高中数学典型例题解析：第三章 基本初等函数Ⅱ(三角函数)

三角函数

第三章 基本初等函数Ⅱ（三角函数）

3.1任意角三角函数

一、知识导学

1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.

2．弧度制：任一已知角 的弧度数的绝对值

l

，其中l是以 作为圆心角时所对圆弧r

的长，r为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.

180

1 0.1745rad；360 2 rad；3．弧度与角度的换算：1rad 57.30.

180

用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度4．弧长公式、扇形面积公式：l

不可省略.

r,S扇形＝lr

121

| |r2,其中l为弧长，r为圆的半2

径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当 2 时的情形.

5．任意角的三角函数定义：设 是一个任意大小的角，角 终边上任意一点P的坐标是

x,y ，它与原点的距离是r(r 0)，那么角 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分

别是sin

yxyxrr

,cos ,tan ,cot ,sec ,csc .这六个函数统称rrxyxy

为三角函数.

三角函数

7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）

可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.二、疑难知识导析

1．在直角坐标系内讨论角

（1）角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为x轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.（2）与 角终边相同的角的集合表示.

k 360

,k Z，其中 为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一

定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360整数倍.2．值得注意的几种范围角的表示法

“0～90间的角”指0 90；“第一象限角”可表示为

k 360

k 360 90 ,k Z；“小于90的角”可表示为 90.

3．在弧度的定义中

l

与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关.r

4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P坐标中必有一个为0.5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角 与

k 360 (k Z)的同名三角函数值相等；（2）x r,y r，故有

co s 1,si n 1，这是三角函数中最基本的一组不等关系.

6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？三、经典例题导讲

[例1] 若A、B、C是 ABC的三个内角，且A B C(C 是（ ）

)，则下列结论中正确的个数2

①.sinA sinC ②.cotA cotC ③.tanA tanC ④.cosA cosCA．1 B.2 C.3 D.4

错解： A C ∴ sinA sinC，tanA tanC故选B

错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误

正解：法1 A C在 ABC中，在大角对大边， c a, sinC sinA

三角函数

法2 考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A .

[例2]已知 , 角的终边关于y轴对称，则 与 的关系为 .错解：∵ , 角的终边关于y轴对称，∴

2

2

+2k ，（k z)

错因：把关于y轴对称片认为关于y轴的正半轴对称.正解：∵ , 角的终边关于y轴对称∴

2

2

k ,(k Z)即 2k ,(k z)

说明：（1）若 , 角的终边关于x轴对称，则 与 的关系为 2k ,(k Z)

（2）若 , 角的终边关于原点轴对称，则

与 的关系为

(2k 1) ,(k Z)

（3）若 , 角的终边在同一条直线上，则 与 的关系为 k ,(k Z)

3 4

,cos ，试确定 的象限.2525 3 4

错解：∵sin 0,cos 0，∴是第二象限角，即

25252

[例3] 已知sin

2k

2

2k ,k z.

从而4k 4k 2 ,k z.

故 是第三象限角或第四象限角或是终边在y轴负半轴上的角.错因：导出

3 4

是第二象限角是正确的，由sin 0,cos 0即可确定，22525 3 4

而题中sin ,cos 不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进

2525

一步确定的大小，即可进一步缩小所在区间.

22 3 4

正解：∵sin 0,cos 0，∴是第二象限角，

25252

又由sin

2

3 323

2k ,k z知2k sin

42524

4k

3

4k 2 ,k z，故 是第四象限角.2

[例4]已知角 的终边经过P( 4a,3a)(a 0)，求sin ,cos ,tan ,cot 的值.

三角函数

错解： x 4a,y 3a, r

x2 y2 5a

sin

3a3 4a43a3 4a4 ,cos ,tan ,cot 5a55a5 4a43a3

错因：在求得r的过程中误认为a 0

正解：若a 0，则r 5a，且角 在第二象限

sin

3a3 4a43a3 4a4 ,cos ,tan ,cot 5a55a5 4a43a3

若a 0，则r 5a，且角 在第四象限

sin

3a3 4a43a3 4a4

,cos ,tan ,cot 5a5 5a5 4a43a3

说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解；（2）本题由于所给字母a的符号不确定，故要对a的正负进行讨论.

[例5] （1）已知 为第三象限角，则

是第 象限角，2 是第 象限角；2

（2）若 4，则 是第 象限角.

解：（1） 是第三象限角，即2k 2k

3

,k Z2

k

2

3

k ,k Z，4k 2 2 4k 3 ,k Z24

为第二象限角2

当k为奇数时，为第四象限角

2

当k为偶数时，

而2 的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上.（2）因为

3

4 ，所以 为第二象限角.2

点评： 为第一、二象限角时，

为第一、三象限角， 为第三、四象限角时，为第二、22

四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.

[例6]一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角 等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？

解：设扇形的半径为rcm，则扇形的弧长l (20 2r)cm

扇形的面积S

1

(20 2r) r (r 5)2 252

三角函数

所以当r 5cm时，即l 10cm,

l

2时Smax 25cm2.r

点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值.

[例7]已知 是第三象限角，化简

1 sin1 sin。

1 sin 1 sin

(1 sin )2(1 sin )21 sin 1 sin 2sin

解：原式＝＝ 22

cos cos 1 sin 1 sin

又 是第三象限角， cos 0所以，原式＝

2sin

2tan 。

cos

点评：三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根式；（3）尽可能

使三角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式，进行化简.

[例8] 若角 满足条件sin2 0,cos sin 0，则 在第（ ）象限A.一 B.二 C.三 D.四解：

sin2 0 sin cos 0 sin 0

角在第二象限.故选B.

cos sin 0 cos sin cos 0

[例9] 已知cos cos ，且tan 0.

（1）试判断

sin(cos )

的符号；

cos(sin )

（2）试判断lg(sin cos )的符号.

解：（1）由题意， 1 cos 0，1 sin 0

sin(cos ) 0,cos(sin ) 0，所以

sin(cos )

0.

cos(sin )

（2）由题意知 为第二象限角，sin cos 1，所以lg(sin cos ) 0.四、典型习题导练

1．已知钝角 的终边经过点P sin2 ,sin4 ，且cos 0.5，则 的值为 ）

A．arctan

1

1 B．arctan

2

C． arctan

13 D．24

三角函数

2．角α的终边与角β的终边关于y轴对称，则β为（ ）

A.-α B.л-α C.（2kл+1）л-α(k∈Z) D.kл-α（k∈Z）3.若sinαtgα≥0,k∈Z，则角α的集合为（ ）

，2k +] B.( 2k －,2k +)2222

C.( 2k －，2k +)∪ 2k D.以上都不对

22

4．当0＜x＜ 时,则方程cos ( cosx)=0的解集为( )

A．[2k －

2 5 2

A. , B. , C. D.

336633

5．下列四个值:sin3,cos3,tg3,ctg3的大小关系是( )

A.cos3＜tg3＜ctg3＜sine B.sin3＞cos3＞tg3＞ctg3C.cot3＜tan3＜cos3＜sin3 D.sin3＞tan3＞cos3＞cot3

6．已知x∈(0,

),则下面四式: 中正确命题的序号是. 2

①sinx＜x＜tgx ②sin(cosx)＜cosx＜cos(sinx) ③sin3x+cos3x＜1 ④cos(sinx)＜sin(cosx)＜cosx 7．有以下四组角：(1)k +

ππππ

；(2)k -(3)2k ±；(4)-k +(k∈z)其中终边相同2222

的是（ ）

A.(1)和(2) B.(1)、(2)和(3) C.(1)、(2)和(4) D.(1)、(2)、(3)和(4)

8．若角α的终边过点(sin30°，-cos30°),则sinα等于（ ）

1133A. B.－ C.－ D.－2223

9．函数y=2cos( x ) 1 的定义域是______,值域是______.

3

3.2三角函数基本关系式与诱导公式

一、知识导学

1．同角三角函数的基本关系式

sin2 cos2 1；平方关系：商数关系：tan

sin

；倒数关系：tan cot 1 cos

同角三角函数的基本关系式可用图表示

（1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方；

三角函数

（2）对角为倒数关系；

（3）每个三角函数为相邻两函数的积.

诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”. 3．诱导公式解决常见题型

（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；

（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母. 二、疑难知识导析

1．三角变换的常见技巧

“1”的代换；sin cos ，sin cos ，sin cos 三个式子，据方程思想

知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式sin cos 1）；

2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；

3．已知角 的某个三角函数值，求角 的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围. 三、典型例题导讲

2

2

1

， （0， ），则cot __________ 5

121与sin cos ，错解：两边同时平方，由sin cos 得255

[例1]已知sin cos

(sin cos )2 sin2 2sin cos cos2 4sin cos (sin cos )2 4sin cos

497 sin cos 255

三角函数

433，cos ，进而可求cot .解得：cot 554344cos ，进而可求cot .解得：cot 或sin ，553

∴sin

错因：没有注意到条件 (0, )时，由于sin cos 0 所以sin cos 的值为正而导致错误.

1

， （0， ）， 5

121

0与sin cos 联立， 两边同时平方，有sin cos 255

433cos ， 求出sin ，∴cot 554

正解： sin cos

[例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B为锐角且a＞1,0＜b＜1，求tanA的值 错解：由

sinA asinB　　① cosA bcosB　　②

得tan A=

a

tan B b

错因：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示

sinA asinB　　①

正解：由 ①2+②2得a2sin2B+b2cos2B=1

cosA bcosB　　②

a2 11 b21 b22

∴cosB=2 ∴sinB=2 ∴tan 2B=2

a b2a b2a 1

2

1 b2

∵B为锐角 ∴tan B=

a2 1

①aa1 b2

得tan A=tan B= 2

b②ba 1

[例3]若函数f(x)

1 cos2x4 x)

2

xx

asincos( )的最大值为2，试确定常数a的值.

22

2cos2xxx

解:f(x) asincos

4cosx221a

cosx sinx22

1a21 sin(x ),其中角 满足sin

244 a

1a2

由已知有 4.

44

解之得,a .

三角函数

点评：本试题将三角函数“

2

, ”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基

础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础. [例4]已知tan（1）tan(

2

=2，求

4

)的值； （2）

6sin cos

的值．

3sin 2cos

2 2 4; =2, ∴ tan

1 4231 tan22

4

1tan tan

1 tan 1=所以tan( ) ； 41 tan tan1 tan 1 7

43

46( ) 1

746sin cos 6tan 1（2）由(I), tanα=－, 所以== .

33sin 2cos 3tan 2

3( ) 26

3

解：（1）∵ tan

点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确. [例5]化简：sin(

2tan

4n 14n 1

) cos( )44

(n z)

错解：原式 sin[n (

4

)] cos[n (

4

)]

sin(

4

) cos( ) cos(

4

) sin[ ) 0

2

(

4

)] cos(

4

)

cos(

4

4

错因：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误. 正解：原式 sin[n (

4

)] cos[n (

4

)]

（1）当n 2k 1(k z)，时 原式 sin[2k (

4

)]+cos[2k (

4

)] )=0

sin(

4

) cos(

4

) cos(

4

) cos(

4

（2）当n 2k(k z)，时 原式 sin[2k (

4

)]+cos[2k (

4

)]

sin(

4

)]+cos(

4

)=0

三角函数

[例6]若sin

A．

1 2 ，则cos 2 =（ ） 6 3 3

7117 B． C． D． 9339

错解：cos

7 2

2 =cos[ ( 2 )]=cos( 2 )=1—2sin2( )=

3369 3

错因：诱导公式应用符号错. 正解：cos =—cos(

2

2 =cos[ ( 2 )]

3 3

2 )=—1+2sin2(

7

.故选A.

369

1

[例7]．已知 x 0,sinx cosx .

25

)=—

（1）求sinx－cosx的值；

xxxx

2sincos cos2的值. （2）求

tanx cotx

1122

, 解法一：（1）由sinx cosx ,平方得sinx 2sinxcosx cosx

5252449. (sinx cosx)2 1 2sinxcosx . 即 2sinxcosx 2525

7

又 x 0, sinx 0,cosx 0,sinx cosx 0, 故 sinx cosx .

25

xxxxx3sin2 sincos cos22sin2 sinx 1

（2）

sinxcosxtanx cotx

cosxsinx

3sin2

sinxcosx(2 cosx sinx)

121108

( ) (2 )

255125

1

sinx cosx ,

解法二：（1）联立方程 5

sin2 cos2x 1.

由①得sinx

①②

1

cosx,将其代入②，整理得25cos2x 5cosx 12 0, 5

3

sinx , 34 5 cox s 或coxs . x 0,

4552 coxs .

5

三角函数

故 sinx cosx .

75

xxxx sincos cos2 （2）

tanx cotxx

2sin2 sinx 1

cosxsinx

3sin2

sinxcosx(2 cosx sinx)

3443108 ( ) (2 )

5555125

点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本

知识，以及推理和运算能力.

cos sinα22

[例8] (1)化简： ＋+cosαcscα secα－1csc2 1

2

2

(2)设sin(α+

π1

－且sin2α＞0 24

求sinα,tanα

sinαcosα22

解：原式=＋+cosαcscα 22

tanαcotα

=cosα+sinα+cosαcscα =1+cotα =cscα

(2)解：由sin(α+

π11

)=-∴cosα=- ∵sin2α＞0∴2kπ＜2α＜2kπ+π 244

2

22

2

2

2

2

2

kπ＜α<kπ+

π

(k∈z) ∴α为第一象限或第二象限的角 2

1

∵cosα=- ＜0 ∴α为第三角限角

4sinα15

sinα=-1－cosα＝4 tan α= cosα

15

三角函数

点评：本题要求同学们熟练掌握同角三角函数之间的关系，在求值过程中特别注意三角函数值的符号的探讨.

点评：有部分同学可能会认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数. [例9] 已知sin(

727 ) ,cos2 ,求sin 及tan( ). 410253

解法一:由题设条件，应用两角差的正弦公式得

72 2 sin( ) (sin cos ) 1042

即sin cos

7

① 5

由题设条件，应用二倍角余弦公式得

77

cos2 cos2 sin2 (cos sin )(cos sin ) (cos sin )255

1

故cos sin ②

5

343

由①式和②式得 sin ,cos .因此，tan ，由两角和的正切公式

554

3 tan 3 43 3 48 3. tan( ) 41 3tan 11334 31

4

解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得

793 cos2 1 2sin2 解得sin2 ,即sin 25255

由sin(

77

) ,可得sin cos 4105

77

cos 0,且cos sin 0， 55

3

故 在第二象限，于是sin .

5

74

从而cos sin （以下同解法一）.

55

点评：sin cos ，sin cos ，sin cos 三个式子，据方程思想知一可求其二（因

由于sin

为其间隐含着平方关系式sin cos 1），在求值过程中要注意符号的讨论. 四、典型习题导练

2

2

三角函数

1． 当0＜x＜л时,则方程cos (лcosx)=0的解集为( ) A. ,

л 2л л л л5 л2

B. C. D.,

66 33 3 3

A B

sinC，给出以下四个论断： 2

② 0 sinA sinB

2．在 ABC中，已知tan

① tanA cotB 1

2

③ sin2A cos2B 1 其中正确的是 A．①③

④ cos2A cos2B sin2C

B.②④ C.①④ D.②③

3．设0 x 2 , sinx cosx,则

7 5 3

x x C. D.

444422 1

4．曲线y 2sin(x )cos(x )和直线y 在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依

442

A. 0 x B.

x

次记为P1，P2，P3， ，则|P2P4|等于（ ）

A． B．2 C．3 D．4 5．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x． (1) 求f(

)的值； (2) 设 ∈(0， )，f()＝，求sin 的值． 422

6．已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，

sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小. 7．已知

3 10 ,tan cot 43（1）求tan 的值；

5sin2

（2）求

8sin

cos

11cos2

8

的值。

2

3.3三角函数的恒等变换

一、知识导学

1.两角和、差、倍、半公式

（1） 两角和与差的三角函数公式

( ) sin sin co sco s sin

三角函数

( ) co sco s sin sin cos

tan ( )

ta n tan

1 ta ntan

（2） 二倍角公式

sin2 2sin cos

cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin

2

2

2

2

tan2

2tan

2

1 tan

（3） 半角公式

1 cos 1 cos 1 cos 2 2 ， cos ， tan 222221 cos sin 1 cos

tan

21 cos sin

sin

2

2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等

式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）.

二、疑难知识导析 1．两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.

2．倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如

sin2 2sin cos 成立的条件是“ 是任意角，2 是 的2倍角”，精髓体现在角的“倍

数”关系上.

3．公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用

)(1 tan tan )、和变形使用，也要注意公式成立的条件.例tan tan tan(

sin2

1 cos2 1 cos2 2

、cos 等. 22

4． 三角公式由角的拆、凑很灵活.如2 ( ) ( )、 ( ) 、

2

2

，

2

(

2

) (

2

)等，注意到倍角的相对性.

5．化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与

特殊角的三角函数互化等.

6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式

(1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口.

(2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等求证.

三角函数

三、典型例题导讲

[例1] 在 ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则 C的大小应为( )

A．

6

B．

3

C．

5

或 66

D．

2

或 33

错解：C

错因：求角C有两解后未代入检验. 正解：A

[例2] 已知tan tan 是方程x+33x+4=0的两根，若 ， (-

A．

2

,)，则 + =（ ） 22

3

B．

2或-

33

C．-

2

或 33

2

D．-

3

错解：B.

错因：未能准确限制角的范围. 正解：D.

53

，sinB=，则cosC的值为（ ） 135

1656165616 A. B. C.或 D.

6565656565

[例3] △ABC中，已知cosA= 错解：C

错因：是忽略对题中隐含条件的挖掘. 正解：A

[例4] 已知sin

m 34 2m

，cos （ ），则tan （ ） m 5m 52

4 2mm 3535A、 B、 C、 D、 或

m 34 2m41212

2

2

错解：A

错因：是忽略sin cos 1，而解不出m

正解：C

点评：在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法. 四、典型习题导练

1.已知集合M=yy sinx cosx,x R

N= yy sinxcosx,x R 则MUN等于（ ，

）

A．M B.N C.ф D.y 2 y 2 2.若sinα+cosα=2,则tanα+cotα=( )

A.1 B.2 C.-1 D.-2 3.已知

л4α

＜α＜л＜,sinα=,则cos的值为( ) 252

A.

55或- B.- C. D.以上都不对

2555

三角函数

лθ4θθ4θ

3tantan. ,则tan tan

53333`л13л

5.计算sinsin.

1010

4.已知θ=

6．已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是（ ） A．

22

B．

22

C．

22

D．

1

2

7．已知角A是△ABC的一个内角，且sinA cosA

2

，则△ABC是（ ） 3

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不确定

8.已知向量a (cos ,sin ),b (cos ,sin ),|a b| （1）求cos( )的值； （2）若0

25

. 5

2

,

2

0,且sin

5

,求sin 的值. 13

3.4三角函数的图像与性质

一、知识导学

1.三角函数线.设角 的终边与单位圆交于点P，过点P做PM x轴于M，过点

A(1,0)做单位圆的切线，与角 的终边或终边的反向延长线相交于点T，则有向线段MP,OM,AP分别叫做角 的正弦线，余弦线，正切线.

2.三角函数的图像

（1）y sinx,y cosx,y tanx,y cotx四种图像 （2）函数y Asin( x )的图像 ①“五点作图法” ②图像变化规律

3.三角函数的定义域、值域及周期 4.三角函数的奇偶性和单调性 二、疑难知识导析

1.y Asin( x )+B(A 0, 0)中，A,B, 及 ，对正弦函数y sinx图像的影响，应记住图像变换是对自变量而言.

个单位，应得y sin2(x )，而不是y sin(2x )

666

2.用“五点法”作y Asin( x )(A 0, 0)图时，将 x 看作整体，取0,，

2

3

,,2 来求相应的x值及对应的y值，再描点作图.

2

如：y sin2x向右平移

三角函数

3.y sinx,y cosx,y Asin( x )的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.而y tanx图像只是中心对称图形，掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征，充分利用特征求出中y Asin( x )(A 0, 0)的各个参数.

4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域实质上是解简单的三角不等式（组）.要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数大于零且不等于1，同时还要考虑到函数本身的定义域.可用三角函数图像或三角函数线解不等式（组）.

x型，这要变形成5.求三角函数的值域是常见题型.一类是y asinx bcos

y a2 b2sinx( )；二是含有三角函数复合函数，可利用换元、配方等方法转换

成一元二次函数在定区间上的值域.

6.y Asin( x )(A 0, 0)单调性的确定，基本方法是将 x 看作整体，如求增区间可由2k

2

x 2k

2

(k z)解出x的范围.若x的系数为负

数，通常先通过诱导公式处理.

7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数. 三、典型例题导讲

[例1] 为了得到函数y sin 2x

的图像，可以将函数y cos2x的图像（ ） 6

A 向右平移

B 向右平移 C 向左平移 D向左平移 6363

错解：A

错因：审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 正解：B

[例2] 函数y sinx 1 tanx tan 的最小正周期为( )

x 2

A

错解：A

B 2 C

3 D

22

错因：将函数解析式化为y tanx后得到周期T ,而忽视了定义域的限制,导致出错. 正解：B

[例3]下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+称的三角函数有（

A．1

),其中以点(,0)为中心对44

D．4

）个.

B．2

C．3

三角函数

错解：B

错因：对三角函数图像的对称性和平移变换未能熟练掌握. 正解：D

[例4]函数y 2sin(A. [0,

6

2x)(x [0, ])为增函数的区间是 ( )

] 3

B. [

12

,

7

] 12

C. [

3

,

5 ] 6

D. [

5

, ] 6

错解：B

错因：不注意内函数的单调性. 正解： C

[例5]已知定义在区间[ , ]上的函数y f(x)的图像关于直线

其图像如图所示.

23

2

当x [ , ]时，函数f(x) Asin( x )(A 0, 0, )

， x 对称，

6632

3

（1）求函数y f(x)在[ , ]的表达式； （2）求方程f(x)

]时，函数f(x) Asin( 解：（1）当x [6, 图像易得：A 1, 1, 3，即时，函数f(x) sin(x 3)，

2

的解. 2

x

3

由函数y f(x)的图像关于直线

x 6

对称得，x [ , ]时，

sin(x 3)

函数f(x) sinx. ∴f(x)

sinx

]x [ ,3

6

.

x [ , )6

2 2

（2）当x [ 6,3 ]时，由sin(x 3) 2得， x 或 x 或x ；

3

4

4

12

12

当

x [ , ]6时，由 sinx

2x

2得，

或x .

3 2

∴方程f(x) 2的解集为{ 4 ,5 }, , 41212

3.5解三角形及三角函数的应用 一、知识导学

1.解三角形的的常用定理:

(1) 内角和定理:A B C 结合诱导公式可减少角的个数.

abc

2R（R指△ABC外接圆的半径） sinAsinBsinC111

(S absinC bcsinA acsinB)

222

(2) 正弦定理:

222

(3) 余弦定理: a b 2abcosC c及其变形.

三角函数

(4) 勾股定理: Rt ABC中a b c

2.解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其他的边角的问题.

三角函数的应用是指用三角函数的理论解答生产、科研和日常生活中的实际应用问题.他的显著特点是（1）意义反映在三角形的边、角关系上，有直角三角形，也有斜三角形.（2）函数模型多种多样，有三角函数，有代数函数，有时一个问题中三角函数与代数函数并存.解三角函数应用题一般首先审题，三角函数应用题多以“文字语言，图形语言”并用的方式，要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路；其次，寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论. 二、疑难知识导析

1.对各类定理的应用要注意使用其变形逆用.同时充分利用方程的思想知道其中的部分量可

求出其他量.

2.三角函数的应用主要是图像和性质的应用.

3.三角形中元素关系的应用与实际问题中的应用关键是如何建立数模结构. 三、经典例题导讲

2

[例1]已知方程x 4ax 3a 1 0（a为大于1的常数）的两根为tan ，tan ，

222

且 、

, ，则tan的值是_________________.

2 22

错解： ta n,tan 是方程x2 4ax 3a 1 0的两个根

tan tan 4a，tan tan 3a 1

由tan

=

tan tan 4a4

2. ==可得tan21 tan tan 1 3a 13

2

错因：忽略了隐含限制tan ,tan 是方程x 4ax 3a 1 0的两个负根，从而导致错

误.

正解： a 1 ta n tan 4a 0，tan tan 3a 1 o

2

tan ,tan 是方程x 4ax 3a 1 0的两个负根

又 ,

, , ,0 即 ,0 2222 2

tan tan 4a4

2. ==可得tan21 tan tan 1 3a 13

由tan

答案: -2 .

=

三角函数

[例2]在 ABC中，已知a，b，c是角A、B、C的对应边，则 ①若a b，则f(x) (sinA sinB) x在R上是增函数； ②若a2 b2 (acosB bcosA)2，则 ABC是Rt ； ③cosC sinC的最小值为 2； ④若cosA cos2B，则A=B；

⑤若(1 tanA)(1 tanB) 2，则A B 错解：③④⑤中未考虑0 C . 错因：④中未检验. 正解：错误命题③⑤.

① a b sinA sinB, sinA sinB 0

3

，其中错误命题的序号是_____. 4

f(x) (sinA sinB)x在R上是增函数。

②a2 b2 c2,a2 b2 c2,则 ABC是Rt . ③sinc cosc

2sin(c

4

),当sin(c

4

) 1,时最小值为 2.

显然0 c ,.得不到最小值为 2.

④cos2A cos2B i 2A 2B,A B

或2A 2 2B,A B,A B (舍) ， A B.

⑤1 tanA tanB tanA tanB 2,1 tanA tanB tanA tanB

错误命题是③⑤.

sinxcosx

[例3]函数f(x)=的值域为______________.

1 sinx cosx

错解：

tanA tanB

1，即tan(A B) 1， A B

1 tanA tanB4

2121

, 2222

2

t 1

1 错因：令t sinx cosx后忽视t 1,从而g(t)

正解：

2121

1, , 1 2222

[例4] cot20 cos10 3sin10 tan70 2cos40 ＝

三角函数

【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值 解：cot20 cos10 3sin10 tan70 2cos40

cot200cos100sin100sin700＝ 2cos400 00

sin20cos70cos200cos100 3sin100cos2000

＝ 2cos400

sin20

2cos400

2cos200(cos100sin300 sin100cos300)0 2cos40

sin200

2cos200sin400 2sin200cos400

sin200

2

【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.

[例5] 在锐角△ABC中，A＜B＜C,且B=60°,

1 cos2A)(1 cos2C)=

1

,求证：a+2b 2c. 2

1 2

解：∵B=60° ∴A+C=120° cos(A+C)=-

又由已知2cosA 2cosC=

22

1

∵锐角△ABC中，cosA＞0，cosC＞0， 2

∴cosAcosC=

1 1

sinAsinC= 443

即C－A=30° 2

∴cos(C－A)=

∴A=45° B=60° C=75°

∴a+2b=2R(sin45°+2sin60°)=2·2R

2 6

=2·2Rsin75°=2c 4

[例6]如图,在平面有点A、B、P、Q，其中AB ，

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