数值分析作业-三次样条插值

数值计算方法作业

实验4.3三次样条插值函数（P126） 实验名称 实验时间 4.5三次样条插值函数的收敛性（P127） 姓名 班级 学号 成绩 实验4.3 三次样条差值函数

实验目的：

掌握三次样条插值函数的三弯矩方法。

实验函数:

f(x)??2?1x??e?t22dt

0.2 0.5793 0.3 0.6179 0.4 0.7554 x 0.0 0.1 F(x) 0.5000 0.5398 求f(0.13)和f(0.36)的近似值 实验内容：

（1） 编程实现求三次样条插值函数的算法，分别考虑不同的边界条件； （2） 计算各插值节点的弯矩值；

（3） 在同一坐标系中绘制函数f(x)，插值多项式，三次样条插值多项式的曲线

比较插值结果。

实验4.5 三次样条差值函数的收敛性

实验目的：

多项式插值不一定是收敛的，即插值的节点多，效果不一定好。对三次样条插值函数如何呢？理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的，通过本实验可以证明这一理论结果。

实验内容：

按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。

实验要求：

（1） 随着节点个数的增加，比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情

况，分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较；

（2） 三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。作为工业应用的例子，考

xk yk ? yk 虑如下例子：某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线，其中一

段数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.8 0.79 1.53 2.19 2.71 3.03 3.27 2.89 3.06 3.19 3.29 0.2 算法描述：

拉格朗日插值：

错误！未找到引用源。

其中错误！未找到引用源。是拉格朗日基函数，其表达式为：li(x)??j?0j?in?x?x?j(xi?xj)

牛顿插值：

Nn(x)?f(x0)?f[x0,x1](x?x0)?f[x0,x1,x2](x?x0)(x?x1)?....?f[x0,x1,x2,...xn](x?x0)(x?x1)...(x?xn?1)f(xi)?f(xj)??f[xi,xj]?xi?xj??f[xj,xk]?f[xi,xj]?f[xi,xj,xk]?xk?xi??其中?.

?.??f[x0,x1...xn]?(f[x1,x2,...xn]?f[x0,x1,...xn?1])/(xn?x0)????

三样条插值：

所谓三次样条插值多项式Sn(x)是一种分段函数，它在节点Xi(a

S(x)?Mi?1?((xi?x)3(x?xi?1)3y?yi?1hi(Mi?Mi?1)?Mi?[i?]x6hi6hihi6yi?1hiMi?1hMy?)?(ii?i),x?[xi?1,xi]hi66hi

式中Mi=S??(xi).

因此，只要确定了Mi的值，就确定了整个表达式，Mi的计算方法如下：

?hi???ihi?hi?1??hi?1?令??i?

hi?hi?1??yi?1?yiyi?yi?16d?(?)?6f[xi?1,xi,xi?1]?i?hi?hi?1hi?1hi?则Mi满足如下n-1个方程：

?iMi?1?2Mi??iMi?1?di,i?1,2,...n?1

常用的边界条件有如下几类：

??m0,S?(xn)?yn??mn （1） 给定区间两端点的斜率m0,mn,即S?(x0)?y0???M0,S??(xn)?yn???Mn （2） 给定区间两端点的二阶导数M0，Mn,即S??(x0)?y0（3） 假设y=f(x)是以b-a为周期的周期函数，则要求三次样条插值函数S（x）

也为周期函数，对S（x）加上周期条件S(p)(x0?0)?S(p)(xn?0),p?0,1,2

6y1?y0??m0)?2M0?M1?h(h?1i对于第一类边界条件有?

?M?2M?6(mn?yn?yn?1)n?1n?hnhn??2M0??0M1?d0对于第二类边界条件有?

?M?2M?dnn?nn?1d0?其中

6?0(f[x0,x1]?m0)?2(1??0)M0h16?n(m0?f[xn?1,xn])?2(1?un)Mnhn

dn?那么解就可以为

?2..?0......??M0??d0?????????1.2..?1.....??M1??d1??.................??M2??d2???????? ....?..2..??n?1n?1??.??.???????...........?..2n???Mn?1??dn?1??.??M??d????n??n?对于第三类边界条件，y0?yn,M0?Mn,S(x0?0)?S(xn?0)，由此推得

2M0??0M1??0Mn?1?d0，其中

?0?hnh16那么解就可以为： ,?0?,d0?(f[x0,x1]?f[xn?1,xn])，

h1?hnh1?hnh1?hn?2..?0.......,,,?0.??M0??d0???????Md?.2..?.....?1?11???1??..........??M??d?.......???2???2? ?....?n?2..2..?n?2??.??.????M??dn?2??n..2?n?2??n?1.........????.??????dn?1???Mn?1???程序代码： 1拉格朗日插值函数

Lang.m

function f=lang(X,Y,xi) %X为已知数据的横坐标 %Y为已知数据的纵坐标 %xi插值点处的横坐标

%f求得的拉格朗日插值多项式的值 n=length(X); f=0; for i=1:n l=1; for j=1:i-1

l=l.*(xi-X(j))/(X(i)-X(j)); end; for j=i+1:n

l=l.*(xi-X(j))/(X(i)-X(j)); end;%拉格朗日基函数 f=f+l*Y(i); end

fprintf('%d\\n',f) return

2 牛顿插值函数

newton.m

function f=newton(X,Y,xi) %X为已知数据的横坐标 %Y为已知数据的纵坐标 %xi插值点处的横坐标

%f求得的拉格朗日插值多项式的值 n=length(X);

newt=[X',Y']; %计算差商表 for j=2:n for i=n:-1:1 if i>=j

Y(i)=(Y(i)-Y(i-1))/(X(i)-X(i-j+1)); else Y(i)=0; end end

newt=[newt,Y']; end

%计算牛顿插值 f=newt(1,2); for i=2:n z=1; for k=1:i-1 z=(xi-X(k))*z; end

f=f+newt(i-1,i)*z; end

fprintf('%d\\n',f) return

3三次样条插值第一类边界条件 Threch.m

function S=Threch1(X,Y,dy0,dyn,xi) % X为已知数据的横坐标 %Y为已知数据的纵坐标 %xi插值点处的横坐标 %S求得的三次样条插值函数的值 %dy0左端点处的一阶导数 % dyn右端点处的一阶导数 n=length(X)-1; d=zeros(n+1,1); h=zeros(1,n-1); f1=zeros(1,n-1); f2=zeros(1,n-2);

for i=1:n%求函数的一阶差商 h(i)=X(i+1)-X(i); f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i); end

for i=2:n%求函数的二阶差商

f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1)); d(i)=6*f2(i); end

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