第6-1章一维波动方程推导

应力波反射法检测基桩原理

1.1 基桩动测技术的发展及国内外研究现状

一百年以前，动力打桩公式 1865年B.de Saint Venant提出一维波动方程 50年代后期A.Smith提出了波动方程在桩基中应用的差分数值 解法，它把锤一桩一土系统简化为质量块、弹簧和阻尼器模型 从而使波动方程打桩分析进入实用阶段。

1967年美国G.G.Goble等人发表了“关于桩承载力的动测研究”一文， 1975年发表了“根据动测确定桩的承载力”研究报告 1970年以后，美国己把动力试桩技术用于实际工程 1977年PDI公司开始生产以PDA(Pile Driving Analyzer)打桩分析仪 采用波动方程程序(Case Pile Wave-equation Analysis program/contimuous,简CAPWAPC程序)对桩的侧阻分布、端阻和桩身缺陷

进行实测波形的拟合法分析。

方便、快捷、一定的准确度被各国接受 要求较高的人员素质、专业理论知识、 丰富的工程经验 缺乏与静荷载试验在桩周分层摩阻力和端阻力方面对比。

1.2.1 一维杆的纵向波动方程

一根材质均匀的等截面弹性杆，长度为L，截

面积为A，弹性模量为E，体密度为ρ 。若杆变

形时符合平截面假定，在杆上端施加一瞬时外

力，单元受力如图所示。图中包含外力、土阻

力、阻尼力的作用。

杆单元受力图

x

u

u u dt t

L

dx

x

x dx x

x

以单元dx为对象，建立x方向的平衡方程得

x 2u x A x dx A Adx 2 x t

由材料力学知识得：

（1）

u x E x

x 2u E 2 x x

2u E 2u 2 t x 2

（2）

将式（2）带入式（1）：

令

c2

E

，即得著名的一维波动方程

2 x 2u c2 2 x t 2

（3）

1.2.2一维波动方程的解

求解一维波动方程有多种方法，常用的有行波法、分离变

量法、特征线法，这里主要介绍基桩检测常用的行波法。

作变量代换：

x ct x ct

（4）

u u u x

u u u c t

(5)

(6)

2u 2u 2u 2u 2 2 2 2 x

2u 2 2u 2u 2u c 2 2 2 2 t

将式（5）～式（8）代入式（4）

(7)

(8)

2u 0

(9)

对式（9）连续两次积分得到方程的通解：

u , f g

（10） （11）

u x, t f x ct g x ct

设问题的初始位移和初始速度分别为：

通解中的函数f和g是具有两阶连续偏导数的任意函数，由波动的初始条件确定。

u( x,0) ( x ) u( x,0) t ( x )

(11)、(12)

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