离散数学第2版答案

离散数学第2版答案

【篇一：离散数学课后习题答案_屈婉玲(高等教育出版

社)】

txt>16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。

（1）p∨(q∧r)? 0∨(0∧1) ?0

（2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0.

（3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1） ? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1

17．判断下面一段论述是否为真：“?是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: ?是无理数 1 q: 3是无理数 0 r: 2是无理数 1 s: 6能被2整除 1 t: 6能被4整除 0

命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。

19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q)

（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答： （4）

p q p→q ?q?p?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 01 111 1 0 11 011 1 1 00 100 1 1 11 001 1所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案

3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r)

答：(2)（p→(p∨q)）

∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1 所以公式类型为永真式

(3) p qr p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0000 1 0 0100 1 0 1010 0 0 1110 0 10 010 0 10 111 1 11 010 0 11 111 1

所以公式类型为可满足式

4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r))

(4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r)

（4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q)

5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r

(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解：

（1）主析取范式 (?p→q)→(?q?p) ??(p?q)?(?q?p) ?(?p??q)?(?q?p)

? (?p??q)?(?q?p)?(?q??p)?(p?q)?(p??q) ? (?p??q)?(p??q)?(p?q) ?m0?m2?m3 ?∑(0,2,3)

主合取范式：

(?p→q)→(?q?p) ??(p?q)?(?q?p) ?(?p??q)?(?q?p)

?(?p?(?q?p))?(?q?(?q?p)) ?1?(p??q)

?(p??q) ? m1 ?∏(1)

(2) 主合取范式为：

?(p→q)?q?r??(?p?q)?q?r ?(p??q)?q?r?0 所以该式为矛盾式.

主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为： (p?(q?r))→(p?q?r) ??(p?(q?r))→(p?q?r) ?(?p?(?q??r))?(p?q?r)

?(?p?(p?q?r))?((?q??r))?(p?q?r)) ?1?1 ?1

所以该式为永真式.

永真式的主合取范式为 1

主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7) 第三章部分课后习题参考答案

14. 在自然推理系统p中构造下面推理的证明： (2)前提：p?q,?(q?r),r 结论：?p

(4)前提：q?p,q?s,s?t,t?r 结论：p?q 证明：（2）

①?(q?r) 前提引入 ②?q??r ①置换

③q??r②蕴含等值式 ④r前提引入

⑤?q ③④拒取式 ⑥p?q前提引入

⑦￢p（3） ⑤⑥拒取式

证明（4）： ①t?r 前提引入 ②t①化简律

③q?s 前提引入 ④s?t 前提引入

⑤q?t ③④等价三段论

⑥（q?t）?(t?q) ⑤ 置换 ⑦（q?t） ⑥化简 ⑧q ②⑥ 假言推理 ⑨q?p前提引入 ⑩p⑧⑨假言推理 (11)p?q ⑧⑩合取

15在自然推理系统p中用附加前提法证明下面各推理： (1)前提：p?(q?r),s?p,q 结论：s?r 证明

①s附加前提引入 ②s?p前提引入 ③p ①②假言推理 ④p?(q?r) 前提引入 ⑤q?r③④假言推理 ⑥q 前提引入

⑦r⑤⑥假言推理

16在自然推理系统p中用归谬法证明下面各推理： (1)前提：p??q,?r?q,r??s 结论：?p 证明：

①p结论的否定引入 ②p?﹁q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④￢r?q 前提引入 ⑤￢r ④化简律 ⑥r?￢s 前提引入 ⑦r⑥化简律

⑧r?﹁r ⑤⑦ 合取

由于最后一步r?﹁r 是矛盾式,所以推理正确. 第四章部分课后习题参考答案

3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:

(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9.

【篇二：华东师范大学离散数学章炯民课后习题第2章

答案】

设n1是奇数，证明n整除 (1++?+)(n-1)!2n-1证明：

11+?+)(n-1)!=[(1?1)?(1?1)???(1?1)](n?1)! 2n-11n?12n?2 22

nnn????)(n?1)! n?1n?1n?12(n?2) 22

111????](n?1)! n?1n?1n?1n?2 22 (1+ =( =n[

4求方程963x+657y=(963,657)的所有整数解。 解： （1）

由辗转相除法可得到方程的一个解：x0 =-15，y0=22 设(x?,y?)也是一个解，则963x?+657y?=(963,657)

于是963(x?-x0)+657(y?-y0)=0，从而107(x?-x0)=-73(y?-y0)，所以107?73(y?-y0)。又因为(107,73)=1,所以107?(y?-y0)

设(y?-y0)=107k，则(x?-x0)=-73k，从而x?=x0-73k，y?=y0+107k 容易验证，对于任意整数k，(x0+73k,y0+107k)满足原方程。 所以，原方程有无穷多个解：x=-15-73k y=22+107k

其中k=…,-2,-1,0,1,2,… （2）

963x+657y=(963,657) ? 963x-9=-657y

?x,y?z，963x-9=-657y ? ?x?z，963x≡9 (mod 657)

5．设a、b、c、d是正整数，满足ab=cd。证明：a4+b4+c4+d4不是素数。 证明：设11)(n-1)!∴n整除 (1++?+2n-1adp??，其中p和q是互素的正整数 cbq

aq=cp ? p?aq ? p?a（∵p和q互素） 于是，?u?n，使a=pu ? c=qu

?(p∨q)∧?(p∧q)

5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r

(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解：

（1）主析取范式 (?p→q)→(?q?p) ??(p?q)?(?q?p) ?(?p??q)?(?q?p)

? (?p??q)?(?q?p)?(?q??p)?(p?q)?(p??q) ? (?p??q)?(p??q)?(p?q) ?m0?m2?m3 ?∑(0,2,3)

主合取范式：

(?p→q)→(?q?p) ??(p?q)?(?q?p) ?(?p??q)?(?q?p)

?(?p?(?q?p))?(?q?(?q?p)) ?1?(p??q)

?(p??q) ? m1 ?∏(1)

(2) 主合取范式为：

?(p→q)?q?r??(?p?q)?q?r ?(p??q)?q?r?0 所以该式为矛盾式.

主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为： (p?(q?r))→(p?q?r) ??(p?(q?r))→(p?q?r) ?(?p?(?q??r))?(p?q?r)

?(?p?(p?q?r))?((?q??r))?(p?q?r)) ?1?1 ?1

所以该式为永真式.

永真式的主合取范式为 1

主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)

第三章部分课后习题参考答案

14. 在自然推理系统p中构造下面推理的证明： (2)前提：p?q,?(q?r),r 结论：?p

(4)前提：q?p,q?s,s?t,t?r 结论：p?q 证明：（2）

①?(q?r) 前提引入 ②?q??r ①置换

③q??r②蕴含等值式 ④r前提引入

⑤?q ③④拒取式 ⑥p?q前提引入

⑦￢p（3） ⑤⑥拒取式 证明（4）： ①t?r 前提引入 ②t①化简律

③q?s 前提引入 ④s?t 前提引入

⑤q?t ③④等价三段论

⑥（q?t）?(t?q) ⑤ 置换 ⑦（q?t） ⑥化简 ⑧q ②⑥ 假言推理 ⑨q?p前提引入 ⑩p⑧⑨假言推理 (11)p?q ⑧⑩合取

15在自然推理系统p中用附加前提法证明下面各推理： (1)前提：p?(q?r),s?p,q 结论：s?r 证明

①s附加前提引入 ②s?p前提引入 ③p ①②假言推理 ④p?(q?r) 前提引入 ⑤q?r③④假言推理

⑥q 前提引入

⑦r⑤⑥假言推理

16在自然推理系统p中用归谬法证明下面各推理： (1)前提：p??q,?r?q,r??s 结论：?p 证明：

①p结论的否定引入 ②p?﹁q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④￢r?q 前提引入 ⑤￢r ④化简律 ⑥r?￢s 前提引入 ⑦r⑥化简律

⑧r?﹁r ⑤⑦ 合取

由于最后一步r?﹁r 是矛盾式,所以推理正确. 第四章部分课后习题参考答案

3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命

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