初中数学矩形、菱形、正方形

矩形、菱形、正方形

一、选择题 1、（2012年上海青浦二模）对角线互相平分且相等的四边形是（ ）

A ．菱形； B．矩形； C．正方形； D．等腰梯形．答案：B

2、（2012兴仁中学一模）若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为

（ ）

（A）20cm （B）18cm （C）16cm （D）12cm 答案：C

3 （2012年江苏海安县质量与反馈）如图，将边长为12cm 的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点， 折痕为MN．若CE的长为8cm，则MN的长为 A．12cm B．12．5cm

C．4 cm 答案：C.

D．13．5cm

M

D E

C 4（2012年江苏通州兴仁中学一模）若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为 第1题图 （ ）

（A）20cm （B）18cm （C）16cm （D）12cm 答案：C.

5(西城2012年初三一模)．如图，顺次连结四边形ABCD各中点得四边形EFGH，要使四边形

EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）

A．AB∥DC 答案：C

6、图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图② 铺成了一个2×2的近似正方形，其中完整菱形共有 5个；若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整

的菱形有13个；铺成4×4的近似正方形图案④，其中完整的菱形有25个;如此下去，可铺成一个n n的近似正方形图案.当得到完整的菱形共221个时，n的值为（ ） A.12 B.11 C.10 D.9 答案：B

2、如图，四边形ABCD是正方形，AG与BD、CD

B．AB＝DC C．AC⊥BD D．AC＝BD

相

交于点E和F，如果AE=5，EF=3,则FG=（ ） A．163

B．8

3 C．4 D．5

7（2012山东省德州二模）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确．．．的有（ ） ○1当AB=BC时，它是菱形 ○2当AC⊥BD时，它是菱形 ○3当∠ABC=900

时，它是矩形 ○4当AC=BD时，它是正方形 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

答案：A

8、（2012江苏扬州中学一模）下列命题中，真命题是（ ▲ ） A．矩形的对角线相互垂直

B．顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是矩形 C．等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

答案：D

9、（2012荆门东宝区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线交点O作OE

⊥AC交AD于E，则AE的长是（ ）．

A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4 答案：

D

第2题

10（2012荆门东宝区模拟）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P

垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN

的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（ ）．

答案：C

11 （2012荆门东宝区模拟） 如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD、BC的中点，

沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM

与

题）

EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM＝DM；②∠ABN＝30°；③AB2＝3CM2；④△PMN是等边三角形．正确的有（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

答案：

C

（第4题）

12、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研) 已知四边形ABCD中，

∠A ∠B ∠C 90 ，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加

的这个条件可以是（ ）． （A）∠D 90 ； 答案：D

13、（盐城地区2011～2012学年度适应性训练）菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为( ★ )

A．2 B．23 C．4 D．43 答案C

14、(2012年普陀区二模)已知四边形ABCD中，∠A ∠B ∠C 90，如果添加一个

（B）AB CD； （C）AD BC； （D）BC CD.

条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ▲ ）． （A）∠D 90； 答案：D

15、(2012年金山区二模)在下列命题中，真命题是（ ） （A）两条对角线相等的四边形是矩形 （B）两条对角线互相垂直的四边形是菱形 （C）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 （D）两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 答案：C

（B）AB CD； （C）AD BC； （D）BC CD.

二、填空题 1、（2012山东省德州三模）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为． 答案：2.4

A

2、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研)在矩形ABCD中，

BC 1,

那么AB BC= ． 3、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，那么四边形BCFE的面积等于

答案：6

4、(2012石家庄市42中二模)如图，甲，乙，丙，丁四个长方形拼成正方形EFGH,中间阴影为正方形，已知，甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm²，四边形ABCD的面积是20cm²．问甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和是______．

答案：48

5、（2012年北京中考数学模拟试卷）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，分别以

A、C为圆心，AO、CO为半径画圆弧，交菱形各边于点E、F、G、H，若AC=2，BD=2，

则图中阴影部分的面积是 ．6（2012年浙江省金华市一模）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，

DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形， 应添加的条件是 ． 答案：AC⊥BD

D G 第1题

7、（2011年上海市浦东新区中考预测）如图，在矩形ABCD中，点F为边CD上一点，沿AF折叠，点D恰好落在BC边上的E点处，若AB=3，BC=5，则tan EFC的值为

3答案：

4

y

A

D

y=

F

B

第17题图

E

O第

x

8、（盐城市亭湖区2012年第一次调研考试）如图4，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM＝ 时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相

D

52似。答案CM＝或CM＝；

5

5

图4

9、（2012上海市奉贤区调研试题）矩形ABCD中，AD 4，CD 2，边AD绕A旋转使得点D落在射线CB上P处，那么 DPC的度数为 ． 答案：75°或15°

10、（2012昆山一模）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1

（如图所示），把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线 BC上的点F处，则F、C两点的距离为

答案：5或1

（第1题）

11、(2012年普陀区二模)如图4，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于 ）．

A

D

F

E

B

C

图4

答案：

12、(2012年普陀区二模)在矩形ABCD中，如果AB 2,BC 1,那么AB BC=

▲ ． 答案

13、(2012年普陀区二模)如图5，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，那么四边形BCFE的面积等于 ▲ ．

AE

H

B

FC

G

D

3

图5

答案：6

三、解答题 1、（2012年上海黄浦二模）（本题满分12分）

如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，联结EB、ED，延长BE交AD于点F．

（1）求证： BEC DEC；

2

（2）当CE CD时，求证：DF EF BF．

A

D

B

C

答案：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BC CD，且 BCE DCE （2分）

又∵CE是公共边，∴△BEC≌△DEC， （2分） ∴∠BEC =∠DEC （1分） （2）联结BD （1分）

∵CE CD， ∴∠DEC =∠EDC （1分） ∵∠BEC=∠DEC，∠BEC =∠AEF， ∴∠EDC=∠AEF． ∵∠AEF+∠FED=∠EDC+∠ECD， ∴∠FED=∠ECD （1分） ∵四边形ABCD是正方形，

11

∴∠ECD=∠BCD =45°，∠ADB=∠ADC= 45°，

22

∴∠ECD=∠ADB （1分） ∴∠FED=∠ADB． （1分） 又∵∠BFD是公共角，∴△FED∽△FBD， （1分） EFDF

F2 EFBF （1分） ，即D

DFBF

2、（2012年浙江丽水一模）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°, ∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H． （1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数

量关系： ；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长． （可利用（2）得到的结论）

解：（1）如图①AH=AB

（2）数量关系成立.如图②，延长CB至E，使BE=DN ∵ABCD是正方形

∴AB=AD，∠D=∠ABE=90° ∴Rt△AEB≌Rt△AND ∴AE=AN，∠EAB=∠NAD

第1题图

∴∠EAM=∠NAM=45° ∵AM=AM ∴△AEM≌△ANM

∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高， ∴AB=AH

（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH， 得到△ABM和△AND

图①

∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90° 分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE．

由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD.

设AH=x，则MC=x 2, NC=x 3 图②

在Rt⊿MCN中，由勾股定理，得

MN2

MC2 NC2∴5 (x 2) (x 3)

解得x1 6,x2 1.（不符合题意，舍去） ∴AH=6.

2

2

2

3（2012年浙江金华五模）矩形纸片ABCD中，AD 12cm式折叠，AE是折痕．

（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；

（2）如图2，DP （3）如图3，DP

11

AD,CQ BC，点D的对应点F在PQ上，求AE的长； 3311

AD,CQ BC，点D的对应点F在PQ上． nn

①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）； ②当n越来越大时，AE的长越来越接近于 ▲ ．

D

C

DPA

F

CDPA

F

C

QQ

PA

F

(第23题图1)

Q

B

(第23题图2)

BB

(第23题图3)

答案：

（1） PQ是矩形ABCD中AD,BC的中点，

AP

11

AD AF, APF 90 ， 22

DPA

C

Q

AFP 30 ， PF 3 AP 63

FAD 60 ， DAE

1

FAD 30 ， 2

B

AE

AD

83cm （3分）

cos30

12

AD 4， AP AD 8 33

（2） DP

FP 2 82 45

DEG

C

作FG CD于点G， AFE 90 ，

AFP EFG， AFP∽ EFG

PFGF

， GF DP 4

AFEF

125

， AE 5

AD2 DE2

1230

（3分） 5

DE EF

（3） DP

12(n 1)112

， AP AD

nnn

DP

A

2n

2n 1

F

C

Q

122n 1

FP AF2 PF2

n

PFGF

同理 AFP∽ EFG

AFEF

B

DE EF

122n 1

AE

AD2 DE2 12

当n越来越大时，AE越来越接近于12． （4分）

4、（2012年浙江金华五模）已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且CE=CF．

求证：AE AF． 答案：

证明：（1）∵ABCD是菱形

∴AB=AD，BC=CD,∠B=∠D （2分） 又 CE=CF

∴BC—CE=CD—CF

即BE=DF （4分） ∴△ABE≌△ADF

A

B

E

C

F

D

∴AE=AF （6分）

5、

如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm的速度向B移动，一直达到B止，点Q以每秒2cm的速度向D移动．

（1）P、Q两点出发后多少秒时，四边形PBCQ的面积为36cm； （2）是否存在某一时刻，使PBCQ为正方形？．

6、(本小题满分8分)如图，如下图均为2 2的正方形网格,每个小正方形的边长均为1．请分别在三个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．

2

答案：略

如图，⊙O的直径AB=8，C为圆周上一点，AC=4，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点 E． (1) 求∠AEC的度数；

（2）求证：四边形OBEC是菱形． 答案： （1）解：在△AOC中，AC=4， ∵ AO＝OC＝4，

∴ △AOC是等边三角形．………1分 ∴ ∠AOC＝60°，

∴∠AEC＝30°．…………………3分

（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l．

∴ OC∥BD． ……………………4分 ∴ ∠ABD＝∠AOC＝60°． ∵ AB为⊙O的直径，

∴ △AEB为直角三角形，∠EAB＝30°． …………………………7分 ∴∠EAB＝∠AEC．

∴ 四边形OBEC 为平行四边形． …………………………………6分 又∵ OB＝OC＝4．

∴ 四边形OBEC是菱形． …………………………………………7 分

7、在正方形ABCD中，O是AD的中点，点P从A点出发沿A→B→C→D的路线匀速运动，移动到点D时停止。

（1）如图1，若正方形的边长为12，点P的运动速度为2单位长度/秒，设t

秒时，正方形

ABCD与∠POD重叠部分的面积为y。 ①求当t=4，8，14时，y的值。 ②求y关于t的函数解析式。

（2）如图2，若点Q从D出发沿D→C→B→A的路线匀速运动，移动到点A时停止。P、Q两点同时出发，点P的速度大于点Q的速度。设t秒时，正方形ABCD与∠POD（包括边缘及内部）重叠部分的面积为S，S与t的函数图像如图3所示。

①P，Q两点在第 秒相遇；正方形ABCD的边长是 ②点P的速度为 单位长度/秒；点Q的速度为 ③当t

S等于9？

答案：

144 6t(0 t 6)

（1）①120,84,24 （3分） ②

y 180 12t(6 t 12) （6分）

108 6t(12 t 18)

（2）①4,4 （8分）

②2,1 （10分）

解释：只有当P，Q相遇于C点时图像分为5段，其余情况图像分为6段，所以甲的速度为乙的速度的2倍。 ③

1113

或 （12分） 52

8、（2012上海市奉贤区调研试题）如图， ABC中， ABC 90，E为AC的中点．

操作：过点C做BE的垂线，过点A作BE的平行线，两直线相交于点D，在AD的延长线上截取DF BE，联结EF、BD．

（1）试判断EF与BD之间有怎样的关系，并证明你所得的结论； （2）如果AF 13，CD 6，求AC的长．

答案：解：（1）如图，EF与BD互相垂直平分． （1分）

证明如下：连结DE、BF， ∵，

∴四边形BEDF是平行四边形． （2分）

CD⊥BE，

∴CD⊥AD，

∵∠ABC=90º，E为AC的中点， ∴BE DE

1

AC， （2分） 2

∴四边形BEDF是菱形． （1分） ∴EF与BD互相垂直平分．

解：（2）设DF BE x，则AC 2x，AD AF DF 13 x． （2分）

在Rt△ACD中，∵AD2 CD2 AC2， （1分） ∴(13 x)2 62 (2x)2． （1分）

3x2 26x 205 0,x1 41(舍去),x2 5. （1分）

∴AC 10． （2分）

9、（2012江苏扬州中学一模）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，

过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。 （1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明

理由。 答案：（1）BD=CD……………1分

证△AEF≌△DEC ∴AF=CD ∵AF=BD

第1题 ∴BD=CD……………5分

(2) 当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形………6分 ∵AF//BD, AF=BD ∴四边形AFBD是平行四边形 ∵AB=AC，BD=CD ∴∠ADB=90° ∴□AFBD是矩形………10分 10．（2012年江苏南通三模）已知：平行四边形ABCD中，E、F 是BC、AB 的中点，DE、

DF分别交AB 、CB的延长线于H、G；

（1）求证：BH =AB；

（2）若四边形ABCD为菱形，试判断∠G与∠H的大小，并证明你的结论．

A

F

第1题图

答案：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴DC=AB，DC∥AB ，∴∠C=∠EBH，∠CDE=∠H 又∵E是CB的中点，∴CE=BE ∴△CDE≌△BHE ，∴BH=DC ∴BH=AB （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠ADF=∠G ∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=AB，∠A=∠C ∵E、F分别是CB、AB的中点，∴AF=CE ∴△ADF≌△CDE ，∴∠CDE=∠ADF ∴∠H=

∠G

11、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图，四边形ABCD中，AD//BC，点E在CB的延长线上，联结DE，交AB于点F，联结DB ， AFD DBE，且

DE2 BE CE.

(1) 求证： DBE CDE；

（2）当BD平分 ABC时，求证：四边形ABCD是菱形.

2答案：（1）证明：∵DE BE CE，

DEBE

． …………………………………………（2分） CEDE

∵ E E， …………………………………………（1分）

∴

∴ DBE∽ CDE．……………………………………… （1分） ∴ DBE CDE． ……………………………………………（1分）

A

（2） ∵ DBE CDE，

又∵ DBE AFD，

∴ CDE AFD．………………………………………………（1分） ∴AB//DC． ………………………………………………（1分） 又∵AD//BC，

∴四边形ABCD是平行四边形 ………………………………………（1分） ∵AD//BC，

∴ ADB 1． ……………………………………………（1分） ∵DB平分 ABC，

∴ 1 2． …………………………………………（1分） ∴ ADB 2．

∴AB AD． ……………………………………………（1分）

∴四边形ABCD是菱形． ……………………………………………………（1分）

12、(2012苏州市吴中区教学质量调研)已知，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，试 判断线段BE与DG的数量关系，并说明理由．

答案：

第2题图

13马鞍山六中2012中考一模）．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及

其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF． （1）求证：△BDF≌△CDE；

（2）若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形．

答案：（1）∵CE∥BF，

∴∠DBF＝∠DCE， ……………………………………2分 ∵D是BC的中点，

∴BD＝CD，

又∠BDF＝∠CDE，

∴△BDF≌△CDE． ……………………………………5分 （2）由（1）知，△BDF≌△CDE．

∴CE＝BF， …………………………………6分 ∵CE∥BF，

∴四边形BFCE是平行四边形． …………………………8分

在△ABC中，∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC，即EF⊥BC，

∴四边形BFCE是菱形， ……………………………………10分 14、（2012年4月韶山市初三质量检测）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q. （1）求证：△ P O D ≌ △Q O B ；

（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形P B Q D是菱形．

【答案】（1）证明： 四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB， ∴△POD≌△QOB （2）解法一： PD=8-t

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，

∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm. 当四边形PBQD是菱形时， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB， ∴△ODP∽△ADB， ∴

ODAD58

，

，即PDBD8 t10

解得t

77

,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形. 44

解法二：PD=8-t

当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=(8-t)cm，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在RT△ABP中，AB=6cm， ∴AP AB BP， ∴t2 62 (8 t)2， 解得t

2

2

2

77

,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形. 44

15、[河南开封2012年中招第一次模拟]（8分）如图，△ABC

外角的平分线， 已知∠BAC=∠ACD。

（1）求证：△ABC≌△CDA；

（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形。 答案：

B

16、（杭州市2012年中考数学模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q,连接BQ.

⑴ 试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有 ADQ ABQ;

⑵ 当 ADQ的面积与正方形ABCD面积之比为1:6时，求BQ的长度，并直接写出．．．．

DC

此时点P在AB上的位置.

答案：(1) 证明：在正方形ABCD中，

ABP

AD AB

DAQ BAQ ∴ ADQ ABQ AQ AQ

(2) 解：∵ ADQ的面积与正方形ABCD面积之比为1:6且正方形面积为36

∴ ADQ的面积为6

过点Q作QE AD于E, QF AB于F, ∵ ADQ ABQ ∴

∴QE QF ∴QE 2 QF

EA

FP

B

D

C

1

AD QE 6 2

∵ BAD QEA QFA 90 ∴四边形AEQF为矩形 ∴AF QE 2 在Rt

QBF中，BQ

∴BF 6 2 4

此时P在AB的中点位置(或者回答此时AP 3)

17（海南省2012年中考数学科模拟）（本题满分11分）如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，BG⊥CE，垂足为点O,交AC于点F，交AD于点G。 D C （1） 证明：BE=AG ；

（2） 点E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB，说明理由。

G F

A

E B

第23题图

答案：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ABC=∠BAD=90°，∴∠1+∠3=90°， ∵BG⊥CE,∴∠BOC=90°∴∠2+∠3=90°, ∴∠1=∠2 ………………………2分 在△GAB和△EBC中，

∵∠GAB=∠EBC=90°,AB=BC,∠1=∠2 ∴△GAB≌△EBC (ASA) …………4分 ∴AG=BE ………………………… 5分

（2）解：当点E位于线段AB中点时，∠AEF=∠CEB …… 6分

D C 理由如下：若当点E位于线段AB中点时，则AE=BE,

由（1）可知，AG=BE ∴AG=AE …………………… 7分

∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAF=∠EAF=45°… 8分

又∵AF=AF,∴△GAF≌△EAF (SAS)

G ∴∠AGF=∠AEF ………………………………………10分 A

由（1）知，△GAB≌△EBC ∴∠AGF=∠CEB,

∴∠AEF=∠CEB ………………………………… 11分 18．（2012广西贵港）（本题满分11分） 如图所示，⊙O的直径AB 6，AM和BN是它的两条切线，D为射线AM上的动点（不

M A D 与A重合），DE切⊙O于E，交BN于C，设AD x,BC y． （1）求y与x的函数关系式；

（2）若⊙O1与⊙O外切，且⊙O1分别与BC、CD 相切于点F、G，求x为何值时⊙O1半径为１．

B 答案：解：（1）如图所示，作DP BN，垂足为P……………1分

∵AM和BN是⊙O的两条切线 ∴ A B 90 ∴四边形ABPD为矩形

∴DP AB 6,AD BP x

∴PC BC BP y x ……………2分

∵DE切⊙O于E

∴ DA DE,CE CB

∴DC DE CE x y ……………3分

由PD PC DC，得62 (y x)2 (x y)2……………4分

2

2

20

E

O

O1

F C

G

N

Q

P

O1

9

（x 0）……………5分 x

（2）连接OC则OC平分 BCD，……………6分

即 y

∵⊙O1分别与BC、CD相切，

∴O1在 BCD的角平分线OC上，连接O1F，则O1F BC，作O1Q AB，

垂

足为Q，则四边形O1QBF为矩形 ……………7分 当⊙O1半径为1时，OQ 3 1 2,OO1 3 1 4， ……………8分 ∴ FCO1 OO1Q 300,BF O1Q 23，FC ∴BC BF FC ……………10分 ∴x

3 ……………9分

99 3，即当x为时，⊙O1半径为1． ……………11分 y319、（2012年上海市黄浦二模）如图7，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，联结EB、ED，延长BE交AD于点F. AD（1）求证：∠BEC =∠DEC ；

（2）当CE=CD时，求证：DF EF BF.

2

答案： BC

图7

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，且∠BCE=∠DCE. …………(2分) 又∵CE是公共边，∴△BEC≌△DEC，………………………………………… (2分)

∴∠BEC =∠DEC.………………………………………………………………… (1分) （2）联结BD .………………………………………………………………………(1分) ∵CE=CD,∴∠DEC =∠EDC.…………………………………………………… (1分) ∵∠BEC =∠DEC，∠BEC =∠AEF，∴∠EDC=∠AEF. ∵∠AEF+∠FED=∠EDC+∠ECD，

∴∠FED=∠ECD.………………………………………………………………… (1分) ∵四边形ABCD是正方形，

11

∴∠ECD=∠BCD =45°, ∠ADB=∠ADC= 45°，∴∠ECD=∠ADB.… (1分)

22

∴∠FED=∠ADB. ……………………………………………………………… (1分) 又∵∠BFD是公共角，∴△FDE∽△FBD，…………………………………… (1分) EFDF2

∴，即DF EF BF. ………………………………………………(1分) DFBF

20、(徐州市2012年模拟)（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE CF，AF DE． 求证：（1）△ABF≌△DCE； （2）四边形ABCD是矩形． A D B C

E F

（第21题） 答案：解：（1） BE CF，

BF BE EF，CE CF EF， BF CE． ······························· 1分 四边形ABCD是平行四边形，

AB DC． ······························ 2分 在△ABF和△DCE中，

AB DC，BF CE，AF DE，

△ABF≌△DCE． ··························· 3分 （2）解法一： △ABF≌△DCE，

B C． ······························ 4分 四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD．

B C 180 ．

B C 90 ． ···························· 5分

·························· 6分 四边形ABCD是矩形．

解法二：连接AC，DB． △ABF≌△DCE， AFB DEC．

AFC DEB． ··························· 4分

在△AFC和△DEB中，

AF DE， AFC DEB，CF BE， △AFC≌△DEB．

AC DB． ······························ 5分 四边形ABCD是平行四边形，

·························· 6分 四边形ABCD是矩形．

21. （盐城地区2011～2012学年度适应性训练）（本题满分12分）如图,△AEF中,∠

EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,

延长BE和DF相交于点C． (1)求证：四边形ABCD是正方形；

(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．(3)若EG=4，GF=6，BM2，求AG、MN的长．

A

H

BE

NF

D

C

(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD, ……2分

由AB=AD，得四边形ABCD是正方形. ……3分 222

(2)MN=ND+DH. ……4分 理由：连接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH， ∠ADH=∠ABD=45°, ∴∠NDH=90°, ……6分

再证△AMN≌△AHN，得MN=NH， ……7分

222

∴MN=ND+DH. ……8分 (3)设AG=x，则EC=x-4,CF=x-6,

22

由Rt△ECF，得(x-4)+(x-6)=100,x1=12,x2=-2(舍去) ∴AG=12.……10分 由AG=AB=AD=12,得BD=122,∴MD=92,

222

设NH=y,由Rt△NHD,得y=(92-y)2),y=52,即MN=52. ……12分 22. （盐城地区2011～2012学年度适应性训练）(本题满分8分)如图，已知E、F分别是

□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．

(1) 求证：四边形AECF是平行四边形；

(2) 若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．

A

F

D

B

E

C

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