原二次型的标准形为

f y1 y2 yn yn 1 y2n 1 y2n， 且替换矩阵

2

2

2

2

2

2

1 0

T

0 1

使

1

110

11

， 1 1

1 10 00 1

00

1 1

， T AT

1

1

其中

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A

1 2

2）若

y1 则

12

12

1 2 。

x1 x2 x3x x2 x3

， y2 1，

22

y1 y2 y1 y2 y1 y2

2

2

x1x2 x2x3， 于是当n为奇数时，作变换

xi xi 1 xi 2

y i

2

x xi 1 xi 2

yi 1 i i 1,3,5, ,n 2 ，

2

yn xn

则

x1x2 x2x3 xn 1xn y1 y2 y3 y4 yn 2 yn 1， 且当n 4k 1时，得非退化替换矩阵为

2

2

2

2

2

2

11 1 1 1 11

0 000 1 10

11 11 1

T 1 1 000 ，

1 10

1

当n 4k 3时，得非退化替换矩阵为

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1 1 11 1 1 1

0 000 1 10

11 1 11

T 1 1 000 ，

1 10

1

故当n为奇数时，都有

1

1 1

1

T AT 。

1

1

0

当n为偶数时，作非退化线性替换

xi xi 1 xi 2

y i

2

y xi xi 1 xi 2 i 12

i 1,3,5, ,n 3 ，

x xn y n 1

n 1 2 x xn yn n 1

2

则

x1x2 x2x3 xn 1xn y1 y2 y3 y4 yn 1 yn， 于是当n 4k时，得非退化替换矩阵为

2

2

2

2

2

2

11 1 1 1 1 1 100 00 11 11

T 1 1 00 ，

11

1 1

于是当n 4k 2时，得非退化替换矩阵为

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1 11 1 1 1

0 00 1 10

11 1 1

T 1 1 00 ，

11

1 1

故当n为偶数时，都有

1

1 1

T AT 1 。

1

1

3） 由配方法可得

2

2

1n3 1n

f x1 xj x2 xj

2j 2 4 3j 3

n1 n 12

xn 1 xn xn，

2n 1 n 2n

于是可令

2

1n

y1 x1 2 xj

j 2

1n

y2 x2 xj

3j 3

，

1 yn 1 xn 1 xn

n

yn xn

则非退化的线性替换为

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1111

x y y y y yn123n 1 1

23n 1n

x y 1y 1y 1y

23n 1n

23n 1n

，

1 xn 1 yn 1 yn

n

xn yn

且原二次型的标准形为 f y1 相应的替换矩阵为

2

32nn 122y2 yn yn， 142n 12n

1 1

2

01

T 00

00 00

又因为

111

3n 1n 111 3n 1n

11 ，

1

n 1n

1

0 1

n

0 01

111

1 222 111 1 222

A ，

111

1

222 111 1

2 22

所以

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0 100

3

0 0 04

004 0 6 T AT

0 0 0 。

4） 令 则

由于

则

000 n0

2n 1 n 1

000 0n

y1 x1 x

y2 x2 x ，

yn 1 xn 1 x

yn xn

n

x1 2y1

yi

i 2

n

x2 y1 2y2 yi

i 3 。

n 2

xn 1 yi 2yn 1 yn i 1 xn

y

n

nn

yi

xi

n 1 x x，

i 1

i 1

n 1

2

2

y2

i n y n 1

n 1原式2

n yi yi yi

i 1i 1i 1 i 1

2 n 1 y2 i i 1 yiyj i j n 1

1

2 2

32n2

z1

4z 2n 1z 2 n 1

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2z2

31

2z2 n2

2 n 1

zn 1， 其中所作非退化的线性替换为

y1111

z1 z z zn 1

2233n 1

y z 1 223z3 14z4 1n 1z

n 1

，

yn 1

z

n 1

yn zn

故非退化的替换矩阵为

1 211 11

1 13 10

121 11 2 1n 1 1 0

112 11 01

3n T 01 1

1

0

0 111 21 n 1

000 01

000 10

000 01

20 13

0

01 0 01 2 14 1 01

。 2 3

011 n1 23n 1

000 01

又

x1 x

n

2

x

xx,x,x x x

i

x

1 2 x, n x

i 1

2

xn x

n 1

1 n

1 n n 1 1

1

n n1 x1,x2, ,xx 1n

1n n1 n

n n nn 1 n 1n n 1

1n

n 1n

1 n x1 1 n x 2 n 1 x

n n

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n 1 n 1

x1,x2, ,xx n

1 n

Z AZ， 所以

1nn 1n 1 n 1

x n 1 1

x2

n

xn n 1 n

00 200

3

0 00 02

4 00 00 TAT 。 3

n000 0

n 1

000 00

2． 设实二次型

f x1,x2, ,xn

a

i 1

s

i11

x ai2x2 ainxn ，

2

证明：f x1,x2, ,xn 的秩等于矩阵

a11

a21

A

a s1

的秩。

证 设rank A r，因

a12 a1n

a22 a2n

as2 asn

f x1,x2, ,xn X A A X，

下面只需证明rank A r即可。由于rank A rank A ，故存在非退化矩阵P,Q使 PA Q 0

从而

PA AP 令

Er

0 Er

PA 或 00 Er

0

0 1 1 QQ 0

E

0

0 1

Q， 0 0 ， 0

r

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Q则

1

B Q D

1

r

C

， M C Er M 0

0 Br

0 0

r

Er

PA AP 0

由于Q

1

1

0 Br 0 D0

。 0

Q 是正定的，因此它的r级顺序主子式B

0，从而A A的秩为r。

即证rank A rank A A 。 3． 设

f x1,x2, ,xn l1 l2 lp lp 1 lp q。

2

2

2

2

2

其中li i 1,2, ,p q 是x1,x2, ,xn的一次齐次式，证明：f x1,x2, ,xn 的正惯性指数 p，负惯性指数 q。

证 设 li bi1x1 bi2x2 binxn i 1,2, ,p q ，

f x1,x2, ,xn 的正惯性指数为s，秩为r，则存在非退化线性替换

yi ci1x1 ci2x2 cinxn i 1,2, ,n ， 使得

f x1,x2, ,xn l1 l2 lp lp 1 lp q

2

2

2

2

2

y1 ys ys 1 yr。 下面证明s p。采用反证法。设s p，考虑线性方程组

2222

b11x1 b1nxn 0

bp1x1 bpnxn 0

，

cx cx 0s 1,nn s 1,11

cn1x1 cnnxn 0

该方程组含p n s个方程，小于未知量的个数n，故它必有非零解 a1,a2, ,an ，于是 f a1,a2, ,an lp 1 lp q y1 ys，

2

2

2

2

上式要成立，必有

lp 1 lp q 0， y1 ys 0，

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这就是说，对于x1 a1,x2 a2, ,xn an这组非零数，有 y1 0，y2 0,

,

yn 0 ，

这与线性替换Y CX的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以 s p。

同理可证负惯性指数r s p，即证。 4． 设

A A

A11

12 AA 2122

是一对称矩阵，且A 0，证明：存在T E

X11

0

E 使 T AT A 11

0个级数与A22相同的矩阵。

证 只要令T

E0

AA 1

E ，则 E A 1

11A12 ，

2111 T 0E

注意到

A ， A 1

12 A21

11 A

1

11，

则有

T AT

E0A 12

A 1 A21A 1

11E A 11

A E

21A22 11A12

0E

AA 11

12

A 1

11A12

0 A 1 E

21A11A12 A22 0E

A11

0 0 。

即证。

5． 设A是反对称矩阵，证明：A合同于矩阵

01 10 01

10 。

0

0

0

，其中 表示一

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证 采用归纳法。当n 1时，A 0 合同于 0 ，结论成立。下面设A为非零反对称矩阵。

当n 2时

0

A a

12

故A与

1

a12 第2行乘a12 01 1 ， 0 10第2列乘a 12

01

合同，结论成立。

10

假设n k时结论成立，今考察n k 1的情形。这时

0

A

a1k a 1,k 1

a1k 0

ak,k 1

a1,k 1

，

ak,k 1

0

1ak,k 1

如果最后一行（列）元素全为零，则由归纳假设，结论已证。若不然，经过行列的同时对换，不妨设ak,k 1 0，并将最后一行和最后一列都乘以

，则A可化成

0

a 1k b 1

a1k

b1

， 01

10

再将最后两行两列的其他非零元bi,aik i 1,2, ,k 化成零，则有

0

b1,k 1

0 0

由归纳假设知

b1,k 1

000

0 00 ，

01 10

0 1 0 b1,k 1

10

与 b 0 1,k 1

合同，从而A合同于矩阵

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01 10

01

，

10

0

01 10

再对上面矩阵作行交换和列交换，便知结论对k 1级矩阵也成立，即证。

6． 设A是n阶实对称矩阵，证明：存在一正实数c，使对任一个实n维向量X都有

AX cX X。 X

证 因为

AX X

令a maxaij，则

i,j

a

i,j

ij

xixj aij

i,j

xixj，

X AX a

x

i,j

i

xj

。

利用xixj

xi2 x2j

2

可得

AX a X

i,j

xi2 x2j

2

an xi2 cX X，

i

其中c an，即证。

7．主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。

1）设A是一对称矩阵，T为特殊上三角矩阵，而B T AT，证明：A与B的对应顺序主子式有相同的值；

2）证明：如果对称矩阵A的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵T使T AT成对角形；

3）利用以上结果证明：如果矩阵A的顺序主子式全大于零，则X AX是正定二次型。 证 1）采用归纳法。当n 2时，设

a11

A a

21

则

B T AT b

a12 1b T ， 01 ， a22

a12 1b a11

。 a22 01

10 a11

1 a21

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考虑B的两个顺序主子式：B的一阶顺序主子式为a11，而二阶顺序主子式为 B T A 1 A 1 A， 与A的各阶顺序主子式相同，故此时结论成立。

归纳假设结论对n 1阶矩阵成立，今考察n阶矩阵，将A,T写成分块矩阵

T 0

Tn 1

An 1

A ， 1

， ann

其中Tn 1为特殊上三角矩阵。于是

Tn 1

B

0 An 1

1 Tn 1

ann 01

Tn 1An 1Tn 1

Bn 1

。

由归纳假设，B的一切 n 1阶的顺序主子式，即Bn 1 Tn 1An 1Tn 1的顺序主子式与An 1的顺序主子式有相同的值，而B的n阶顺序主子式就是B，由 B AT 1 A 1 A，

知B的n阶顺序主子式也与A的n阶顺序主子式相等，即证。

2）设n阶对称矩阵A aij，因a11 0，同时对A的第一行和第一列进行相同的第三种初等变换，可以化成对称矩阵

a110

0b22

A

0b

n2

于是由1）知

0

b2n a11

0

bnn

0

， Bn 1

a11

00

0，从而b22 0，再对Bn 1进行类似的初等变换，使矩阵A1的b22

第二行和第二列中除b22外其余都化成零；如此继续下去，经过若干次行列同时进行的第三种初等变换，便可以将A化成对角形

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1

2

B。

n

由于每进行一次行、列的第三种初等变换，相当于右乘一个上三角形阵Ti，左乘一个下三角形阵Ti ，而上三角形阵之积仍为上三角形阵，故存在T T1,T2, ,Ts，使T AT B，命题得证。

3）由2）知，存在T使

1

2

T AT B。

n

又由1）知B的所有顺序主子式与A的所有顺序主子式有相同的值，故

1 a11 0， 所以 2 0。

1

2

a11a12

a12a22

0，

1

2

a11 a1i

0，

i

所以

ai1 aii

i 0 i 1,2, ,n ，

因X TY是非退化线性替换，且

AX Y T ATY 1y1 2y2 nyn， X

由于 1, 2, , n都大于零，故X AX是正定的。 8。证明：1）如果 是正定二次型，那么

222

a

i 1j 1

nn

ij

xixj aij aji

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a11

f y1,y2, ,yn

a12 y2

a1n

yn

y1y2 yn0

a21an1y1

a22 a2nan2 ann

是负定二次型；

2）如果A是正定矩阵，那么 A annPn 1， 这里Pn 1是A的n 1阶顺序主子式； 3）如果A是正定矩阵，那么

A a11a22 ann。 4）如果T tij是n阶实可逆矩阵，那么 2

22

t12i t2i tni。 i 1n

证 1）作变换Y AZ，即

y1 a11

y2 a21

y a n n1

则

a12a22 an2

a1n z1

a2n z2

， ann zn

00

y1z1 ynzn

a11 a1n

f y1,y2, ,yn

an1 anny1

yn

A y1z1 ynzn AY Z AZ A Z AZ AZ。

因为A是正定矩阵，所以f y1,y2, ,yn 是负定二次型。

2）A为正定矩阵，故Pn 1对应的n 1阶矩阵也是正定矩阵，由1）知

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fyui.html