2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类（北京卷）讲解

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类

(北京卷)

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B＝( )．

A．{0} B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,0,1} 2．设a，b，c∈R，且a＞b，则( )．

11

3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )．

y?

A．

4．在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝

1

x B．y＝e－x C．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x|

1，则sin B＝( )． 3515A．5 B．9 C．3 D．1

6．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )．

261013A．1 B．3 C．21 D．987

y27．双曲线x－＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )．

m2

1A．m＞2 B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2

8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有( )．

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．若抛物线y＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝__________；准线方程为__________．

10．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________．

11．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝__________；前n项和Sn＝__________.

2

?x?0,?12．设D为不等式组?2x?y?0,表示的平面区域，区域D?x?y?3?0?2013 北京文科数学 第1页

上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为__________．

logx,x?1,??1213．函数f(x)＝?的值域为__________． x??2,x?1,14．已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足AP＝λAB＋μAC(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为__________．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．(本小题共13分)

已知函数f(x)＝(2cosx－1)sin 2x＋(1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈?

2

1cos 4x. 22?π?

,π?，且f(α)＝，求α的值．

22??

16．(本小题共13分)

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；

(2)求此人在该市停留时间只有1天空气重度污染的概率；

(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结果不要求证明)

2013 北京文科数学 第2页

17．(本小题共14分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD. 18．（本小题共13分） 已知函数f(x)?x2?xsinx?cosx

（1）若曲线y?f(x)在点(a,f(a))处与直线y?b相切，求a与b的值。 （2）若曲线y?f(x)与直线y?b有两个不同的交点，求b的取值范围。

2013 北京文科数学 第3页

19．(本小题共14分)

x22

直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．

4(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；

(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．

20．(本小题共13分) 给定数列a1，a2，…，an，对i＝1,2，…，n－1，该数列的前i项的最大值记为Ai，后n－i项ai＋1，ai＋2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.

(1)设数列{an}为3,4,7,1，写出d1，d2，d3的值；

(2)设a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1＞0.证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列； (3)设d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差数列，且d1＞0.证明：a1，a2，…，an－1是等差数列．

2013 北京文科数学 第4页

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(北京卷)

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． 答案：B

解析：集合A中的元素仅有－1,0,1三个数，集合B中元素为大于等于－1且小于1的数，故集合A，B的公共元素为－1,0，故选B. 2． 答案：D

解析：A选项中若c小于等于0则不成立，B选项中若a为正数b为负数则不成立，C选项中若a，b均为负数则不成立，故选D. 3． 答案：C

解析：A选项为奇函数，B选项为非奇非偶函数，D选项虽为偶函数但在(0，＋∞)上是增函数，故选C. 4． 答案：A

解析：i(2－i)＝1＋2i，其在复平面上的对应点为(1,2)，该点位于第一象限，故选A. 5． 答案：B

解析：根据正弦定理，6． 答案：C

abb515，则sin B＝sin A＝??，故选B. ?sinAsinBa339S2?113S2?12?赋值给S，i增加1变成1，经判断执行否，然后将?解析：i＝0时，向下运行，将

2S?1212S?1313赋值给S，i增加1变成2，经判断执行是，然后输出S?，故选C.

217． 答案：C

解析：该双曲线离心率e?1?m，由已知1?m>2，故m＞1，故1选C. 8． 答案：B

解析：设正方体的棱长为a.建立空间直角坐标系，如图所示．

则D(0,0,0)，D1(0,0，a)，C1(0，a，a)，C(0，a,0)，B(a，a,0)，B1(a，

?221??333?1212123a?a?a?a， 则|PB|＝9993|PD|＝|PD1|＝a，a)，A(a,0,0)，A1(a,0，a)，P?a,a,a?，

424212a?a?a?a， 99942424223a?a?a?a， 9993|PC1|＝|PA1|＝421242a?a?a?a， 9992013 北京文科数学 第5页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fwwx.html