2006年全国卷高考文科数学解析版
更新时间:2024-03-21 23:24:01 阅读量: 综合文库 文档下载
2006年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
参考公式:
如果时间A、B互斥,那么P(A?B)?P(A)?P(B) 如果时间A、B相互独立,那么P(A?B)?P(A)?P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概
kk率Pn?k??CnP?1?P?n?k
2球的表面积公式S?4?R,其中R表示球的半径 球的体积公式V?4?R3,其中R表示球的半径 3一、选择题
⑴、设集合M?xx2?x?0,N?xx?2,则 A.M?N?? B.M?N?M C.M?N?M D.M?N?R
⑵、已知函数y?ex的图象与函数y?f?x?的图象关于直线y?x对称,则 A.f?2x??e2x(x?R) B.f?2x??ln2?lnx(x?0) C.f?2x??2ex(x?R) D.f?2x??lnx?ln2(x?0) ⑶、双曲线mx2?y2?1的虚轴长是实轴长的2倍,则m?
11A.? B.?4 C.4 D.
44????⑷、如果复数(m2?i)(1?mi)是实数,则实数m?
A.1 B.?1 C.2 D.?2 ???⑸、函数f?x??tan?x??的单调增区间为
4??????A.?k??,k???,k?Z B.?k?,?k?1???,k?Z
22??3????3???C.?k??,k???,k?Z D.?k??,k??44?44????,k?Z ?⑹、?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且c?2a,则cosB?
A.
1322 B. C. D. 4443⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的
表面积是
A.16? B.20? C.24? D.32?
⑻、抛物线y??x2上的点到直线4x?3y?8?0距离的最小值是 A.
478 B. C. D.3 355⑼、设平面向量a1、a2、a3的和a1?a2?a3?0。如果向量b1、b2、b3,满足bi?2ai,且ai顺时针旋转30o后与bi同向,其中i?1,2,3,则
A.?b1?b2?b3?0 B.b1?b2?b3?0 C.b1?b2?b3?0 D.b1?b2?b3?0
⑽、设?an?是公差为正数的等差数列,若a1?a2?a3?15,a1a2a3?80,则
a11?a12?a13?
A.120 B.105 C.90 D.75 ⑾、用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为
A.85cm2 B.610cm2 C.355cm2 D.20cm2 ⑿、设集合I??1,2,3,4,5?。选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有
A.50种 B.49种 C.48种 D.47种
2006年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 第Ⅱ卷
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.第Ⅱ卷共2页,请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效。
3.本卷共10小题,共90分。
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在横线上。
⒀、已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为26,则侧面与底面所成的二面角等于_______________。
⒁、设z?2y?x,式中变量x、y满足下列条件
2x?y??1 3x?2y?23 y?1
则z的最大值为_____________。
⒂、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有__________种。(用数字作答)
⒃、设函数f?x??cos?3x????0?????。若f?x??f/?x?是奇函数,则
??__________。
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
⒄、(本小题满分12分)
?ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA?2cosB?C取得最2大值,并求出这个最大值。
⒅、(本小题满分12分)
A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效。若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲
21类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为。
32(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率;
(Ⅱ)观察3个试验组,用?表示这3个试验组中甲类组的个数,求?的分布列和数学期望。
⒆、(本小题满分12分)
如图,l1、l2是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段。点A、B在l1上,C在l2上,AM?MB?MN。
(Ⅰ)证明AB⊥NB;
(Ⅱ)若?ACB?60O,求NB与平面ABC所成角的余弦值。
⒇、(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中,有一个以
F10,?3和F20,3为焦点、离心率为
????32的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线
?????????????与x、y轴的交点分别为A、B,且向量OM?OA?OB。求:
(Ⅰ)点M的轨迹方程;
?????(Ⅱ)OM的最小值。
(21)、(本小题满分14分) 已知函数f?x??1?x?axe。 1?x(Ⅰ)设a?0,讨论y?f?x?的单调性;
(Ⅱ)若对任意x??0,1?恒有f?x??1,求a的取值范围。 (22)、(本小题满分12分) 设数列?an?的前n项的和
Sn?412an??2n?1?,n?1,2,3,??? 333(Ⅰ)求首项a1与通项an;
n32n??,证明:?Ti? (Ⅱ)设Tn?,n?1,2,3,?2Sni?1
一、选择题: 1.B 2.D 3.A 4.B 5.C 6.B 7.C 8.A 9.D 10.B 11.B 12.B ππ
二、填空题: 13. 14. 11 15. 2400 16.
36
一、选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 A 24 B 5 C 6 B 7 C 8 A 9 D 10 B 11 B 12 B 1.解:M?xx?x?0={x|0?x?1},N?xx?2={x|?2?∴ M?N?M,选B.
2.解:函数y?ex的图象与函数y?f?x?的图象关于直线y?x对称,所以的反函数,即
????x?2},
f(x)是y?exf(x)=lnx,∴ f?2x??ln2x?lnx?ln2(x?0),选D.
2x223.双曲线mx?y?1的虚轴长是实轴长的2倍,∴ m<0,且双曲线方程为??y2?1,
4∴ m=?1,选A. 424.复数(m?i)(1?mi)=(m2-m)+(1+m3)i是实数,∴ 1+m3=0,m=-1,选B. 5.函数f?x??tan?x?????4??的单调增区间满足k???2?x??4?k???2,
∴ 单调增区间为?k????3???,k???,k?Z,选C. 44?6.?ABC中,a、b、c成等比数列,且c?2a,则b=2a,
a2?c2?b2a2?4a2?2a23=cosB??,选B. 22ac4a47.正四棱柱高为4,体积为16,底面积为4,正方形边长为2,正四棱柱的对角线长即球的直径为26,∴ 球的半径为6,球的表面积是24?,选C.
8.设抛物线y??x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x?3y?8?0的距离为
|4m?3m2?8|24,当m=时,取得最小值为,选A.
3359.向量a1、a2、a3的和a1?a2?a3?0。向量a1、a2、a3顺时针旋转30?后与b1、b2、
b3同向,且bi?2ai,∴ b1?b2?b3?0,选D.
10.?an?是公差为正数的等差数列,若a1?a2?a3?15,a1a2a3?80,则a2?5,
a1a3?(5?d)(5?d)?16,∴ d=3,a12?a2?10d?35,a11?a12?a13?105,选
B.
11.用2、5连接,3、4连接各为一边,第三边长为7组成三角形,此三角形面积最大,面积为610cm,选B.
12.若集合A、B中分别有一个元素,则选法种数有C5=10种;若集合A中有一个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C5=10种;若集合A中有一个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有C5=5种;若集合A中有一个元素,集合B中有四个元素,则选法种数有C5=1种;若集合A中有两个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C5=10种;若集合A中有两个元素,集合B中有两个个元素,则选法种数有C5=5种;若集合A中有两个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有C5=1种;若集合A中有三个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C5=5种;若集合A中有三个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C5=1种;若集合A中有四个元素,集合B中有一个元素,则选法种
5454534322数有C5=1种;总计有49种,选B.
解法二:集合A、B中没有相同的元素,且都不是空集,
从5个元素中选出2个元素,有C5=10种选法,小的给A集合,大的给B集合; 从5个元素中选出3个元素,有C5=10种选法,再分成1、2两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有2×10=20种方法;
从5个元素中选出4个元素,有C5=5种选法,再分成1、3;2、2;3、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有3×5=15种方法;
从5个元素中选出5个元素,有C5=1种选法,再分成1、4;2、3;3、2;4、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有4×1=4种方法;
总计为10+20+15+4=49种方法。选B.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在横线上。
ππ13. 14. 11 15. 2400 16.
36
y5234513.正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为26,底面边长为23,底面积为12,所以正四棱锥的高为3,则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=3, ∴ 二面角等于
C?。 3BAOx?2x?y??1?14.?3x?2y?23,在坐标系中画出图象,三条线的交点分别
?y?1?是A(0,1),B(7,1),C(3,7),在△ABC中满足z?2y?x的最大值是点C,代入得最大值等于11.
15.先安排甲、乙两人在后5天值班,有A5=20种排法,其余5人再进行排列,有A5=120种排法,所以共有20×120=2400种安排方法。 16.
25f'(x)??3sin(3x??),
/则f?x??f?x?=cos(3x??)?3sin(3x??)?2sin(?3x??),为奇
6?函数,∴ φ=
?. 6三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 πB+CAB+CA
17.解: 由A+B+C=π, 得 = - , 所以有cos =sin .
22222B+CAAA
cosA+2cos =cosA+2sin =1-2sin2 + 2sin
2222A13
=-2(sin - )2+
222
πA1B+C3
当sin = , 即A= 时, cosA+2cos取得最大值为 22322
18.解: (1)设Ai表示事件“一个试验组中,服用A有效的小鼠有i只\Bi表示事件“一个试验组中,服用B有效的小鼠有i只\ 124224111依题意有: P(A1)=2×× = , P(A2)= × = . P(B0)= × = ,
339339224111
P(B1)=2× × = , 所求概率为: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)
2221414144
= × + × + × = 4949299
4512545100(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,) . P(ξ=0)=()3= , P(ξ=1)=C31××()2=
99729992434580464
, P(ξ=2)=C32×()2× = , P(ξ=3)=( )3=
992439729ξ的分
44
数学期望: Eξ=3× = .
93
19.解法一: (Ⅰ)由已知l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1 ,
AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN为AC在平面ABN内的射影.
ξ 0 P 1 2 3 布列为:
1251008064 729243243729∴AC⊥NB
(Ⅱ)∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.
∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内
l1 的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平
A 面ABC所成的角.
3AB3HB6在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .
NB32
AB2解法二: 如图,建立空间直角坐标系M-xyz.令MN=1, 则有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),
(Ⅰ)∵MN是 l1、l2的公垂线, l1⊥l2, ∴l2⊥平面ABN. l2→→
平行于z轴. 故可设C(0,1,m).于是 AC=(1,1,m), NB=(1,→→
-1,0). ∴AC·NB=1+(-1)+0=0 ∴AC⊥NB.
l1 A M B x l2 z C H y N H M B
N l2 C
→→→→
(Ⅱ)∵AC =(1,1,m), BC=(-1,1,m), ∴|AC|=|BC|, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=2, 可得NC=2,故C(0,1, 2). →
连结MC,作NH⊥MC于H,设H(0,λ, 2λ) (λ>0). ∴HN=(0,1-λ,-2λ), 1→→→
MC=(0,1, 2). HN·MC = 1-λ-2λ=0, ∴λ= ,
3
122212→→
∴H(0, , ), 可得HN=(0,, - ), 连结BH,则BH=(-1,, ), 33333322→→→→
∵HN·BH=0+ - =0, ∴HN⊥BH, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,
99→
∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又BN=(-1,1,0), 4
→→
3BH·BN6
∴cos∠NBH= = =
23→→
|BH|·|BN|×2
3
a2-b2 =3??yx
20.解: 椭圆方程可写为: 2 + 2 =1 式中a>b>0 , 且 ?3 得a2=4,b2=1,所以曲线3ab
?a =2?
2
2
y2
C的方程为: x+ =1 (x>0,y>0). y=21-x2 (0 4 2 2x 1-x2设P(x0,y0),因P在C上,有0 4x0 ,得切线AB的方程为: y0 y=- 4x014 (x-x0)+y0 . 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x= , y= . y0x0y0 →→→ 由OM=OA +OB得M的坐标为(x,y), 由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为: 14 2 + 2 =1 (x>1,y>2) xy→ (Ⅱ)| OM|2= x2+y2, y2= 411-2x =4+ 4 , x-1 244→ ∴| OM|2= x2-1+2+5≥4+5=9.且当x2-1=2 ,即x=3>1时,上式取等号. x-1x-1→ 故|OM|的最小值为3. ax2+2-a-ax 21.解(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= e. (1-x)22x2-2x (ⅰ)当a=2时, f '(x)= , f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(-2 e(1-x)∞,1), (1,+∞).为增函数. (ⅱ)当00, f(x)在(-∞,1), (1,+∞)为增函数. a-2(ⅲ)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= - a当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表: x (-∞, -+ a-2) a(-a-2,a- a-2) a(a-2,1) a+ (1,+∞) a-2 , x2= a a-2 . a f '(x) f(x) + ↗ a-2), (a↘ ↗ ↗ a-2,aa-2)为减函数. af(x)在(-∞, -a-2,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(-a(Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1. 1 (ⅱ)当a>2时, 取x0= 2a-2 ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0) 1+x- (ⅲ)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有 >1且eax≥1,得 1-xf(x)= 1+x-ax1+x e≥ >1. 综上当且仅当a∈(-∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1. 1-x1-x 412412 22.解: (Ⅰ)由 Sn=an-×2n+1+, n=1,2,3,… , ① 得 a1=S1= a1-×4+ 所以a1=2. 333333412 再由①有 Sn-1=an-1-×2n+, n=2,3,4,… 333 41 将①和②相减得: an=Sn-Sn-1= (an-an-1)-×(2n+1-2n),n=2,3, … 33 整理得: an+2n=4(an-1+2n1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数 - 列,即 : an+2n=4×4n1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n-2n, n=1,2,3, …, - 4121 (Ⅱ)将an=4n-2n代入①得 Sn= ×(4n-2n)-×2n+1 + = ×(2n+1-1)(2n+1-2) 33332 = ×(2n+1-1)(2n-1) 3 2n32n311 Tn= = ×n+1 = ×(n - n+1) nSn2 (2-1)(2-1)22-12-1 所以, ?i?1n3 Ti= 2 ?(i?1n113113 - i+1) = ×(1 - i+1) < 22-122-12-12-1 i 1 (ⅱ)当a>2时, 取x0= 2a-2 ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0) 1+x- (ⅲ)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有 >1且eax≥1,得 1-xf(x)= 1+x-ax1+x e≥ >1. 综上当且仅当a∈(-∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1. 1-x1-x 412412 22.解: (Ⅰ)由 Sn=an-×2n+1+, n=1,2,3,… , ① 得 a1=S1= a1-×4+ 所以a1=2. 333333412 再由①有 Sn-1=an-1-×2n+, n=2,3,4,… 333 41 将①和②相减得: an=Sn-Sn-1= (an-an-1)-×(2n+1-2n),n=2,3, … 33 整理得: an+2n=4(an-1+2n1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数 - 列,即 : an+2n=4×4n1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n-2n, n=1,2,3, …, - 4121 (Ⅱ)将an=4n-2n代入①得 Sn= ×(4n-2n)-×2n+1 + = ×(2n+1-1)(2n+1-2) 33332 = ×(2n+1-1)(2n-1) 3 2n32n311 Tn= = ×n+1 = ×(n - n+1) nSn2 (2-1)(2-1)22-12-1 所以, ?i?1n3 Ti= 2 ?(i?1n113113 - i+1) = ×(1 - i+1) < 22-122-12-12-1 i
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