高中教材变式题7：立体几何

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1.(人教A版，必修2.P17.第4题)图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称. 变式题1.如图1-1是一个几何体的三视图(单位：cm)(Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积;(Ⅲ)设异面直线与所成的角为，求 . 解：(Ⅰ)这个几何体的直观图如图1-2所示.(Ⅱ)这个几何体是直三棱柱.由于底面的高为1，所以 .故所求全面

七、《立体几何》变式题

命题人：黄埔区教育局教研室肖凌戆． 2007.5

1．（人教A版，必修2．P17．第4题）

图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．

变式题1．如图1－1是一个几何体的三视图（单位：cm）（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；

（Ⅲ）设异面直线AA 与BC 所成的角为，求cos ．

图1－1

解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图1－2所示．（Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．

由于底面 ABC的高为1，所以AB 故所求全面积S 2S ABC SBB C C 2SABB A

图1－2

2 2 1 3 2 2 3 8 (cm2)．

2 1 3 3(cm3) 2

（Ⅲ）因为AA //BB ，所以AA 与BC 所成的角是 B BC ．

这个几何体的体积V S ABC BB 在Rt

BB C 中，BC

故cos

BB BC 2．（人教A版，必修2，P20．例3）

如图2，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

变式题2－1．如图2－1．已知几何体的三视图（单位：cm）．（Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积．

图2

解（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－2所示．

图2－1

（Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm，高为2cm），它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm，母线长为2cm）．所以所求表面积S 1 2 1 2 1 2 7 (cm2)，

所求体积V 1 2 12 (cm3)．

变式题2－2．如图2－3，已知几何体的三视图（单位：cm）．

（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；

PD所成角为，求cos ．（Ⅲ）设异面直线AQ（理科考生） 1、

解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－4所示．

图2－3

（Ⅱ）这个几何体可看成是由正方体AC1及直三棱柱BC11Q A1D1P的组合体．由PA1D1 AD 2， 1 PD1 A可得PA1 PD1．故所求几何体的全面积

1S 5 2 2 22

22 (cm2)

图2－4

所求几何体的体积

V 2

2 10(cm)

（Ⅲ）由PQ//CD，且PQ CD，可知PD//QC，

PD所成的角（或其补角）故 AQC为异面直线AQ．

1、1

A1B1 B1Q 2 6，AC由题设知AQ 2 11

取BC中点E，则QE BC，且QE 3，

222

QC2 QE2 EC2 32 12 10．

222

AQ QC AC1

由余弦定理，得cos cos AQC

2AQ1 QC

． 153．（北师大版．必修2．P31．第4题）

如图3，已知E，F分别是正方体ABCD A1BC11D1的棱AA1和棱CC1上的点，且

AE C1F，求证：四边形EBFD1是平行四边形

DA1

图3

变式题：如图3－1．已知E、F分别是正方体ABCD A1BC11D1的棱AA1和棱CC1的中点．

（Ⅰ）试判断四边形EBFD1的形状；（Ⅱ）求证：平面EBFD1 平面BB1D1．

解（Ⅰ）如图3－2，取BB1的中点M，连结A1M、MF． ∵M、F分别是BB1和CC1的中点， ∴MF// BC11，

在正方体ABCD A1BC11D1中，有

图3－2

DA1

//B1C1， ∴MF//A1D1 A1D1，

∴四边形A1MFD1是平行四边形，

//D1F． ∴AM1

又E、M分别是AA1、BB1的中点，

//∴A1E BM，

∴四边形A1EBM为平行四边形，

//A1M． ∴EB //D1F．故EB

∴四边形EBFD1是平行四边形．又Rt EAB≌Rt FCB，

∴BE BF，

故四边形EBFD1为菱形．（Ⅱ）连结EF、BD1、AC11． ∴EF BD1．

在正方体ABCD A1BC11D1中，有

∵四边形EBFD1为菱形，

B1D1 AC11，

B1D1 A1A

∴B1D1 平面A1ACC1．又EF 平面A1ACC1， ∴EF B1D1．又B1D1 BD1 D， ∴EF 平面BB1D1．又EF 平面EBFD1，故平面EBFD1 平面BB1D1

4．（人教A版，必修2，P74．例2）

如图4，在正方体ABCD A1BC11D1中，求直线A1B与平面A1B1CD所成的角．

BA1

图4

变式题：如图4－1，已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面边长DC11

EAB 2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的的垂线交侧棱CC1于A1

点E，交B1C于点F．

（Ⅰ）求证：AC 平面BED； 1

图4－1

BDE所成的角的正弦值．（Ⅱ）求A1B与平面

解：（Ⅰ）如图4－2，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D xyz．

∴D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4)．

设E(0,2,t)，则BE ( 2,0,t),BC ( 2,0, 4)． 1 ∵BE B1C，∴BE BC 4 0 4t 0． 1

∴t 1，∴E(0,2,1)，BE ( 2,0,1)．

又AC ( 2,2, 4),DB (2,2,0)， 1

∴AC1 BE 4 0 4 0且AC1 DB 4 4 0 0． ∴AC DB且AC BE． 11

∴AC BD且AC BE．∴AC 平面BDE． 111

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC ( 2,2, 4)是平面BDE的一个法向量，又A1B (0,2, 4)， 1

AC1 A1B∴cosAC．

,AB 11

6|AC1||A1B|

BDE所成角的正弦值为∴A1B与平面

． 6

5．（人教A版，必修2，P87，第10题）

BP,C P,D C,D,如图5，已知平面 , ，且 ACD的位置关系？并证明你的结论．

是垂足，试判断直线AB与

图5

变式题5－1，如图5，已知平面 , ，且 AB,PC ,PD ,C,D是垂足．

（Ⅰ）求证：AB 平面PCD；

（Ⅱ）若PC PD 1,CD 与平面关系，并证明你的结论．

变式题5－1，如图5，已知平面 , ，且 AB,PC ,PD ,C,D是垂足．

（Ⅰ）求证：AB 平面PCD；

（Ⅱ）若PC PD 1,CD 与平面的位置关系，并证明你的结论．解（Ⅰ）因为PC ,AB ，所以PC AB．同理PD AB．又PC PD P，故AB 平面PCD．

（Ⅱ）设AB与平面PCD的交点为H，连结CH、DH．因为AB 平面PCD，所以AB CH,AB DH，所以 CHD是二面角

C AB D的平面角．

又PC PD 1,CD CD PC PD 2，即 CPD 90．在平面四边形PCHD中， PCH PDH CPD 90，

图5－1

所以 CHD 90．故平面平面．

变式题5－2．如图5－1，已知直二面角 AB ，P ,Q ,PQ与平面、所成的角都为30，PQ 4．

PC AB,C为垂足，QD AB,D为垂足．

（Ⅰ）求直线PQ与CD所成角的大小；（Ⅱ）求四面体PCDQ的体积．

图5－2

//DQ，连结PE、QE．则四边形CDQE为平解：（Ⅰ）如图5－2，在平面内，作CE //CD，即 PQE为直线PQ与CD所成的角（或其补角）行四边形，所以EQ ．

因为 , AB,PC AB．所以PC ．同理QD ．又PQ与平面

、所成角为300，所

以

PQC 300， QPD 300，所以

1 DQ PQ

sin30

0 4 2．

2CQ PQcos300 4在Rt

CDQ中，CD EQ

因为QD AB，且CDQE为平行四边形，所以EQ CE．

又PC ,EQ ，所以EQ PC．故EQ

平面PCE，从而EQ PE

．

在Rt PEQ中，cos PQE 所以 PQE 45，

EQ．

PQ即直线PQ与CD所成角的大小为45．

（Ⅱ）在Rt PCQ中，PQ 4, PQC 300，所以PC 2．三角形CDQ

的面积S CDQ 故四面体PCDQ的体积

CD DQ 2 ， 22

11V S CDQ PC 2

336．（人教A版，必修2，P87，B组第1题）如图5，边长为2的正方形ABCD中，

（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将 AED, DCF分别沿DE,DF折起，使

A,C两点重合于点A ，求证：A D EF．

（2）当BE BF

BC时，求三棱锥A EFD的体积． 4

图6

变式题．如图5－1，在矩形ABCD中，AB 2,AD 1,E是CD的中点，以AE为折痕将

DAE向上折起，使D为D ，且平面D AE 平面ABCE．（Ⅰ）求证：AD EB；

（Ⅱ）求直线AC与平面ABD 所成角的正弦值．

图6－1

解（Ⅰ）在Rt

BCE中，BE 在Rt

AD E中，AE

∵AB 2 BE AE， ∴AE BE．

∵平面AED 平面ABCE，且交线为AE，

∴BE 平面AED ． ∵AD 平面AED ， ∴AD BE．

（Ⅱ）设AC与BE相交于点F，由（Ⅰ）

知AD BE， ∵AD ED ， A∴AD 平面EBD ，图6－2 ∵AD 平面AED ，

∴平面ABD 平面EBD ，且交线为BD ，

如图6－2，作FG BD ，垂足为G，则FG 平面ABD ，连结AG，则 FAG是直线AC与平面ABD 所成的角．由平面几何的知识可知

EFEC11

，∴EF EB FBAB23在Rt

AEF中，AF

在Rt EBD 中，

FGD E ，可求得FG ．

FBD

FG ∴sin FAG AF∴直线AC与平面ABD

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fyiq.html

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