数学选修2-3(排列组合二项式定理)练习题

篇一：第十三章 排列组合及二项式定理习题及答案

第十三章 排列组合二项式定理

复习题及答案

一、概念：分类加法计数原理分步乘法计数原理 排列 组合 排列数公式Anm?n?n?1??n?2???n?m?1??

m

n!

?n?m?!

组合数公式C

mn

?

AnA

mm

?

n!m!??n?m?!

排列数性质：①Ann?n! ②0!?1

组合数性质：①Cn0?1 ②Cnm?Cnn?m③Cnm?Cnm?1?Cnm?1 二、应用：

1. 把3本书放到4个抽屉中，不同的放法有▁▁▁种. 答案：43=64 .

2. 中国、美国、古巴、日本举行四国女排邀请赛，每个国家都有得冠亚军的可能，但冠军

均不能并列，则得冠亚军的所有不同情况共有▁▁种.

答案：А

24

=12 .

3. 某班有3名学生准备参加校运动会的百米、二百米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生参赛的不同方法有▁▁▁种.

答案:А

34

=24

4. 从1、3、5、10、20这五个数中任选两个相加，则可得不同的和数▁▁▁个.能得到不同

的和▁▁个.

答案:С

25

=10С5+С

5

45

+С5+С

3

25

+С5=31

1

5. 有6个排球队，举行单循环比赛.则比赛的场数有▁▁. 答案: С

26

=15

6. 有10个人两两碰杯，共碰杯▁▁▁次.

答案: С

210

=45 .

7. 用1元、2元、5元、10元人民币各一张，能组成不同的币值▁▁▁种.

答案: С

14

+С

24

+С

34

+С

44

=15

8. 正十二边形共有▁▁▁条对角线.

答案: С

212

-12=54 减去12个顺次相连不成对角线.

9. 用1、2、3、4、5五个数可以组成不充许数字重复的自然数▁▁个.

答案:А15+А25+А3+А54

5+А5=325 5

10. 用1、2、3、4、5五个不同的数组成不许重复的三位数为▁▁.充许重复的三位数为▁答案: А3=6053=125 5

11. 在三位正整数中0的个数共▁▁▁个.

答案: 分为三类:一类含两个零有100、200、···900共18个二类十位为0而个位不为

0有9×9=81. 如101、102、···109、201、202、···909三类十位不为0而个位为0的有9×9=81 合计有18+81+81=180

12. 数72有多少个正约数?.其中正偶数有多少个?

答案：72=23×32 约数2r×3x其中2的指数有0、1、2、3四种取法，3的指数有0、1、2三种取法共有4×3=12种.偶约数2的指数有1、2、3三种取法共有3×3=9种

13. 现有男学生8名，女学生2名，要从中选4人组成一个学习小组，必须有女学生参加的

选法种数是▁▁▁.

答案：С

12

3

·С8+С

2

2

·С

28

=112+28=140

14. 要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗小组，如果医疗小组中男.女医生均

不少于2人，则不同的选法种数是▁▁. 答案：С

2

8

·С

37

+С8·С

3

27

=2156

15. 直线a∥b，a上有5个点，b上有4个点.以这9个点为顶点，可组成不同三角形个

数▁▁▁个.

答案：С

25

·С5+С5·С

11

24

=70.

16. 除点O外，在∠AOB的边OA上另有5点，边OB上另有4点，以含点O在内的10

个点为顶点，可以组成多少不同的三角形.

答案：① С

2310

-С6-С5=90. OA中6取3. OB中5取3在一条直线上

14

33

② С5·С

+С5·С

1

24

+С5·С

1

14

=90 OA、OB有一个和两个点及O

17. 在10名学生中有6名男学生，4名女学生，要从中选5名参加义务劳动，女学生至多有

2名的选法有▁▁▁种.

答案：С

4

·С6+С

5

14

·С

46

+С

24

·С6=186

3

18. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教?每地1人?，其中甲和乙不同

去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有▁▁▁种. 答案：甲去则乙不去丙去有С

2

5

·А

44

甲不去则丙不去有С

46

·А

44

共有

240+360=600

19. 安排7位工作人员在5月1日至5月7 日值班，其中甲乙二人都不安排在5月1日和

2 日，不同的安排方法共有▁▁▁▁种.

答案：甲乙两人不在1日和2日有А有А

2

5

25种方法，其余5人在剩下的5天中安排一天有А5 共5

·А5=240 5

20.电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定

一名幸运之星，再从两信箱中确定一名幸运伙伴，有＿＿＿＿种不同的结果.

答案：28800 分两类：①幸运之星在甲信箱中抽，先定幸运之星，再在两信箱中各定幸运伙伴有30?29?20?17400种结果②幸运之星在乙信箱中抽，同理有

20?19?30?11400种结果.因此，共有不同结果17400?11400?28800种

21. 某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有（ ） А. 35 B. 70С. 210D. 105

答案：B. 从7人中选出3人有C73?35种情况，再对选出的3人调整座位有2种情况

3

有2C7?70

22. 要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若男生选取

同的选法种数▁▁▁种. 答案：男10名女5名 С

410

23

，剩余选女生，则不

·С

25

=2100

23. 将5名实习生教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 ( ) А. 30种 B. 90种 С. 180种 D. 270种

答案：分下列4步：① 三个班中桃一个班得一名教师有С3种

② 5个教师中选一人进这个班有С5种

③从剩下的4名教师中再选2人进第二个班有С4种 ④ 最后剩下的2名教师进第三个班有С2种

由分步计数原理共有С3·С5·С

1

1

11

2

2

24

·С

22

=90种

24. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2

个，则该外商不同的投资方案有()А. 16种 в.36种 С.42种 D.60种

答案：分两类① 三个项目分别在三个城市内有А

②三个项目分别在两个城市内有С

23

34

种

24

·А 共有24+36=60种

25.正六边形ABCDEF中，АС∥у轴，从六个顶点中任取三点，使这三点能确定一条形

如y?ax?bx?c?a?0?的抛物线的概率是▁▁▁.

2

答案：由二次函数性质知三点可确定一条抛物线但两点连线不能与纵轴平行，故概率为

C6?2?4

C

3

63

?

35

对AC有上下左右4种抛物线不满足题意

26. 从1、2、3┅100中，任选两个不同的数相乘，乘积(如两数相等仍按两个积计算)能被3

整除的取法有▁▁▁种.

答案：能被3整除的数33个，不能被3整除的数67个.

则С

133

·С

167

+С

233

=2739 不能被3整除的数С

2100

-2739=

27. 一个袋子装有红球与白球各5个，要从中取4个，取出的红球多于白球的取法有▁▁种. 答案：С3·С15+С5

4

5

·С5=55

28. 用数字0、1、2┅9这10个数字可组成第一位数字是2或3或6的7位电话号码为▁▁

个

答案：2开头106 个3开头106个 6开头106个 共3×106

2

2

29. 己知，a?{1，2，3}，b?{3，4}，r?{1，2，3，4}，那么方程?x?a???y?b??r2

共可表示▁▁▁个不同的圆.

答案： 3×2×4=24

30. 十字路口来往的车辆共有▁▁种不同的行车路线.

答案：A42?12每个路口有两种方法.

31. 若m∈{?2，?1，0，1，2，3}，n∈{?3，?2，?1，0，1，2}，方程

示中心在原点的双曲线，则最多可表示▁▁条不同的双曲线.

答案：13.m??2n=1 、2两条 m??1 n=1 .2 两条

m?1 n=?3，?2，?1. 三条m?2 时n三条 m?3时n三条 共13条 32. 有一元币3张，5元币一张，10元币2张.，可以组成多少种不同的币值.

答案：有一种币值时 3+1+2=6种 两种币值时 1元、5元有1×3=3种 1元、

10元有3×2=6种 5元、10元有2×1=2种三种币值时3×2×1=6种共6+3+6+2+6=23种.

33. 直线Ax?By?0， 若从0、1、2、3、5、7六个数字中每次取两个不同的数作为Α、

B的值，则表示不同直线的条数为 （） Α. 2条 B. 12条C. 22条D. 25条 答案：C 取出的两个数中含有0时有两条直线.取出的两个数中不含0时有Α

共Α

25

25

x

2

m

+

y

2

n

=1 表

+2=22条.

34. 设集合M={K|K?3 ，K?Z}. Ρ(x ，y)是坐标平面上的点，且x，y?M 则

Ρ表示平面上▁▁个点.

答案：25.M={?2，?1，0，1，2}横纵坐标均5种共5×5=25个

35. 有386、 486、 586型电脑各一台，甲、 乙、 丙、丁四名操作人员的技术等次不同，

甲、 乙会操作三种型号的电脑， 丙不能操作586， 而丁只会操作386，今从这四名操作人员中选 3人分别去操作以上电脑， 则不同的选派方法有 ( )

Α. 4种 B. 6种 C. 8种 D. 12种 答案：C有丁时586 486 386 无丁时586 486386

甲 丙丁 甲乙 丙

乙 丙丁 甲丙 乙 乙 甲丁 乙丙 甲 甲 乙丁 乙甲 丙

共4+4=8种

36. 从一个3×4方格中的一个顶点Α到对角顶点B的最短路线有几条.

答案：从Α到B的最短路线均需7步，包括横4纵3，则从7步中取4步或3步的组合.

42

则从Α到B的最短路线共有C7=C3=35条.若2×5方格为C7=C5 77

37. 5人排成一排，甲不站在正中间的排法种数为 () Α. 24 B. 48 C. 96 D. 119

答案：C甲不在正中有Α

1

4

. 其余4人任选Α

44

则Α

14

?Α

44

=96也可Α5-Α

5

44

=96

38. 7人站成一排，如果甲、乙两人必须不相邻，则不同的排法种数 ()

Α. 1440 B. 3600C. 4320 D. 4800 答案：Α

77

-2Α6=3600

6

39. 一名老师和4名获奖同学排一排照相留念，若老师不排在两端，则不同的排法共▁▁种. 答案：72 老师A3学生Α

1

4

414

A3A4?72

40. 5人排一排，如果Α必须站在B的左边(Α、B可以不相邻)，则不同的排法有▁▁▁种.

答案：Α

44

+Α3?Α3+Α

13

12

?Α3+Α3=60

33

× × × × × Α B B B B

Α B B B

Α B B

Α B

41. 5人排成一排，甲不站在左端，乙不站在右端，共有多少种不同的排法.

答案：Α5-甲在左或乙在右2A4+多减的一个Α3=78

42. 有Α、B、C、D、E五人并排站在一排，如果Α、B必须相邻且B在Α的右边.不同的排法▁▁种

答案：4Α3=24 × × × × ×

35

43

Α B??? ?Α B??

篇二：选修2-3 二项式定理练习题

二项式定理练习题

1、在(x?1)4的展开式中，x的系数为.（用数字作答）.

1??22、在?x? 的展开式中，的系数为.（用数字作答）. x?4x??

3、(x3?)7的展开式中x5的系数是.（用数字作答）.

4、在(2x?1)的展开式中，含x2的项的系数是（用数字作答）. 561x

?385

、?x的展开式中的系数是________(用数字作答). x?

6、已知(1?x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）5

A.212 B．211C．210D．29

7、?x?2? 的展开式中，x2的系数等于．（用数字作答）.

8、在?2?x?的展开式中，x3的系数为55．（用数字作答）.

9、二项式(x?1)n(n?N?)的展开式中x2的系数为15，则n?（）

A．4 B．5C．6 D．7

3210、

已知?的展开式中含x的项的系数为30，则a?（ ） 5

A.

B. C.6 D-6

25

B.11、(x?x?y)的展开式中，xy的系数为()52

（A）10 （B）20 （C）30 （D）60

篇三：选修2-3_排列、组合与二项式定理测试题

选修2-3 排列、组合与二项式定理

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．若从集合P到集合Q={a,b,c}所有不同的映射共有81个，则从集合Q到集合P可作的不同的映射共有（ ） A．32个

B．27个

C．81个

D．64个

2．某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两 个节目插入原节目单中，则不同的插入方法总数为（ ） A．42

B．36

C．30

D．12

3．全班48名学生坐成6排，每排8人，排法总数为P，排成前后两排，每排24人，排法 总数为Q,则有（ ） A．P>Q

B．P=Q

C．P<Q

D．不能确定

4．从正方体的六个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）种 A．8

B．12

C．16

D．20

5．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配 方案共有（ ） A．CCC

4

12

48

44

B．3CCC

4124844

C．CCCA

412484433

D．

C12C8C4

A

33

444

6．某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼 的外墙，现有编号为1~6的六种不同花色的装饰石材可选择，其中1号石材有微量的放射性， 不可用于办公室内，则不同的装饰效果有（）种 A．350

B．300

C．65

D．50

7．有8人已站成一排，现在要求其中4人不动，其余4人重新站位，则有（）种 重新站位的方法 A．1680

B．256

C．360

D．280

8．一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（ ）种不同的坐法 A．7200 B．3600 C．2400 D．1200 9．在(

1x?

1x

3

)n的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项 的二

项式系数是 （）A. 462B. 330C.682 D.792 10.在(1+ax)的展开式中,x项的系数是x项系数与x项系数的等比中项,则a的值为( ) A.

7

325

5

B.

53

C.

259

D.

253

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11．某公园现有A、B、C三只小船，A船可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人，今有 三个成人和2个儿童分乘这些船只（每船必须坐人），为安全起见，儿童必须由大人陪同方 可乘船，他们分乘这些船只的方法有_____________种。

12．“渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数(如98765)，若把所有的五位渐减数 按从小到大的顺序排列，则第20个数为____________。

13．（理）某民航站共有1到4四个入口，每个入口处只能进1人，一个小组4个人进站的方

案数为____________。

（文）体育老师把9个相同的足球放入编号为1、2、3的三个箱子里，要求每个箱子放球

的个数不少于其编号，则不同的放法有_____________种。

14．(文)若(1?2x)2005?a0?a1x?a2x2???a2005x2005（x?R）， 则(a0?a1)?(a0?a2)?(a0?a3)???(a0?a2005)＝ （用数字作答）。（理）甲、乙、丙三人传球，第一次球从甲手中传出，到第六次球又回到甲手中的传递 方式有_________种

15．在(1?x)3?(1?x)4???(1?x)2005的展开式中，x3的系数为______________。 三．解答题（本大题共6题，共80分）

16．（本题满分12分）用0，1，2，3，4，5这六个数字

（1） 可组成多少个不同的自然数？ （2）可组成多少个无重复数字的五位数？ （3） 组成多少个无重复数字的五位奇数？

（4） 可组成多少个无重复数字的能被5整除的五位数？ （5） 可组成多少个无重复数字的且大于31250的五位数？ （6） 可组成多少个无重复数字的能被3整除的五位数？

17（本题满分12分）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种？（要求写出必要的解答过程）

18．（本题满分12分）已知(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7，

求（1）a0?a1???a7的值（2）a0?a2?a4?a6及a1?a3?a5?a7的值； （3）各项二项式系数和。

19.（本题满分14分）证明：（1）2?(1?

1n)

n

?3，其中n?N；

*

（2）证明：对任意非负整数n，33n?26n?1可被676整除。

20．（本题满分14分）已知m,n是正整数，f(x)?(1?x)中x的系数为7，

（1） 试求f(x)中的x2的系数的最小值

（2） 对于使f(x)的x的系数为最小的m,n，求出此时x的系数 （3） 利用上述结果，求f(0.003)的近似值（精确到0.01）

2

3m

?(1?x)的展开式

n

21。（本题满分16分）规定Cxm?

x(x?1)?(x?m?1)

m!

,其中x?R,m是正整数，

且Cx0?1这是组合数Cnm(n,m是正整数，且

5（1） 求C?的值， 15

m?n)的一种推广，

（2）组合数的两个性质：Cnm?Cnn?m；Cnm?Cnm?1?Cnm?1是否都能推广到则写出推广的形式并给予证明，或不能则说明理由 Cx(x?R,m?N)的情形？若能推广，

(3) 已知组合数Cnm是正整数，证明：当x?Z,m是正整数时，Cxm?Z

m

*

参考答案

一：选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

(1). D (2). A (3). B (4). B (5). A(6). B (7). D (8). A (9). A (10). C 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

4(11). 18 (12). 76542 (13). (理)840（文）10 (14). （文）2003 （理）22(15). C2006

三．解答题（本大题共6题，共80分）

16．（1）解：可组成6+5?6?5?62?5?63?5?64?5?65=46656个不同的自然数

1553（2）可组成A5?A5或A6?A4?600个无重复数字的五位数

113（3）可组成A3?A4?A4?288个无重复数字的五位奇数

3

)?216个无重复数字的能被5整除的五位数 （4）可组成A54?(A54?A4

32

?2A3?1?325个无重复数字的且大于31250的五位数？ （5）可组成2A54?3A4

544

（6）可组成A5?(A5?A4)?216个无重复数字的能被3整除的五位数？

2

17．解：在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有C5?10种，设素菜为x种，则

Cx?C5?200解得x?7，

22

?至少应有7种素菜

18．令x?1，则a0?a1??a7??1

令x??1，则a0?a1?a2?a3???a6?a7?2187 令x?0，则a0?1 于是a1?a2?a3??a7??2

a1?a3?a5?a7??1094；a0?a2?a4?a6?1093

0177

各项二项式系数和C7?C7???C7?2?128

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