2.3数学归纳法 教学设计 教案

教学准备

1. 教学目标

1、知识与技能

（1）了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)

（2）能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点) 2、过程与方法

（1）通过对例题的探究，体会由猜想到证明的数学方法；

（2）努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率． 3、情感、态度与价值观

通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学态度和勤于思考、善于观察的学习习惯．

2. 教学重点/难点

重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握． 难点：数学归纳法中递推思想的理解

3. 教学用具

多媒体、板书

4. 标签

教学过程

一、课堂探究

【问题导思】

问题1 在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．

1．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？

【提示】（1）第一辆自行车倒下；（2）任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．

2．利用这种思想方法能解决哪类数学问题？ 【提示】一些与正整数n有关的问题．

问题2多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？

答 （1）第一张牌被推倒；（2）任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．

所有的骨牌都倒下，条件（2）给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础． 数学归纳法的定义 1．数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立； ②(归纳递推)假设____________________________．

答案：第一个值n0(n0∈N*)，当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

2．应用数学归纳法时特别注意：

（1）用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题． （2）在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 一、数学归纳法的步骤原理

例1.用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．

证明：（1）n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立． （2）假设n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，

由(1)和(2)可知对任何n∈N*等式都成立．

【答案】从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，第二步证明时，未用到归纳假设．因为证明n＝k＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列的求和公式．

【变式训练】用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n-1)=n2 证明: （1） 当n=1时左＝1，右＝12＝1 ∴n=1时，等式成立

（2）假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k-1)=k2 那么，当n=k+1时

左＝1+3+5+…+(2k-1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右 即n=k+1时命题成立

N*都成立 由(1)、(2)可知等式对任何n?

【小结】数学归纳法证明步骤的框图展示

二、用数学归纳法证明等式

综上所述，对于任何n∈N*，等式都成立．

【小结】用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．

【变式训练】1.用数学归纳法证明等式 1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，当n＝1时，左边所得项是_________；当n＝2时，左边所得项是__________；

n=1时，左边是（）

A、1 B、1+a C、1+a+a2 D、1+a+a2+a3 答案：1.1+2+3 1+2+3+5 2.C 三．用数学归纳法证明不等式

【小结】用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．

综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立． 四、用数学归纳法证明数列问题

下面我们用数学归纳法证明这个猜想．

变式训练】数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，

先计算数列的前4项，再猜想an，并证明． 解：由a1＝2－a1，

【小结】归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．

“归纳—猜想—证明”的一般环节

五、当堂检测

1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有( )

A．命题对所有正整数都成立

B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立

C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确

解析 由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.

3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下： (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝此可

知对于任何n∈N*，等式都成立． 上述证明的错误是______________．

解析：本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．

4．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)． 4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． 证明(1)当n＝1时，左边＝1×

(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2， 那么，当n＝k＋1时，

1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．

＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由

根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．

课堂小结

在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：

（1）验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1； （2）递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；

（3）利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．

根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．

课堂小结

在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：

（1）验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1； （2）递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；

（3）利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．

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