无穷限反常积分敛散性及审敛法则（教案）

无穷限反常积分敛散性及审敛法则

一、教学目标分析

在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。让学生反常积分在一些实际问题中的应运。

二、学情/学习者特征分析

学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。

三、学习内容分析

1.本节的作用和地位

通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。

2．本节主要内容

1. 无穷限反常积分的定义与计算方法 2. 无穷限反常积分的性质 3. 无穷限反常积分的比较审敛法则

4. 条件收敛与绝对收敛

3.重点难点分析

教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则； 教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。

4.课时要求：2课时

四、教学理念

学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。

五、教学策略

在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。

六.教学环境

网络环境下的多媒体教室与课堂互动。

七、教学过程

一、无穷限反常积分的定义

定义1 设函数／定义在无穷区间[积．如果存在极限

则称此极限为函数

，并称发散．

在[

上的无穷限反常积分(简称无穷积分，记作收敛．如果极限

不存在，亦称

上，且在任何有限区间[

]上可

类似地，可定义在(上的无穷积分：

对于在(上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：

其中为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分

都收敛时它才是收敛的． 注：

，直线

收敛的几何意义是：若在上为非负连续函数，则介于曲线

以及轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积．

例1 讨论无穷积分，，的收敛性．

例2 讨论下列无穷积分的收敛性：二、无穷积分的性质

，

由定义知道，无穷积分收敛与否，取决于积分上限函数在时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则．

定理11.1 无穷积分

，便有

收敛的充要条件是：任给>0，存在G≥，只要

．

此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质． 性质1 若

与也收敛，

且

性 质 2 若在任何有限区间[收敛，并有

上可积，且有

． 收敛，则

亦必

都收敛，

,

为任意常数，则

．

证： 由收敛，根据柯西准则(必要性，任给时，总有

.

，存在G≥，当

. 利用定积分的绝对值不等式，又有

再由柯西准则(充分性，证得收敛

又因，令 取极限，立刻得到不等式.

当收敛时，称为绝对收敛．性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛．但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛．

性质3 若在任何有限区间[(即同时收敛或同时发散，且有

]上可积，

=

，则

+

与,

收敛的另一充要．

同敛态

性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出条件：任给>，存在

，当>G时，总有

事实上，这可由 三、比较判别法

首先给出无穷积分的绝对收敛判别法．由于因此收敛的充要条件是出下述比较判别法： 定理11.2 (比较法则 设定义在[可积，且满足

结合无穷积分的收敛定义而得．

关于上限是单调递增的，

存在上界．根据这一分析，便立即导

上的两个函数和都在任何有限区间[]上

则当散．

收敛时必收敛(或当发散时，必发

例3 讨论的收敛性．

解：由于对收敛．

，而为收敛，故为绝

当选用别法．

作为比较对象时，比较判别法有如下两个推论(称为柯西判

推论1 设定义于[] (，且在任何有限区间[]上可积，则有：

(i当 ,且时, 收敛;

(ii当

推论2 设定义于[有： (i当 (ii当

且时, ，在任何有限区间[

发散. ]上可积，且

．则

时, 时,

收敛; 发散.

推论3 若和都在任何[(i当(ii当

时，由时，由

上可积，，且收敛可推知发散可推知

则有 也收敛； 也发散.

四、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法

这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法． 定理11.3 (狄利克雷判别法 若当

时单调趋于，则无穷积分

收敛，在[

上有界，收敛． 在[

上单调有界，则无

在[

上

定理11.4 (阿贝尔(Abel判别法 若穷积分

收敛．

用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法．

例5 讨论与的收敛性．

解：这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论．下面分两种情形来讨论：

(i当>1时绝对收敛．这是因为

收敛.

而当>1

时收敛，故由比较法则推知

(ii当时条件收敛．这是因为对任意≥1，有，而

当时单调趋于

，故由狄利克雷判别

法推知工当时总是收敛的．

另一方面，由于，其中

时该无穷积分

是收敛的，而是发散的，因此当

不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的． 例6 证明下列无穷积分都是条件收敛的．

证：前两个无穷积分经换元得到

由例5知它们是条件收敛的．对于第三个无穷积分，经换元而得

可以看到，当能收敛．

，它也是条件收敛的．从例6中三个无穷积分的收敛性时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可

八、学习评价

本节成功向学生讲解了两种定积分的推广即反常积分，尤其对无穷反常积分进行介绍，并对其敛散性及审敛性附带介绍。

作业内容：教材 :1（4，6，9）；2；3.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fy8x.html