2013年中考压轴题全面突破之五：四边形的存在性(含答案)

中考数学压轴题全面突破之五 四边形的存在性

题型特点

四边形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊四边形的问题，如：平行四边形、菱形、梯形的存在性等，往往结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算等．

解题思路

①寻找定量，结合特殊四边形判定确定分类；

②转化四边形的存在性为点的存在性或三角形的存在性； ③借助几何特征建等式．

难点拆解

①平行四边形存在性，由定线分别作边、对角线分类，通过平移或旋转

画图，借助坐标间关系及中点坐标公式建等式求解． ②菱形存在性可转化为等腰三角形存在性处理．

③等腰梯形存在性通常直接表达两腰长，利用两腰相等建等式；两腰不易表达，借助对称性和中点坐标公式联立求解． ④直角梯形存在性关键是利用好直角．

1. （2012湖北孝感）如图，抛物线错误！未找到引用源。(a≠0)与x轴交于点

A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．

（2）P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时点P的坐标．

（3）点Q是抛物线在第一象限上的一个动点，过点Q作QN∥AC交x轴于点

N．当点Q的坐标为_________时，四边形QNAC是平行四边形；当点Q的坐标为_________时，四边形QNAC是等腰梯形．

2. （2012黑龙江牡丹江）如图，OA，OB的长分别是关于x的方程x2-12x+32=0的两

根，且OA>OB．请解答下列问题： （1）求直线AB的解析式．

（2）若P为AB上一点，且错误！未找到引用源。，求过点P的反比例函数的解析式．

（3）在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，P，O，Q为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3. （2012湖北襄阳）如图，在矩形OABC中，AO 10，AB 8，沿直线CD折叠矩形

OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线错误！未找到引用源。经过O，D，C三点．

（1）求AD的长及抛物线的解析式．

（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点

C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似？

（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标；若不存在，请说明理由．

4. （2010贵州遵义）如图，已知抛物线错误！未找到引用源。(a ≠ 0)的顶点坐

标为Q(2，-1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与点

A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D． （1）求该抛物线的函数关系式．

（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．

（3）在（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以

A，P，E，F为顶点的平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

5. （2012山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点

B(1，0)，C(3，0)，D(3，4)，以A为顶点的抛物线错误！未找到引用源。过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E． （1）求点A的坐标及抛物线的解析式．

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？求出t的值．

四边形的存在性

1. （1）抛物线的解析式为y x2 2x 3，顶点D的坐标是

(1，4)．

（2）设四边形PMAC的面积为S，则

11

S OA OC (PM OC) OM

22

93

= m2 m

22

9105

= (m )2

416 9∵1<<3

∴当m

9105时，四边形PMAC的最大面积为．

164

93

此时，点P的坐标是()．

42

1115

（3）Q(2，3)；Q()．

416

2. （1）直线AB的解析式为y x 4．

（2）y

6

x 0 ． x

12

（3）存在，符合条件的点Q的坐标为（－2，1），

27 54

， ． 5 5

59 58

， 或

37 37

216

3. （1）AD=3，抛物线的解析式为y=x2+x．

33

（2）当t=

4025

或时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE 137

相似．

（3）存在，符合条件的点M，N的坐标分别为，

①M1（ 4， 32），N1（4， 38） ②M2（12， 32），N2（4， 26） ③M3（4，

1432

），N3（4，－）．

33

4. （1）抛物线的函数关系式为y x2 4x 3．

（2）点P的坐标为(1，0)或(2， 1)．

（3）存在，符合条件的点F的坐标为(2 2，1)或

(2 2，1)．

5. （1）A（1，4），抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．

1

（2）S△ACG=(t－2)2+1，

4

当t=2时，S△ACG的最大值为1． （3）t=

20

或t

=20－ 13

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