圆锥曲线与向量综合题

圆锥曲线与平面向量

考纲透析

考试大纲：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的概念，向量的坐标运算.

[来源:学科网ZXXK]圆锥曲线与平面向量的综合. 新题型分类例析

来源:[Zxxk.Com]1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为(3,0) （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l:y?kx?且OA?OB?2（其 2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，

中O为原点）. 求k的取值范围.

xa22解：（Ⅰ）设双曲线方程为?yb22?1 (a?0,b?0).

由已知得a?3,c?2,再由a?b22?2,得b22?1.

故双曲线C的方程为

x23?y2?1.

（Ⅱ）将y?kx?2代入x23?y2?1得 (1?3k)x?62kx?9?0.

222??1?3k?0,由直线l与双曲线交于不同的两点得?

222????(62k)?36(1?3k)?36(1?k)?0.2即k?13且k2?1. ① 设A(xA,yA),B(xB,yB)，则

xA?xB?62k1?3k2,xAxB??91?3k2,由OA?OB?2得xAxB?yAyB?2,

2而xAxB?yAyB?xAxB?(kxA?22)(kxB?2)?(k?1)xAxB?2k(xA?xB)?2

?(k?1)?91?3k2?2k62k1?3k22?2?3k3k22?7?1.

于是

133k3k222?7?1?2,即?3k3k2?9?1?0,解此不等式得

?k?3. ②

13?k2由①、②得 ?1.

故k的取值范围为(?1,???33)?(33,1).

3.设x,y?R，i、j为直角坐标平面内x轴、y轴正方向上的单位向量，若

??a?xi?(y????3)j, b?xi?(y????3)j，且a?b?4.

（Ⅰ）求点P(x,y)的轨迹C的方程；

[来源学#科#网]

（Ⅱ）若A、B为轨迹C上的两点，满足AM?MB，其中M（0，3），求线段AB的长.

[来源学+科+网]

[启思]

4.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA?OB与a?(3,?1)共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且OM??OA??OB (?,??R)，证明?2??2为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学

知识解决问题及推理的能力. 满分12分. （1）解：设椭圆方程为

xa22?yb22?1(a?b?0),F(c,0)

则直线AB的方程为y?x?c，代入

xa22?yb22?1，化简得

(a?b)x?2acx?ac?ab22222222?0.

2aca?b222令A（x1,y1），B(x2,y2），则x1?x2?,x1x2?ac?aba?b222222.

由OA?OB?(x1?x2,y1?y2),a?(3,?1),OA?OB与a共线，得 3(y1?y2)?(x1?x2)?0,又y1?x1?c,y2?x2?c，

?3(x1?x2?2c)?(x1?x2)?0,?x1?x2??c?a?b2232?c.

6a3即

2aca?b222?3c2，所以a2?3b2.632，

故离心率e?ca?.

（II）证明：（1）知a?3b，所以椭圆

2xa22?yb22?1可化为x?3y22?3b.

2设OM?(x,y)，由已知得(x,y)??(x1,y1)??(x2,y2),

?x??x1??x2, ?M(x,y)在椭圆上，?(?x1??x2)2?3(?y1??y2)2?3b2. ???y??x1??x2.222即?2(x12?3y12)??2(x2?3y2)?2??(x1x2?3y1y2)?3b.①

由（1）知x1?x2?3c2,a2?32c,b22?12c.

2[变式新题型3]

抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，准线l与x轴相交于点A(–1，0)，过点A的直线与抛物线相交于P、Q两点.

[来源学科网]

（1）求抛物线的方程；

（2）若FP?FQ=0，求直线PQ的方程；

来源[学科网]

（3）设AP=λAQ（λ>1），点P关于x轴的对称点为M，证明：FM=-λFQ..

[来源Zxxk.Com]6.已知在平面直角坐标系xoy中，向量j?(0,1),?OFP的面积为23，且

??????????3???OF?FP?,tO?M3????O? . Pj?????????（I）设4?t?43,求向量OF与FP 的夹角?的取值范围；

（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且

|OF|?c,t?(3?1)c,当|OP|取最小值时，求椭圆的方程.

2

7.已知M(0,?2)，点A在x轴上，点B在y轴的正半轴，点P在直线AB上，且满足，????????????????AP??PB，MA?AP?0.

（Ⅰ）当点A在x轴上移动时，求动点P的轨迹C方程；

（Ⅱ）过(?2,0)的直线l与轨迹C交于E、F两点，又过E、F作轨迹C的切线l1、l2，当l1?l2，求直线l的方程.

8. 已知点C为圆(x?1)2?y2?8的圆心，点A（1，0），P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且MQ?AP?0,AP?2AM.

（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程； （Ⅱ）若直线y?kx?k2?1与（Ⅰ）中所求点Q

的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，

且

23?OF?OH?34，求△FOH的面积

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A??2,0?、B?2,0?、C?1,??3??三2?点．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若直线l：y?k?x?1?（k?0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x?4上．

10．如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。

(Ⅰ)设点P分有向线段AB所成的比为λ，证明QP?(QA??QB);

(Ⅱ)设直线AB的方程是x—2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。

10. 已知平面上一定点C(?1,0)和一定直线l:x??4.Ｐ为该平面上一动点，作PQ?l,垂足为

????Q，(PQ?2PC)?(PQ?2PC)?0.

(1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；

????????????(2) 点Ｏ是坐标原点，A、B两点在点Ｐ的轨迹上，若OA??OB?求?的取值范（1??）OC，围．

11. 如图，已知E、F为平面上的两个定点|EF|?6 ，且2EH?EG，|FG|?10，

·GE?0，（G为动点，P是HP和GF的交点）

（1）建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程；

（2）若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB的中垂线与EF

HP（或EF的延长线）相交于一点C，则|OC|＜（O为EF的中点）．

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12．已知动圆过定点?1,0?，且与直线x??1相切.

G

P

H

F

E

????????OP?OQ?0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

(1) 求动圆的圆心轨迹C的方程；

(2) 是否存在直线l，使l过点（0，1），并与轨迹C交于P,Q两点，且满足

13．已知M(4,0),N(1,0)若动点P满足MNMP?6|NP|

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