100测评网中考数学：方案设计型专题复习（苏科版九年级）

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本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 数学：方案设计型专题复习（苏科版九年级）

【考点导航】

方案设计型问题是近几年中考中兴起的一种新题型，它通过设置一个实际问题情景，给出几种方案让考生通过计算选取最佳方案，或给出设计要求，让考生自己设计方案，由于方案不止一种，因而这类题又具有开放型题的特点．方案决策型问题考查考生的数学应用意识，命题的背景广泛，考生自由施展才华的空间大，因此倍受命题者的青睐． 【答题锦囊】

例１ 某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）： 方案1 所有评委所给分的平均数．

方案2 在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．

方案3 所有评委所给分的中位数． 方案4 所有评委所给分的众数．

为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：

人数 3 2 1 3.2 7.0 7.8 8 8.4 9.8 分数

（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；

（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．

【思路点拨】

本题考查考生利用所学的统计知识进行方案设计的能力．借助统计图，计算出平均数、中位数和众数的概念．结合实际情况对四种方案作出合理的选择． [标准解答]

（1）方案1最后得分：

1(3.2?7.0?7.8?3?8?3?8.4?9.8)?7.7； 10方案2最后得分： 1(7.0?7.8?3?8?3?8.4)?8； 8方案3最后得分：8；

方案4最后得分：8或8.4．

（2）因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”， 所以方案1不适合作为最后得分的方案．

因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．

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例2 某小区有一长100m，宽80cm的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图1，阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等矩形)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50m，不大于60m．预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．

(1)设一块绿化区的长边为xm，写出工程总造价y与x的函数关系式(写出x的取值范围)； (2)如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务，若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．

图1

【思路点拨】

此类题运用学过的函数和方程知识进行方案设计．在第（1）小题中，要先用含x的代数式分别表示出阴影区域和空白区域的面积；第（2）小题是一元二次方程根的情况判别，由于b2?4ac＞0，所以方程?40x2?400x?480000?469000有实数根．再根据条件“宽度不小于50m，不大于60m”，可写出工程的三种方案．

[标准解答]

(1)∵出口宽为10?2x， ∴一块绿地的短边为 1?80??100?2x???x?10 2∴y=50?4x(x?10)?60??8000?4x?x?10?? ?200x2?2000x?480000?240x2?2400x． ∴y??40x2?400x?480000(20?x?25)． (2)∵?40x2?400x?480000?469000， ∴x2?10x?275?0． ∴x?10?203．

2=5?103（负值舍去）．∴x?22.32 ∴投资46.9万元能完成工程任务，

方案一、一块矩形绿地的长为23米，宽为13米； 方案二、一块矩形绿地的长为24米，宽为14米； 方案三、一块矩形绿地的长为25米，宽为15米．

例3 某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．

（1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；

（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案． 【思路点拨】

此类题首先要给出多种方案，在此基础上找最佳方案，一种情况是如果方案是有限几个，可以一一计算结果，再比较．另一种情况，如果方案较多，就应该将此题转化成函数或不等式问题进行求解．本题中总费用为W＝2000x＋1800（8-x）=200x+14400．由函数性质可得

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出当x＝5时，W最小．由于方案只有两种，也可以直接计算出两种方案中的费用. [标准解答] （1）由租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车(8?x)辆．

由题意得：??40x?30(8?x)≥290

10x?20(8?x)≥100?解得：5≤x≤6

即共有2种租车方案：

第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆； 第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．

（2）第一种租车方案的费用为5?2000?3?1800?15400元； 第二种租车方案的费用为6?2000?2?1800?15600元 ?第一种租车方案更省费用．.

例4 某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：

类 别 电视机 洗衣机 进价（元/台） 1800 1500 售价（元/台） 2000 1600

计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元．

（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用） （2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价） 【思路点拨】

“最好、最省、最大、最低”等优化设计问题常常与函数的性质和不等式知识有关．解答本题时，需要考生仔细阅读题目中的条件，构建函数和不等式的模型，第（2）小题可归结为求二次函数最值． [标准解答]

（1）设商店购进电视机x台，则购进洗衣机（100－x）台，根据题意，得

1??x?(100?x), 2???1800x?1500(100?x)?161800.解不等式组，得

1133≤x≤39． 33

即购进电视机最少34台，最多39台， 商店有6种进货方案．

（2）设商店销售完毕后获利为y元， 根据题意，得

y＝（2000－1800）x＋(1600－1500)(100－x)＝100x＋10000． ∵ 100＞0， ∴ 当x最大时，y的值最大．

即当x＝39时，商店获利最多为13900元．

例５ 有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图2所示；乙公司每月通话收费标准如表一所示．

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40 http://www.zk5u.com/ 20 O 100 200

图2

表一

y(元) t(分)

月租费 通话费

2.5元 0.15元/分钟

（1）观察图2，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是____元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为_________元；

（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？ 【思路点拨】

这是一道最佳方案设计题，要求考生运用所学知识选择最优方案，通常要建立一次函数模型来解决．第（1）小题要求考生会识图，根据图象求出一次函数的关系式，第（2）小题选择哪家通迅公司更合算，一般分三种情况讨论：y1?y2y1?y2y1?y2．

，，[标准解答]

（1）20；0.2

（2）通话时间不超过100分钟选甲公司合算．

设通话时间为t分钟（t?100），甲公司用户通话费为y1元，乙公司用户通话费为y2元． 则y1?20?0.2(t?100)?0.2t

，

y2?25?0.15t．

当y1?y2 即0.2t?25?0.15t时，t?500．

当y1?y2 即0.2t?25?0.15t时，t?500． 当y1?y2 即0.2t?25?0.15t时，t?500．

答：通话时间不超过500分钟选甲公司；500分钟选甲、乙公司均可；超过500分钟选乙公司．

【中考预测】

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⒈某农场计划建一个养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙(墙足够长)，另外的部分用30米的竹篱笆围成，现有两种方案：①围成一个矩形(如图3左)；②围成一个半圆形(如图3右)．设矩形的面积为S1平方米，宽为x米，半圆形的面积为S2平方米，半径为r米，请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案(π≈3)．

S2 S1 x 图3

⒉小明和小亮用如下的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分．你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平．

图4

⒊某商场设计了两种促销方案：第一种是顾客在商场消费每满200元就可以从一个装有100个完全相同的球(球上分别标有数字1，2，??100)的箱子中随机摸出一个球(摸后放回)．若球上的数字是88，则返购物券500元；若球上的数字是11或77，则返购物券300元；若球上的数字能被5整除，则返购物券5元；若是其它数字，则不返购物券．第二种是顾客在商场消费每满200元直接获得购物券15元．估计促销期间将有5000人次参加活动．请你通过计算说明商家选择哪种促销方案合算些？

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＝14.08（万元）

答：当装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车时，获利最大，最大利润为14.08万元。 ⒍ 解：（1）设该商场能购进甲种商品x件，根据题意，得

15x?35(100?x)?2 700 x?40

乙种商品：100?40?60（件）

答：该商品能购进甲种商品40件，乙种商品60件．

（2）设该商场购进甲种商品a件，则购进乙种商品(100?a)件．根据题意，得

?(20?15)a?(45?35)(100?a)≥750 ?(20?15)a?(45?35)(100?a)≤760?因此，不等式组的解集为48≤a≤50

根据题意，a的值应是整数，?a?48或a?19或a?50 ?该商场共有三种进货方案：

方案一：购进甲种商品48件，乙种商品52件， 方案二：购进甲种商品49件，乙种商品51件， 方案三：购进甲种商品50件，乙种商品50件． （3）根据题意，得

?10第一天只购买甲种商品不享受优惠条件 ?200?20（件）

第二天只购买乙种商品有以下两种情况：

情况一：购买乙种商品打九折，324?90％?45?8（件） 情况二：购买乙种商品打八折，324?80％?45?9（件） ?一共可购买甲、乙两种商品10?8?18（件） 或10?9?19（件）

答：这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共18件或19件． ⒎解：（1）按照方案一配货，经销商盈利： 5?11?5?9?5?17 ?5?13?（元）2（2）只要求填写一种情况． 第一种情况：2，8，6，4； 第二种情况：5，5，4，6； 第三种情况：8，2，2，8 按第一种情况计算： （2×11+17×6）×2=248（元）； 按第二种情况计算： （5×11+4×17）×2=246（元）； 按第三种情况计算： （8×11+2×17）×2=244（元）． 方案一比方案二盈利较多．

（3）设甲店配A种水果x箱，则甲店配B种水果（10-x）箱， 乙店配A种水果（10-x）箱，乙店配B种水果10-（10-x）=x箱。 ∵9×（10-x）+13x≥100，

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∴x≥2

1 ． 2经销商盈利为 y=11x+17×(10-x)+9×(10-x)+13x =-2x+260．

当x=3时，y值最大．

方案：甲店配A种水果3箱，B种水果7箱．乙店配A种水果7箱，B种水果3箱．最大盈利：-2×3+260=254(元)． ⒏解：设搭配A种造型x个，则B种造型为(50?x)个，

依题意，得：??80x?50(50?x)≤3490

40x?90(50?x)≤2950??x≤33

?x≥31解这个不等式组，得：??31≤x≤33

32，33， x是整数，?x可取31，?可设计三种搭配方案：

①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个

②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个 ③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．

（2）方法一：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：33?800?17?960?42720（元） 方法二：方案①需成本：

31?800?19?960?43040（元） 方案②需成本：

32?800?18?960?42880（元） 方案③需成本：

33?800?17?960?42720元

?应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元 ⒐ 解：（1）设高级教师招聘x人，则中级教师招聘(40?x)人

依题意得：

2200x?2000(40?x)≤83000

解此不等式得：x≤15 又∵x≥13

∴13≤x≤15

∵x是正整数，∴x?1314，，15

∴学校对高级教师，中级教师有三种招聘方案

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?方案一:高级教师13人,中级教师27人??方案二:高级教师14人,中级教师26人 ?方案三:高级教师15人,中级教师25人?（2）∵2200?2000，即高级教师的月薪大于中级教师的月薪． ∴高级教师的招聘人数越小，学校所支付的月工资越少． ∵13?14?15

∴当高级教师招聘13人，中级教师招聘27人时，学校所支付的月工资最少．

（3）补表：13、27在学校所支付的月工资最少时，中位数是2100元，众数是2000元 ⒑（1）设每台A品牌电脑m元，每张B品牌课桌n元，则有

?10m?200n?90000， ?12m?120n?90000?解得??m?6000．

?n?150（2）有两种方案．

?5400x?120y?270000?设购电脑x台，课桌y张，则有?x≥35，

?y≥600?2?35≤x≤36?解得?3

??600≤y≤675

x?35时，y?675；x?36时，y?630．

方案①：购电脑35台，课桌675张； 方案②：购电脑36台，课桌630张．

153?3?(h)?45（分钟）， 60445?42，

?不能在限定时间内到达考场．

⒒解：（1）

（2）方案1：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．

15?0.25(h)?15（分钟）． 600.25小时另外4人步行了1.25km，此时他们与考场的距离为15?1.25?13.75（km）

先将4人用车送到考场所需时间为设汽车返回t(h)后先步行的4人相遇，

5t?60t?13.75，解得t?2.75． 132.75h． 13汽车由相遇点再去考场所需时间也是

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所以用这一方案送这8人到考场共需15?2?2.75?60?40.4?42． 13所以这8个个能在截止进考场的时刻前赶到．

方案2：8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点xkm的A处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场．

15?x(h)， 5xx(h)先步行的4人走了5?(km)， 汽车从出发点到A处需6060由A处步行前考场需

设汽车返回t（h）后与先步行的4人相遇，则有60t?5t?x?5?以相遇点与考场的距离为15?x?60?x11x，解得t?， 所6078011x2x?15?(km)． 78013由相遇点坐车到考场需?x??1??(h)． ?4390?x??x11x1????(h)， ?607804390?所以先步行的4人到考场的总时间为?先坐车的4人到考场的总时间?他们同时到达，则有

?x15?x???(h)， 605??x11x1xx15?x?????， 607804390605解得x?13．

将x?13代入上式，可得他们赶到考场所需时间为??132?． ???60?37（分钟）

?605?37?42．

?他们能在截止进考场的时刻前到达考场．

其他方案没有计算说明可行性的不给分．

12. （1）设甲，乙两车速度分别是x千米/时和y千米/时，

?x?2y根据题意得：? ．

x1?y1?90?2??x?120解之得：?．

?y?60即甲、乙两车速度分别是120千米/时、60千米/时．

（2）方案一：设甲汽车尽可能地远离出发点A行驶了x千米， 乙汽车行驶了y千米，则

?x?y≤200?10?2． ??x?y≤200?10∴2x≤200?10?3即x≤3000．

即甲、乙一起行驶到离A点500千米处，然后甲向乙借油50升，乙不再前进，甲再前进

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1000千米返回到乙停止处，再向乙借油50升，最后一同返回到A点，此时，甲车行驶了共3000千米． 方案二：（画图法） 如图

甲行500千米 甲借油50升，甲行1000千米 乙行500千米 甲再借油50升返回 此时，甲车行驶了

500?2?1000?2?3000（千米）．

方案三：先把乙车的油均分4份，每份50升．当甲乙一同前往，用了50升时，甲向乙借油50升，乙停止不动，甲继续前行，当用了100升油后返回，到乙停处又用了100升油，此时甲没有油了，再向乙借油50升，一同返回到A点． 此时，甲车行驶了

50?10?2?100?10?2?3000（千米）．

命题人姓名：严于庆

工作单位：江苏省滨海县果林中学 职称：中学高级教师

联系地址：江苏省滨海县果林中学 邮编：224513 QQ：539816691

电子邮箱：glzxyyq@163.com 手机:13770128361

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