自己命的题—解析几何

解析几何（双曲线、抛物线）

一、选择题（共8题，每题5分）

1.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是（ ）

A ．

28y x =- B ．28y x = C ．

2

4y x =- D ．

2

4y x = 2.在圆.0622

2=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的 面积为（ ）

A ．25

B ．210 C

． D ．220

3.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b

y a x 的两条渐近线均和圆C 0562

2=+-+x y x :相切,且双曲线的右焦

点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为（ ）

A ．22154x y -=

B ．22

145x y -= C ．22136x y -= D ．22

163x y -=

4.已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB 为C 的实轴长的 2倍，C 的离心率为（ ）

（A ）2 （B ）3（C ） 2 （D ） 3

5.已知抛物线C ：x y 42

=的焦点为F ，直线y=2x-4与C 交于A ，B 两点．则AFB ∠cos （ ） A ．

5

4

B ．

5

3 C ．53-

D ．5

4- 6.若曲线02:2

2

1=-+x y x c 与曲线0)(:2=--m mx y y c ：有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（33-

，33） B ．（33-，0）∪（0，33

） C ．[33-

，33] D ．（-∞，33）∪（3

3，+∞） 7.设双曲线)0(192

22>=-

a y a

x 的渐近线方程为023=+-y x ，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

8..将两个顶点在抛物线)0(22

>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则（ ） A ．n=0 B ．n=1 C ． n=2 D ．n ≥3

二、填空题（共6题，每题5分）

9 .双曲线822

2

=-y x 的实轴长是

10.若点P 到点F （0，2）的距离比它到直线y+4=0的距离小2，则P 的轨迹方程为 . 11 .已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 .

12 设m 为常数，若点F （0,5）是双曲线

19

2

2=-x m y 的一个焦点，则 13 已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(122

22>>=+b a b

y a x 上，C 的焦距为4，则它的离心为

14. 已知点P 是抛物线x y 22

=上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的

最小值为 .

三、解答题（共4题）

15. 根据下列条件，求双曲线的标准方程.

（1）与双曲线11692

2=-y x =1有共同的渐近线，且过点（-3，23）； （2）与双曲线14

162

2=-y x 有公共焦点，且过点（23，2）.

16.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F

在x 轴正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），但|AF|+|BF|=8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线的方程.

17.（2008·天津理，21）已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是5x-2y=0. (1)求双曲线C 的方程;

(2)若以k(k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M,N 且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2

81

,求k 的取值范围.

18.如图所示，倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x 的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.

（1）求抛物线焦点F 的坐标及准线l 的方程；

（2）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明|FP|-|FP|cos2α为定值， 并求此定值.

参考答案：1-8.B B A B D B C C 9, 4 10.y x 82

= 11，112

42

2=-y x 12，m=6 13,2 14,217

15. 解 （1）设所求双曲线方程为49

2

2y x -

=λ(λ≠0), 将点（-3,23）代入得λ=41, 所以双曲线方程为16922y x -=41， 即49

42

2y x -

=1. (2)设双曲线方程为22

2

2

b y a

x -

=1.由题意易求c=2

5.

又双曲线过点（32，2），∴()

2

2

23a

-2

4

b =1.

又∵a2+b2=（25）2，∴a2=12，b2=8.

故所求双曲线的方程为

8122

2y x -=1. 16.解 设抛物线的方程为y2=2 p x(p ＞0), 其准线为x=-2p

.

设A （x1,y1）,B(x2,y2),

∵|AF|+|BF|=8，∴x1+2p +x2+2p

=8，

即x1+x2=8-p.

∵Q （6，0）在线段AB 的中垂线上，

∴|QA|=|QB|.即(x1-6)2+y12=(x2-6)2+y22, 又y12=2px1,y22=2px2, ∴(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.

∵AB 与x 轴不垂直，∴x1≠x2, 故x1+x2-12+2p=8- p-12+2 p=0, 即p=4.从而抛物线的方程为y2=8x.

17.解 （1）设双曲线C 的方程为22

2

2

b y a

x -

=1（a ＞0,b ＞0）.

由题设得?????==+,25,

922a b b a 解得?????==.

5,422b a 所以双曲线C 的方程为

15

42

2=-y

x （2）设直线l 的方程为y=kx+m (k ≠0).

点M （x1，y1），N （x2，y2）的坐标满足方程组

?

????=-+=1542

2y x m kx y

将①式代入②式，得42x -5)(2

m kx +=1,整理得

(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0.

此方程有两个不等实根，于是5-4k2≠0,

且Δ=(-8km)2+4(5-4k2)(4m2+20)＞0, 整理得m2+5-4k2＞0.

③

由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标（x0,y0）满足x0=22

1x x +=2454k km -,y0=kx0+m=2

455k m -.

从而线段MN 的垂直平分线的方程为

y-k

k

m

1

4552

-

=-?

???

?

?--

2454k km x .

此直线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为 ???? ??-0,4592k km ,?

??? ??-2

459,0k m .

由题设可得212

459k km

-·2459k m -=281.

整理得m2=

k

k 2

2)45(-,k ≠0.将上式代入③式得k

k 2

2)45(-+5-4k2＞0,

整理得(4k2-5)(4k2-|k|-5)＞0,k ≠0.

解得0＜|k|＜25或|k|＞45. 所以k 的取值范围是(-∞,- 45)∪(-25,0)∪(0, 25

)∪(45,+∞). 18.（1）解 由已知得2 p=8,∴2p

=2, ∴抛物线的焦点坐标为F （2，0），准线方程为x=-2. （2）证明 设A （xA ，yA ），B （xB ，yB ），直线AB 的斜率为k=tan α,则直线方程为y=k(x-2),

将此式代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0, 故2

2

)2(4k

k

x x b A +=

+,记直线m 与AB 的交点为E ),(E E y x ，则xE=2B A x x +=2

2

)2(2k k +,yE=k(xE-2)=k 4

, 故直线m 的方程为y-k 4=-

k 1??

?? ??+-2242k k x , 令y=0,得点P 的横坐标xP=

2

24

2k k ++4,

故|FP|=xP-2=

2

2)

1(4k k +=α2

sin 4

,

∴|FP|-|FP|cos2α=α2sin 4

(1-cos2α)=α

α

2

2sin sin 24?=8,为定值.

①

②

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fyoe.html