整理好的平面直角坐标系找规律解析

平面直角坐标系找规律题型解析

1、如图，正方形ABCD的顶点分别为A(1,1) B(1，-1) C(-1，-1) D(-1，1)，y轴上有一点P(0，2)。作点P关于点A的对称点p1，作p1关于点B的对称点p2，作点p2关于点C的对称点p3，作p3关于点D的对称点p4，作点p4关于点A的对称点p5，作p5关于点B的对称点p6┅，按如此操作下去，则点p2011的坐标是多少？

解法1：对称点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。 设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。

第1周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2) 第2周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2) 第3周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2) 第n周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2) 2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0） 解法2：根据题意，P1（2，0） P2（0，－2） P3（－2，0） P4（0，2）。 根据p1-pn每四个一循环的规律，可以得出：

P4n（0，2），P4n+1（2，0），P4n+2（0，－2），P4n+3（－2，0）。 2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）

总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。此题是每四个点一循环，起始点是p点。

2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．

y

A1

1

A2 A5 A6 A9 A10

O A3 A4 A7 A8 A11 A12 x （1）填写下列各点的坐标：A4（ ， ），A8（ ， ），A10（ ， ），A12（ ）； （2）写出点A4n的坐标（n是正整数）；

（3）按此移动规律，若点Am在x轴上，请用含n的代数式表示m（n是正整数） （4）指出蚂蚁从点A2011到点A2012的移动方向．

（5）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．（6）指出A106，A201的的坐标及方向。

解法：（1）由图可知，A4，A12，A8都在x轴上， ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴OA4=2，OA8=4，OA12=6，

∴A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）；同理可得出：A10（5，1） （2）根据（1）OA4n=4n÷2=2n，∴点A4n的坐标（2n，0）； （3）∵只有下标为4的倍数或比4n小1的数在x轴上， ∴点Am在x轴上，用含n的代数式表示为：m=4n或m=4n-1； （4）∵2011÷4=502…3，

∴从点A2011到点A2012的移动方向与从点A3到A4的方向一致，为向右．

（5）点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100（50，0）和A101（50，1），所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上。

（6）方法1：点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。 设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。

第1周期点的坐标为：A1(0,1)， A2(1,1)， A3(1,0)， A4(2,0) 第2周期点的坐标为：A1(2,1)， A2(3,1)， A3(3,0)， A4(4,0) 第3周期点的坐标为：A1(4,1)， A2(5,1)， A3(5,0)， A4(6,0) 第n周期点的坐标为：A1(2n-2,1)，A2(2n-1,1)，A3(2n-1,0)，A4(2n,0)

106÷4=26…2，所以点A106坐标与第27周期点A2坐标相同,(2×27-1,1)，即(53,1)方向朝下。

201÷4=50…1，所以点A201坐标与第51周期点A1坐标相同,(2×51-2,1)，即(100,1)方向朝右。

方法2：由图示可知，在x轴上的点A的下标为奇数时，箭头朝下，下标为偶数时，箭头朝上。106=104+2，即点A104再移动两个单位后到达点A106，A104的坐标为（52，0）且移动的方向朝上，所以A106的坐标为（53，1），方向朝下。

同理：201=200+1，即点A200再移动一个单位后到达点A201，A200的坐标为（100，0）且移动的方向朝上，所以A201的坐标为（100，1），方向朝右。

3、一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是多少？第42、49、2011秒所在点的坐标及方向？

解法1：到达（1，1）点需要2秒 到达（2，2）点需要2+4秒 到达（3，3）点需要2+4+6秒

到达（n，n）点需要2+4+6+...+2n秒＝n(n+1)秒

当横坐标为奇数时，箭头朝下，再指向右，当横坐标为偶数时，箭头朝上，再指向左。 35=5×6+5，所以第5*6=30秒在（5，5）处，此后要指向下方，再过5秒正好到（5,0） 即第35秒在（5，0）处，方向向右。

42=6×7，所以第6×7=42秒在（6，6）处，方向向左

49=6×7+7，所以第6×7=42秒在（6，6）处，再向左移动6秒，向上移动一秒到（0，7） 即第49秒在（0，7）处，方向向右

解法2：根据图形可以找到如下规律，当n为奇数是n秒处在（0，n）处，且方向指向右； 当n为偶数时n秒处在（n，0）处，且方向指向上。

35=6

2

2

2

-1，即点（6，0）倒退一秒到达所得点的坐标为（5，0），即第35秒处的坐标为

（5，0）方向向右。用同样的方法可以得到第42、49、2011处的坐标及方向。

4、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，顶点A55的坐标是（ ）

解法1：观察图象，每四个点一圈进行循环，根据点的脚标与坐标寻找规律。 观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。 设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。

第1周期点的坐标为：A1(-1,-1)， A2(-1,1)， A3(1,1)， A4(1,-1) 第2周期点的坐标为：A1(-2,-2)， A2(-2,2)， A3(2,2)， A4(2,-2) 第3周期点的坐标为：A1(-3,-3)， A2(-3,3)， A3(3,3)， A4(3,-3) 第n周期点的坐标为：A1(-n,-n)， A2(-n,n)， A3(n,n)， A4(n,-n) ∵55÷4=13…3，∴A55坐标与第14周期点A3坐标相同,(14,14)，在同一象限

解法2：∵55=4×13+3，∴A55与A3在同一象限，即都在第一象限， 根据题中图形中的规律可得：

3=4×1-1，A3的坐标为（1，1）， 7=4×2-1，A7的坐标为（2，2）， 11=4×3-1，A11的坐标为（3，3）； 55=4×14-1，A55（14，14） 5、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换： （1）f（m，n）=（m，﹣n），如f（2，1）=（2，﹣1）； （2）g（m，n）=（﹣m，﹣n），如g（2，1）=（﹣2，﹣1）．

按照以上变换有：f[g（3，4）]=f(﹣3,﹣4)=（﹣3，4），那么g[f（﹣3，2）]等于（ ） 解：∵f（﹣3，2）=（﹣3，﹣2），∴g[f（﹣3，2）]=g（﹣3，﹣2）=（3，2）， 6、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换： 1、f（a，b）=（﹣a，b）．如：f（1，3）=（﹣1，3）； 2、g（a，b）=（b，a）．如：g（1，3）=（3，1）； 3、h（a，b）=（﹣a，﹣b）．如：h（1，3）=（﹣1，﹣3）．

按照以上变换有：f(g(2,﹣3))=f(-3，2）=(3,2)，那么f(h(5,-3))等于（ ）（5，3） 7、一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为（ ）

解：由于OM=1， 所有第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=OM=，同理第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的

2

处，同理跳动n次后，即跳到了离原点的

处

8、如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为（ ） 45 ．

解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上横坐标的平方， 例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12， 右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22， 右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32， 右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，

右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，

∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13）， 9、（2007?遂宁）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为 （ ） ．

解：由图形可知：点的横坐标是偶数时，箭头朝上，点的横坐标是奇数时，箭头朝下。 坐标系中的点有规律的按列排列，第1列有1个点，第2列有2个点，第3列有3个点…第n列有n个点。

∵1+2+3+4+…+12=78，∴第78个点在第12列上，箭头常上。

∵88=78+10，∴从第78个点开始再经过10个点，就是第88个点的坐标在第13列上，坐标为（13，13-10），即第88个点的坐标是（13，3）

10、如图，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…．则点A2007的坐标为 （ ） ．

解法1：观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。 设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。

第1周期点的坐标为：A1(1,0)， A2(1,1)， A3(-1,1)， A4(-1,-1) 第2周期点的坐标为：A1(2,-1)， A2(2,2)， A3(-2,2)， A4(-2,-2) 第3周期点的坐标为：A1(3,-2)， A2(3,3)， A3(-3,3)， A4(-3,-3) 第n周期点的坐标为：A1(n,-(n-1))， A2(n,n)， A3(-n,n)， A4(-n,-n) 因为2007÷4=501…3，所以A2007的坐标与第502周期的点A3的坐标相同，即(-502,502) 解法2：由图形以可知各个点（除A1点和第四象限内的点外）都位于象限的角平分线上， 位于第一象限点的坐标依次为A2（1，1） A6（2，2） A10（3，3）…A4n﹣2（n，n）。 因为第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2，6，10，14，即4n﹣2（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；

同理第二象限内点的下标是4n﹣1（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）； 第三象限是4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）； 第四象限是1+4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；

因为2007÷4=501…3，所以A2007位于第二象限。2007=4n﹣1则n=502， 故点A2007在第二象限的角平分线上，即坐标为（﹣502，502）．

11、如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点、按如此规律走下去，当机器人走到A6，A108点D的坐标各是多少。

解法1：观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。

第1周期点的坐标为：A1(3,0)， A2(3,6)， A3(-6,6)， A4(-6,-6) 第2周期点的坐标为：A1(9,-6)， A2(9,12)， A3(-12,12)， A4(-12,-12) 第3周期点的坐标为：A1(15,-12)， A2(15,18)， A3(-18,18)， A4(-18,-18) 第n周期点的坐标为：A1(6n-3,-(6n-6))，A2(6n-3,6n)， A3(-6n,6n)， A4(-6n,-6n) 因为6÷4=1…2，所以A6的坐标，与第2周期的点A2的坐标相同，即(9,12)

因为108÷4=27，所以A108的坐标与第27周期的点A4的坐标相同，(-6×27, -6×27) 解法2：根据题意可知，A1A2=3,A2A3=6,A3A4=8,A4A5=15,当机器人走到A6点时，A5A6=18米，点A6的坐标是（9，12）；

12、（2013?兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为 （ ） ．

解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），∴AB=

=5，

由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12， ∵2013÷3=671，∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点， ∵671×12=8052，∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．

12．（2013?聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为 （ ）

解：由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1）， n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），

n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），所以，点A4n+1（2n，1）．

13．（2013?湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，求点A3和 A92的坐标分别是多少，．

解法1：观察图象，点A1、A2、A3、每3个点，图形为一个循环周期。 根据计算A3的坐标是（0，

﹣1）

﹣1) ) +1) +n-2)，

﹣1)

设每个周期均由点A1，A2，A3，组成。

第1周期点的坐标为：A1(-1,-1)， A2(1,-1)， A3(0, 第2周期点的坐标为：A1(-2,-2)， A2(2,-2)， A3(0, 第3周期点的坐标为：A1(-3,-3)， A2(3,-3)， A3(0, 第n周期点的坐标为：A1(-n,-n)， A2(n,-n)， A3(0,

因为3÷3=1，所以A3的坐标与第1周期的点A3的坐标相同，即(0,

因为92÷3=30…2，所以A92的坐标与第31周期的点A2的坐标相同，即(31, -31) 解法2：∵△A1A2A3的边长为2， ∴△A1A2A3的高线为2×∵A1A2与x轴相距1个单位， ∴A3O=

=

，

﹣1）；

﹣1， ∴A3的坐标是（0，

∵92÷3=30…2， ∴A92是第31个等边三角形的初中第四象限的顶点， 第31个等边三角形边长为2×31=62，

∴点A92的横坐标为×62=31，∵边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位， ∴点A92的纵坐标为﹣31，∴点A92的坐标为（31，﹣31）．

14、如图是某同学在课外设计的一款软件，蓝精灵从O点第一跳落到A1（1，0），第二跳落到A2（1，2），第三跳落到A3（4，2），第四跳落到A4（4，6），第五跳落到A5 ___ ．到达A2n后，要向____方向跳 ____个单位落到A2n+1．

解：∵蓝精灵从O点第一跳落到A1（1，0），第二跳落到A2（1，2），第三跳落到

A3（4，2），第四跳落到A4（4，6），

∴蓝精灵先向右跳动，再向上跳动，每次跳动距离为次数+1，即可得出： 第五跳落到A5（9，6），到达A2n后，要向右方向跳（2n+1）个单位落到A2n+1． 17．（2012?莱芜）将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点A1、A2、A3、…，按此规律，点A2012在那条射线上．

解：如图所示： 点名称射线名称 AB CD BC DA A1 A2 A5 A6 A3 A10 A12 A4 A9 A11 A7 A14 A16 A8 A13 A15 A17 A18 A21 A22 A19 A20 A23 A24 A26 A25 A30 A29 A28 A27 A32 A31 … … … … 根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环， 因为2012=16×125+12，所以点A2012所在的射线和点 A12所在的直线一样． 因为点A2012所在的射线是射线AB，所以点A2012在射线AB上，故答案为：AB． 18、（2011?钦州）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是 _________ ．

解法1：观察图象，每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。

第1周期点的坐标为：P1(1,1)， P2(2,0)， P3(3, 2)， P4(4,0) 第2周期点的坐标为：P1(5,1)， P2(6,0)， P3(7, 2)， P4(8,0) 第3周期点的坐标为：P1(9,1)， P2(10,0)， P3(11, 2)， P4(12,0) 第n周期点的坐标为：P1(4n-3,1)， P2(4n-2,0)， P3(4n-1, 2)，P4(4n,0)

因为2011÷4=502…3，所以P2011的坐标与第503周期的点P3的坐标相同(503×4-1, 2)，即（2011，2）

解法2、根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），

∴第4次运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），…，

∴横坐标为运动次数，经过第2011次运动后，动点P的横坐标为2011，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，

∴经过第2011次运动后，动点P的纵坐标为：2011÷4=502余3，故纵坐标为四个数中第三个，即为2，∴经过第2011次运动后，动点P的坐标是：（2011，2）

19、将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是 _________ ．

解：第1排的第一个数为1， 第2排的第一个数为2，即2=1+1 第3排的第一个数为4，即4=1+1+2 第4排的第一个数为7，即7=1+1+2+3

第n排的第一个数为1+1+2+3+…+n-1=1+n（n-1）/2

将7带入上式得1+n（n-1）/2=1+7×3=22，所以第七排的第二个数是23，即（7，2）表示的实数是23.

20、（2011?锦州）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是 （ ）。点A第103次跳动至点A103的坐标是 （ ）

解法1：观察图象，点A1、A2每2个点，图形为一个循环周期。 设每个周期均由点A1，A2组成。

第1周期点的坐标为：A1(-1,1)， A2(2,1) 第2周期点的坐标为：A1(-2,2)， A2(3,2) 第3周期点的坐标为：A1(-3,3)， A2(4,3) 第n周期点的坐标为：A1(-n,n)， A2(n+1,n)，

因为103÷2=51…1，所以P2011的坐标与第52周期的点A1的坐标相同，即（-52，52）

解法2：（1）观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐

n??n?1, ??2?．第2次跳动至点的坐标是A2（2，1），标是次数的一半，即第n次跳至点的坐标为?2

第4次跳动至点的坐标是A4（3，2）， 第6次跳动至点的坐标是A6（4，3）， 第8次跳动至点的坐标是A8（5，4），

n??n?1, ??22??，∴第100次跳动至点的坐标是（51，50）． 第n次跳动至点的坐标是An

（2）观察发现，第奇数次跳动至点的坐标，横坐标是次数加上1的一半，纵坐标是横坐

?n?1n?1?, ???22?? nn标的相反数，即第次跳动至点A的坐标为

第1次跳动至点的坐标是A1（-1，1），第3次跳动至点的坐标是A3（-2，2）， 第5次跳动至点的坐标是A5（-3，3），第7次跳动至点的坐标是A7（-4，4）， …

?n?1n?1?, ???22??， 第n次跳动至点的坐标是

∴第103次跳动至点的坐标是（-52，52）．

21、（2008?泰安）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3…P2008的位置，则点P2008, P2007的横坐标分别为为( )（ ）

解法1：观察图象，点P1、P2、P3每3个点，图形为一个循环周期。 设每个周期均由点P1、P2、P3组成。

第1周期点的坐标为：P1(1,0)， P2(1,0), P3(2.5,y) 第2周期点的坐标为：P1(4,0)， P2(4,0), P3(5.5,y) 第3周期点的坐标为：P1(7,0)， P2(7,0), P3(8.5,y) 第n周期点的坐标为：P1(3n-2,0)， P2(3n-2,0)， P3(3n-1+0.5,y) 因为2008÷3=669…1，所以P208的坐标与第670周期的点P1的坐标相同， (3×670-2，0)，即（2008，0）所以横坐标为2008

因为2007÷3=669，所以P2007的坐标与第669周期的点P3的坐标相同， (3×669-1+0.5，y)，即（2006.5，y）所以横坐标为2006.5 解法2：观察图形结合翻转的方法可以得出

P1、P2的横坐标是1，P3的横坐标是2.5， P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5.5

…依此类推下去，能被3整除的数的坐标是概数减去0.5即为该点的横坐标。 P2005、P2006的横坐标是2005，P2007的横坐标是2006.5， P2008、P2009的横坐标就是2008．故答案为2008． 2007÷3=667，能被3整除，所以P2007的横坐标为2006.5

其实，关键是确定P2008对应的是P4这样的偶数点还是对应的P8这样的偶数点，可以先观察P3、P6、P9的可以发现3个一循环。由2008÷3=669…1即在第669个循环后面，所以应该是类似P4这样的偶数点，它们的特点是点P4对应的横坐标是4，所以点P2008对应的横坐标是2008

22、（2006?绍兴）如图，将边长为1的正方形OAPB沿z轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006是多少？P2012的横坐标又是多少

解法1：观察图象，点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。 设每个周期均由点P1、P2、P3、P4组成。

第1周期点的坐标为：P1(1,1)， P2(2,0), P3(2,0), P4(3,1) 第2周期点的坐标为：P1(5,1)， P2(6,0), P3(6,0), P4(7,1) 第3周期点的坐标为：P1(9,1)， P2(10,0), P3(10,0), P4(11,1) 第n周期点的坐标为：P1(4n-3,0)，P2(4n-2,0)， P3(4n-2,0), P4(4n-1,1) 因为2006÷4=501…2，所以P2006的坐标与第502周期的点P2的坐标相同， (4×502-2，0)，即（2006，0）所以横坐标为2006.

因为2012÷4=503，所以P2012的坐标与第503周期的点P4的坐标相同， (4×503-1，1)，即（2011，1）所以横坐标为2011 解法2：从P到P4要翻转4次，横坐标刚好加4， ∵2006÷4=501…2，

∴501×4﹣1=2003，（之所以减1，是因为p点的起始点的横坐标为-1）

由上式可知，P2006的位置是正方形完成了501次翻转后，还要再翻两次，即完成类似从P到P2的过程，横坐标加3，即2003+3=2006

则P2006的横坐标x2006=2006．故答案为：2006 ∵2012÷4=503，即正方形刚好完成了503次翻转

因为每4个一循环，可以判断P2012在503次循环后与P4的一致，坐标应该是2012-1=2011∴P2012的横坐标x2012=2011．

23、(2012山东德州中考,16,4,)如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1 (2，0)，

A2O A7A3y A8A4A1A5A2A6x (1，-1)，A3 (0，0)，则依图中所示规律，A2012的坐标为（ ）

解法1：观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点A1、A2、A3、A4组成。

第1周期点的坐标为：A1(2,0)， A2(1,-1), A3(0,0), A4(2,2) 第2周期点的坐标为：A1(4,0)， A2(1,-3), A3(-2,0), A4(2,4) 第3周期点的坐标为：A1(6,0)， A2(1,-5), A3(-4,0), A4(2,6) 第n周期点的坐标为：A1(2n,0)， A2(1,-(2n-1)), A3(-(2n-2),0), A4(2,2n) 因为2012÷4=503,所以P2012的坐标与第503周期的点P4的坐标相同，(2,2x503) 即（2，1006）

解法2：画出图像可找到规律，下标为4n(n为非负整数)的A点横坐标为2，纵坐标为2n,则A2012的坐标为（2，1006）．

24、如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P99，P100，P2009的坐标分别是多少．

解法1：观察图象，点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点P1、P2、P3、P4组成。

第1周期点的坐标为：P1(1,1)， P2(-1,1), P3(-1,2), P4(2,2) 第2周期点的坐标为：P1(2,3)， P2(-2,3), P3(-2,4), P4(3,4) 第3周期点的坐标为：P1(3,5)， P2(-3,5), P3(-3,6), P4(4,6) 第n周期点的坐标为：P1(n,2n-1)，P2(-n,2n-1)， P3(-n,2n), P4(n+1,2n) 因为99÷4=24…3，所以P99坐标与第25周期点P3的坐标相同(-25,2×25)即(-25，50) 100÷4=25，所以P100的坐标与第25周期的点P4的坐标相同(25+1,2×25)即（26，50）

2009÷4=502…1，所以P2009坐标与第503周期点P1的坐标相同(503,2×503-1)即(503，1005)

解法2：经过观察可得：以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100÷2=50；

其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依次类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1．

故点P100的横坐标为：100÷4+1=26，纵坐标为：100÷2=50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26，50）．

25．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(-2,5），B(﹣3,﹣1)，C(1,﹣1)，在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是多少。

解：由平行四边形的性质，可知D点的纵坐标一定是5；

又由C点相对于B点横坐标移动了1﹣（﹣3）=4，故可得点D横坐标为﹣2+4=2， 即顶点C的坐标（2，5）．

26．（2005?济宁）如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将

△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…

已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5，B5的坐标分别是多少．

解：A、A1、A2…An都在平行于X轴的直线上，纵坐标都相等，所以A5的纵坐标是3； 这些点的横坐标有一定的规律：An=2．因而点A的横坐标是2=32；

B、B1、B2…Bn都在x轴上，B5的纵坐标是0；

这些点的横坐标也有一定的规律：Bn=2，因而点B5的横坐标是B5=2=64．

∴点A5的坐标是（32，3），点B5的坐标是（64，0）．

n+1

5+1

n

5

5

27、（2013?湖州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，3），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当点B的横坐标为3n（n为正整数）时，m= （用含n的代数式表示）．

根据题意，分别找出n=1、2、3、4时的整点的个数，不难发现n增加1，整点的个数增加3，然后写出横坐标为3n时的表达式即可．

解：如图，n=1，即点B的横坐标为3时，整点个数为1， n=2，即点B的横坐标为6时，整点个数为4， n=3，即点B的横坐标为9时，整点个数为7， n=4，即点B的横坐标为12时，整点个数为10， 所以，点B的坐标为3n时，整点个数为3n-2．

28、（2013?抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是（-1，-1）、（0，2）、（2，0），点P在y轴上，且坐标为（0，-2）．点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，点P4关于点B的对称点为P5，点P5关于点C的对称点为P6，点P6关于点A的对称点为P7…，按此规律进行下去，则点P2013的坐标是

分析：根据对称依次作出对称点，便不难发现，点P6与点P重合，也就是每6次对称为一个循环组循环，用2013除以6，根据商和余数的情况确定点P2013的位置，然后写出坐标即可．

解：如图所示，点P6与点P重合， ∵2013÷6=335…3， ∴点P2013是第336循环组的第3个点，与点P3重合， ∴点P2013的坐标为（2，-4）．

29、如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2）．把一条长为2013个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A-B-C-D-A-…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是

解：∵A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2），

∴AB=1-（-1）=2，BC=1-（-2）=3，CD=1-（-1）=2，DA=1-（-2）=3， ∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10， 2013÷10=201…3，

∴细线另一端在绕四边形第202圈的第3个单位长度的位置，

14．（2013?东营）如图，已知直线l：y=

x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l

于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，则点A2013的坐标为 （0，42013）或（0，24026）（注：以上两答案任选一个都对） ．

分析： 解答： 根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2的坐标，通过相应规律得到A2013坐标即可． 解：∵直线l的解析式为；y=∵AB∥x轴，∴∠ABO=30°， ∵OA=1，∴AB=， x，∴l与x轴的夹角为30°， 点评： ∵A1B⊥l，∴∠ABA1=60°， ∴AA1=3，∴A1O（0，4）， 同理可得A2（0，16）， … ∴A2013纵坐标为：42013， ∴A2013（0，42013）． 故答案为：（0，42013）． 本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突

破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A、A1、A2、A3…的点的坐标是解决本题的关键． 16．（2012?威海）如图，在平面直角坐标系中，线段OA1=1，OA1与x轴的夹角为30°，线段A1A2=1，A2A1⊥OA1，垂足为A1；线段A2A3=1，A3A2⊥A1A2，垂足为A2；线段A3A4=1，A4A3⊥A2A3，垂足为A3；…按此规律，点A2012的坐标为 （503

﹣503，503

+503） ．

分析： 解答： 过点A1作A1B⊥x轴，作A1C∥x轴A2C∥y轴，相交于点C，然后求出点A1的坐标，以及A1C、A2C的长度，并出A2、A3、A4、A5、A6的坐标，然后总结出点的坐标的变化规律，再把2012代入规律进行计算即可得解． 解：如图，过点A1作A1B⊥x轴，作A1C∥x轴A2C∥y轴，相交于点C， ∵OA1=1，OA1与x轴的夹角为30°， ∴OB=OA1?cos30°=1×=， A1B=OA1?sin30°=1×=， ∴点A1的坐标为（，）， ∵A2A1⊥OA1，OA1与x轴的夹角为30°， ∴∠OA1C=30°，∠A2A1C=90°﹣30°=60°， ∴∠A1A2C=90°﹣60°=30°， 同理可求：A2C=OB=，A1C=A1B=， ﹣，，+）， ++），即（+1+），即（﹣，﹣1，﹣1，+1）， +1）， +）， +）， 所以，点A2的坐标为（点A3的坐标为（点A4的坐标为（点A5的坐标为（点A6的坐标为（…， ﹣+﹣﹣，﹣1+，+1+），即（++），即（﹣1﹣，﹣，当n为奇数时，点An的坐标为（﹣，+）， 当n为偶数时，点An的坐标为（﹣，+）， 所以，当n=2012时，点A2012的坐标为（503故答案为：（503﹣=503﹣503，+=503+503， ﹣503，503+503）． ﹣503，503+503）． 21．（2011?鞍山）如图，从内到外，边长依次为2，4，6，8，…的所有正六边形的中心均在坐标原点，且一组对边与x轴平行，它们的顶点依次用A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10、A11、A12…表示，那么顶点A62的坐标是 （﹣11，﹣11

） ．

分析： =10余2，顶点A62所在的正六边形的边长为（10+1）×2=22，顶点A62在第三象限，继而即可得出答案． 解答： 解：∵=10余2， ∴顶点A62所在的正六边形的边长为（10+1）×2=22， 且顶点A62在第三象限， 其横坐标为﹣=﹣11，纵坐标为﹣）． =﹣11， 故顶点A62的坐标是（﹣11，﹣11故答案为：（﹣11，﹣11）． 22．（2009?德州）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是 （2n﹣1，2n﹣1） ．

分析： 解答： 先求出直线解析式，再寻找规律求解． 解：把A1（0，1），A2（1，2）代入y=kx+b可得y=x+1．可知An的纵坐标总比横坐标多1． 由图易知图中所有的三角形的等腰直角三角形，所以B1（1，1），B2（1+2，2），B3（1+2+4，4），Bn纵坐标为2n﹣1． 观察图可知Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标． ∴Bn+1纵坐标为2n，则An+1的纵坐标为2n，An+1的横坐标为2n﹣1，则Bn的横坐标为2n﹣1． 则Bn的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）． ．

24．（2008?内江）如图，当四边形PABN的周长最小时，a=

分析： 因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了．问题就是PA+NB什么时候最短． 把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时PA+NB最短． 设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值． 解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1）， 作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1）， 设直线AB″的解析式为y=kx+b， 解答： 则，解得k=4，b=﹣7． ∴y=4x﹣7．当y=0时，x=，即P（，0），a=．故答案： ．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fyag.html