数学建模，易拉罐的设计

一、概论

对实际现象的定量研究的重要性和挑战在于怎样去建立能够更好地了解该现象,并且可以应用数学方法来解决的数学模型(数学问题). 实际现象通常都是极为复杂的, 不经过理想化和简化是很难进行定量研究的. 因此, 数学建模的全过程大体上可归纳为以下步骤：

1. 对某个实际问题进行观察、分析(是否抓住主要方面);

2. 对实际问题进行必要的抽象、简化，作出合理的假设(往往是很不容易的); 3. 确定要建立的模型中的变量和参数; 4. 根据某种“规律”(已知的各学科中的定律, 甚至是经验的规律) 建立变量和参数间确定的数学关系 (明确的数学问题或在这个层次上的一个数学模型), 这可能是一个非常具有挑战性的数学问题;

5. 解析或近似地求解该数学问题. 这往往涉及复杂的数学理论和方法, 近似方法和算法; 6. 数学的结论能否展示、解释甚至预测实际问题中出现的现象, 或用某种方法 (例如，历史数据、实验数据或现场测试数据等) 来验证结

论是否合理、正确, 这也是很不容易的; 7. 如果第 6 步的结果是肯定的，那么就可以付之试用; 如果是否定的，那就要回到第 1 – 6 步进行仔细分析，重复上述建模过程。 因此，如果要对数学建模下定义的话, 那就是: 数学建模就是上述7个步骤的多次重复执行的过程. 或用框图来表示如下：

观察、分析实际问题 →→→→→→→→ ↓ ↑ 抽象、简化，确定变量和参数 ↑ ↓ 利用某种“定律”建立变量 和参数间的确定的关系（数学 问题, 这个层次上的一个数学 模型） ↑ ↓ 解析或“近似”地求解该 数学问题（数学模型） ↓ 解释、验证 ↑ ↓ ←←←←←← 通不过 ↓

↓ 通过 ↓ 可应用该数学模型

由此可见, 数学建模过程中最重要的三个要素, 也是三个最大的难点是:

1. 怎样从实际情况出发做出合理的假设, 从而 得到可以执行的合理的数学模型;

2. 怎样求解模型中出现的数学问题, 它可能是 非常困难的问题;

3. 怎样验证模型的结论是合理、正确、可行的.

所以, 当你看到一个数学模型时, 就一定要问问或者想一想它的假设是什么,是否合理? 模型中的数学问题是否很难, 数学上是否已经解决? 怎样验证该模型的正确与可行性? 当你在学习有关后继课程或参加具体的数学建模活动时牢记这三条, 一定会受益匪浅.

另外, 在建模过程中还有一条不成文的原则: “从简单到精细”, 也就是说, 首先建立一个比较简单但尽可能合理的模型, 对该模型中的数学问题有可能解决很彻底, 从而能够做到仅仅通过实验观察不可能做到的事情, 甚至发现重要的现象. 如果在求解该模型的结果不合理, 甚至完全错误, 那么它也有可能告诉我们如何改进的方向.

要想比较成功地运用数学建模去解决真正的实际问题, 还要学习“双向翻译”的能力, 即能够把实际问题用数学的语言表述出来, 而且能够把数学建模得到的(往往是用数学形式表述的)结果, 用普通人(或者说要应用这些结果的非数

学专业的人士)能够懂的普通语言表述出来.

二、可口可乐罐头为什么是这种样子?

可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 为什么? 它们的形状为什么是这样的?

用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器，问应当如何设计，才能使用料最省，这时圆柱的直径和高之比为多少?

实际上, 用几何语言来表述就是: 体积给定的正圆柱体, 其表面积最小的尺寸 (半径和高)为多少?

表面积用 S 表示, 体积用 V 表示, 则用微积分的典型的解法是

S(r,h)?2?r h??r2??r2?2?[r2?rh]V?? rh, h?V/? rS(r)?2?[r?V/?r]V2?V3S?(r)?2?(2r?2)?2(2r?)?0

?rr?Vr?,

2?3222

VVh?2??r?34?234?2V338V???2r?d. 222V?V2?结论: 正圆柱体的直径等于高.

一个可口可乐饮料罐具体测量:

顶盖的直径和从顶盖到底部的高: 约为6厘米和12厘米.

中间胖的部分的直径约为6.6厘米，胖的部分高约为10.2厘米.

可口可乐饮料罐上标明净含量为355毫升(即355立方厘米). 实际的罐内体积为365毫升.

简化模型

分析和假设：首先把饮料罐近似看成一个正圆柱

是有一定合理性的. 要求饮料罐内体积一定时, 求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.

实际上，饮料罐的形状是如下平面图形绕其中轴线旋转而成的立体。

用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬(厚, 因为要使劲拉), 假设除易拉罐的顶盖外, 罐的厚度相同, 记作b, 顶盖的厚度为 ? b. 想象一下, 硬度体现在同样材料的厚度上(有人测量过, 顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的 3 倍). 因此, 我们可以进行如下的数学建模. 这时必须考虑所用材料的体积(或

者每单位体积的材料的价格).

明确变量和参数：设饮料罐的半径为 r（因此，直径为 d = 2r）, 罐的高为 h. 罐内体积为 V. b 为除顶盖外的材料的厚度. 其中 r, h 是自变量, 所用材料的体积 SV 是因变量, 而 b 和 V 是固定参数, ?是待定参数. 饮料罐侧面所用材料的体积为

(?(r?b)??r)(h?(1??)b)?(2?rb??b2)(h?(1??)b)?2?rhb?2?r(1??)b?h?b??(1??)b22322

饮料罐顶盖所用材料的体积为 ?b?r

2b?r饮料罐底部所用材料的体积为 所以, SV 和 V 分别为,

2SV(r,h)??b[(1??)(r?b)2?(2r?b)h] ?2?rhb?(1??)?r2b ?2?r(1??)b?h?b??(1??)b V(r,h)??r2h因为 b因此

223r, 所以带 b, b的项可以忽略

223SV(r,h)?S(r,h)?2?rhb??r(1??)b

记 g(r,h)?? rh?V.

于是我们可以建立以下的数学模型：

r?0, h?02minS(r,h)s.. tg(r,h)?0

其中 S 是目标函数，g(r,h)?0是约束条件, V

是已知的(即罐内体积一定), 即要在体积一定的条件下, 求罐的体积最小的 r, h 和

?使得 r, h

和测量结果吻合. 这是一个求条件极值的问题. 模型的求解：

方法1: (从约束中解出一个变量，化约束极值问题为求一元函数的无约束极值问题) 从 g(r,h)??rh?V?0 解出 h?V/? r,

22代入 S, 使原问题化为：求 d : h 使 S 最小, 即, 求 r 使

2V2S(r,h(r))?b[??(1??) r] r最小.

求临界点: 令其导数为零得

dSV2b?2b[(1??)?r?2]?2((1??)?r3?V)?0. drrrV3r?解得临界点为 (1??)?, 因此

2(1??)?2Vh?()?2(1??)(3)?V(1??)?V3(1??)d ?(1??)r?.2顶盖的厚度是其他材料厚度的 3 倍.

测量数据为 h/d=2, 即 4?1??, ?=3, 即为验证这个 r 确实使 S 达到极小. 计算 S

的二阶导数

2VS???4b[2?(1??)?3]?0, r r?0.

所以, 这个 r 确实使 S 达到局部极小, 因为临

界点只有一个, 因此也是全局极小. 方法2: 利用算术几何平均值不等式：

n1nai?n?ai, ai?0, i?1,...,n， ?ni?1i?1当且仅当a1?a2?...?an时等号成立. (n = 2,3 时有明显的几何意义: 周长一定的矩形中正方形的面积最大; 三边长的和一定的长方体中立方体的体积最大.) 算术几何平均值不等式是一类等周不等式. 令

Vn?3, a1?a2?, a3?(1??)r2,

?r于是有

VV[??(1??)?r2]/3?3(1??)?V2，当且仅当 rrVV?(1??)r2时等号成立，3r?即在0(1??)?处达到极?r小值. 结果相同.

注意，如果不忽略高级无穷小量，那么

SV(r,h)??b[(1??)(r?b)?(2r?b)h]

2h?V/? r把 ,代入SV，得

2VSV(r)??b[(1??)(r?b)?(2r?b)2]

?r2求临界点，得

2V2(2r?b)VSV?(r)??b[2(1??)(r?b)?2?]3?r?rVV ?2?b(r?b)((1??)?3)?0, r0?3?r(1??)?

因此

VV32(1??)?2Vh?2?()?2(1??)(3)?r0?V(1??)?(1??)d ?(1??)r0?2

又因为 SV???2b(2??(3b?2r)V)?0, r?0. 所以 4rVr0?3(1??)? 是唯一的临界点，因而是全局极小点. 当??3, 即高等于2倍的直径时，制作饮料罐时所用的材料最省.

验证和进一步的分析：有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的 3 倍.

如果易拉罐的半径为3厘米, 则其体积为

V3 r?按照4?计算, V = 365立方厘米, 可以算得

r = 3.074厘米.

讨论、争论, 建立自己的数学模型. 下面只是一种可能的考虑.

粗略的计算, 可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为 3 厘米，下底半径为 3.3 厘米, 高为 1 厘米的锥台, 二是半径为 3.3 厘米, 高为 10.2 厘米的正圆柱体. 它们的体积分别为 31.2 立方厘米和 349 立方厘米总共为 380.2 立方厘米.

然后, 我们再来通过测量重量或容积来验证. 我们可以认为 1 立方厘米的水和饮料的重量都是 1 克.

测量结果为: 未打开罐时饮料罐的重量为 370 克, 倒出来的可乐确实重 355 克, 空的饮料罐重量为 15 克, 装满水的饮料罐重量为 380 克. 这和我们的近似计算 380.2 立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料, 而是留有 10 立方厘米的空间余量.

有意思的是, 计算饮料罐的胖的部分的直径和高的比为 6.6/10.2 = 0.647, 非常接近黄金分割比 0.618. 这是巧合吗? 还是这样的比例看起来最舒服, 最美?

此外, 诸如底部的形状, 上拱的底面, 顶盖实际上也不是平面的, 略有上拱, 顶盖实际上是半径为 3 + 0.4 + 0.2 = 3.6 平方厘米的材料冲压而成的, 从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐压. 所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求, 必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定. 因此, 同学们可以体会到真正用数学建模的方法来进行设计是很复杂的过程, 只依靠数学知识是不够的, 必须和实际工作者的经验紧密结合.

实际上, 这类问题是数学中著名的等周问题的推广或扩充的一些特例.

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