2010届高考数学第二次模拟试题3

2010届高考数学第二次模拟测试题

数学（理）

一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的。 1．不等式

2．设等比数列{an}的前三项为2，32，62，则该数列的第四项为 （A）122 （B）

92x?1?0的解集是 3x?111（A）{x|x??或x?}

321（C）{x|x?}

2

（B）{x|?

11?x?} 321（D）{x|x??}

32 （C）82 （D）1

?????????3． 若|a|?1,|b|?2,c?a?b，且c?a，则向量a与b的夹角为

（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°

4．在坐标平面上，不等式组??y?x?1所表示的平面区域的面积为

?y??3|x|?13 2

（C）

（A）2

（B）

32 2 （D）2

5．已知y?f(x)是周期为2?的函数, 当x??0,2??时, f(x)?sinx, 则方程 4f(x)?1的解集为 2(A) ?xx?2k??????,k?Z? (B) 6?5???,k?Z? ?xx?2k??6??5???xx?2k??,k?Z??

3??(C) ?xx?2k????2??,k?Z? (D) 3?6．设b?0，二次函数y?ax2?bx?a2?1的图像为下列之一

?1yyyy1Ox?1O1xOxOx

则a的值为 （A）1

（B）?1

（C）

?1?5 2（D）

?1?5 27． 在?ABC中，已知tanA?B?sinC，给出以下四个论断： 2

②0?sinA?sinB?①tanA?cotB?1 2

③sin2A?cos2B?1 其中正确的是

（A）①③ （B）②④

④cos2A?cos2B?sin2C

（C）①④ （D）②③

8．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a,b都有f(a?b)?af(b)?bf(a), 则

(A)f(x)是奇函数，但不是偶函数 (B)f(x)是偶函数，但不是奇函数 (C)f(x)既是奇函数，又是偶函数 (D)f(x)既非奇函数，又非偶函

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9．不等式组?10．

?|x?2|?2?log2(x?1)?12的解集为

??0sinxdx? 0，AC?4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离11. 已知在?ABC中，?ACB?90，BC?3乘积的最大值是

12．对正整数n，设曲线y?xn(1?x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{和的公式是

13. 如图2, OM//AB, 点P在由射线OM, 线段OB及AB的延长线围成的区域内

an}的前n项n?1PMBO 图2A

(不含边界)运动, 且OP?xOA?yOB,则x的取值范围是__________;

1时, y的取值范围是__ __ 214．若a、b为正实数，a?b?3，则1?a?1?b的最大值是______ 当x??

三．解答题：本大题共6小题，满分80分。解答题须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15.（本小题满分12分）

如图在?ABC中，D为BC边的中点。AM?mAB,AN?nAC,MN与AD交于P 点，AP?xAD.1（1）当m?1,n?时，求x的值；

2（2）当m,n??0，1?时，试用m,n表示x.

16. （本小题满分12分）

制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.

某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

17．（本小题满分14分）

设全集U=R

（1）解关于x的不等式|x?1|?a?1?0(a?R); （2）记A为（1）中不等式的解集，集合B?{x|sin(?x? 若?CuA??B恰有3个元素，求a的取值范围.

?3)?3cos(?x??3)?0}，

18. （本小题满分14分）

数列{an}的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1(n?1),

(1)求{an}的通项公式；(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b1,a2?b2,a3?b3 成等比数列，求Tn。19. （本小题满分14分）

已知a＞0，f(x)?a?ex是定义在R上的函数，函数f与坐标轴交点处的切线和曲线y（1）求a的值； （2）设函数g(x)?

20．（本小题满分14分）

已知数列?an?的各项均为正数，sn表示该数列前n项的和，且对任意正整数n，恒有2sn?an?an?1?，设bn?－1(x)?lnx (x?(0,??))，并且曲线y=f(x)在其a?f－1(x)在其与坐标轴交点处的切线互相平行.

x－m，当x>0 且x?1时，不等式g(x)>x恒成立，求实数m的取值集合. －1f(x)1 ?a?ii?1nn（1） 求数列?an?的通项公式； （2） 证明：无穷数列?bn?为递增数列； （3） 是否存在正整数k，使得bn?k对任意正整数n恒成立，若存在，求出k的最小值。 10

高级中学2009-2010学年第一学期第二次测试

高三数学（理科答卷）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分共计40分）

1

2 3 4 5 6 7 8 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．__________ 10．____________

11．___________ 12．____________

13．________ ； 14．______________

三、解答题（本大题共6小题，满分共80分）

15．（本小题满分12分）

16．（本小题满分12分）

17．（本小题共14分）高考资源网

18．（本小题满分14分）

19．（本小题满分14分）

20．（本小题满分14分）

高级中学2009-2010学年第一学期第二次测试

高三数学（理）

参考答案

一．选择题：ADCB CABA 二．填空题： 9.12.2n?1?3,4?; 10.2; 11.3;

13?2; 13.(??,0);(,) 14.10

222. 3三.解答题:

15．解：（1）点P为?ABC的重心,?x?(2)设AP?pAM?qAN,?M,P,N共线?p?q?1?xAD?pmAB?qnAC,又?AD??xAB?AC?pmAB?qnAC21AB?AC2??

???AB与AC不共线?x?2?pm1122mn?????,即x?xmnxm?n??qn?2

16.设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，x?y?10??0.3x?0.1y?1.8?由题意知?，目标函数z?x?0.5yx?0??y?0?上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分含边界即可行域。

作直线l0:x?0.5y?0,并作平行于直线l0的一组直线x?0.5y?z,z?R.与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x?0.5y?0的距离最大。这里M点是x?y?10与0.3x?0.1y?1.8的交点。x?y?10?解方程组?得x?4,y?60.3x?0.1y?1.8?此时z?1?4?0.5?6?7?0，?当x?4,y?6时，z取得最大值。答：投资人分别用4万元、6万元投资甲、乙两个项目，在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。

17解：（1）由|x?1|?a?1?0得|x?1|?1?a.

当a?1时，解集是R；

当a?1时，解集是{x|x?a或x?2?a}. （2）当a?1时，CuA??；

当a?1时， CuA?{x|a?x?2?a}.

因sin(?x??3)?3cos(?x??3)?2[sin(?x??3)cos?3?cos(?x??)sin]?2sin?x. 33?由sin?x?0,得?x?k?(k?Z),即x?k?Z,所以B?Z.

?a?1,?当?CuA??B怡有3个元素时，a就满足?2?2?a?3, 解得?1?a?0.

??1?a?0.?18解：

(1)由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1(n?2),两式相减得：an?1?an?2an,?an?1?3an(n?2),又a2?2S1?1?3,?a2?3a1故数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列。?an?3n?1(2)设{bn}的公差为d，由T3?15,得b1?b2?b3?15,可得b2?15，故可设b1?5?d,b3?5?d,又a1?1,a2?3,a3?9,由题意可得?5?d?1??5?d?9???5?3?，解得d?2或d??102

?{bn}的各项为正，?d?0,d?2Tn?3n?n(n?1)?2?n2?2n219．解：（1）由已知条件可知：函数f(x)=a?ex (x?R) , 所以曲线y=f(x)只与y轴有交点M（0，a）；

x (x?(0,+?))，所以曲线y=f－1(x)只与x轴有交点N（a，0）. a1x－1而f? (x)=a?e , [f(x)]? =，

x1－1有 f?(0)= ，即. [f?(a)] a=?a=?1a而a>0,即a=1.

x－m (x?(0,1)?(1,+?))，从而有 （2）由（1）可得g(x)=lnxx－m>x恒成立. 当x>0且x?1时，g(x)>x恒成立?lnxx－m>x?m>x－xlnx ① 当x?(0,1)时，lnxlnx12x－lnx－2令?(x)=x－xlnx ,x?(0,1]，则??(x)=1－ －=2xx2x函数f－1(x)=ln11x－1 －=xxxh(x)x－1>0 h?(x)=<0,所以h(x)>h(1)=0，进而??(x)=当x?(0,1)时，x2x所以有?(x)

x－m>x?m

lnx12x－lnx－2 －=2xx2x11x－1再令h(x)=2x－lnx－2 ，x?[1,+?)，则h?(x)= －=xxxh(x)x－1当x?(1,+?)时，>0 h?(x)=>0,所以h(x)>h(1)=0，进而??(x)=x2x所以有?(x)>?(1)=1，这样此时只需m≤1即可；

根据题意，①②两种情形应当同时成立，因此m=1，即其取值集合为｛1｝

令?(x)=x－xlnx ,x?[1,+?)，则??(x)=1－

20．（1）n?1时，2s1?a1?a1?1?，s1?a1，a1?0，解得a1?1

n?2时，an?sn?sn?1，2sn?an?an?1?，2sn?1?an?1?an?1?1?，作差得

2an?an(an?1)?an?1(an?1?1)，整理得(an?an?1)(an?an?1?1)?0，∵an?0，∴an?an?1?0，

∴an?an?1?1，对n?2时恒成立，因此数列?an?是首项为1，公差为1的等差数列，故an?n；

n?1n111（2）∵bn?1?bn??－?=?－?

n?1?in?ia?ia?ii?1i?1i?1i?1nn?1n?11n=

111111?????0， =

2n?12n?2n?12n?12n?2(2n?1)(2n?2)对任意正整数n恒成立∴无穷数列?bn?为递增数列。 （3）存在，且k的最小值为7。 ∵b3?1116???∴若存在正整数k，必有k?7。 45610nn2nn111n12n11又bn??=bn??=bn????=??2?

i?1n?ii?1ii?1ii?1ii?12ii?1an?inn1111n1=? ??=?(?)=?2i?12i2i?12i(2i?1)2ii?1i?1i?1i?1n11当n?4时∵?＜?

i?4(2i?2)(2i?1)i?4(2i?1)2inn1111∴?????(2i?1)2i21230i?1nn111 ???(2i?2)(2i?1)620i?2nn112即????

5i?1(2i?1)2ii?2(2i?2)(2i?1)∴

12bn?2?=2

i?1an?in1??(2i?1)2ii?1n1+?i?1(2i?1)2in12=??5i?2(2i?2)(2i?1)n?(i?22n112?)?i?1i5<

?(i?22n127112?? ?)?=1?2n55i?1i57; 10k对任意正整数n恒成立，且k的最小值为7。 10∴bn?因此存在正整数k使得bn?

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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