2014高考数学一轮 一课双测A B精练(四十二)空间点、直线、平面间的位置关系 文

2014高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十二) 空间点、

直线、平面间的位置关系

1．(2013·杭州模拟)若a，b，c，d是空间四条直线．如果“a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d”，则( )

A．a∥b且c∥d

B．a，b，c，d中任意两条可能都不平行 C．a∥b

D．a与b，c与d中至少有一对直线互相平行

2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3 l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面

3.设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )

A．不存在 C．恰有4个

B．只有1个 D．有无数多个

4．(2012·广州模拟)在正四棱锥V－ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为( )

π

A. 6π

C. 3

πB. 4

πD.2

5.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，

EF，GH在原正方体中互为异面的对数为( )

A．1 C．3

B．2 D．4

6．(2012·重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,12和a，且长为a的棱与2的棱异面，则a的取值范围是( )

A．(02)

B．(0，

3)

1

C．(12) D．(1，3)

7．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的________条件．

8.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：

①直线BE与CF异面；②直线BE与AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.

其中正确的有________个．

9.如图所示，在三棱锥C－ABD中，E，F分别是AC和BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．

10．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．

(1)求证：BC与AD是异面直线； (2)求证：EG与FH相交．

11.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线．

12.(2012·许昌调研)如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD11

都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，

22

FD的中点．

(1)求证：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

1．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD(如图2)，则在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(

)

2

A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．异面且垂直 D．异面但不垂直

2．(2012·哈尔滨模拟)若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．

3．(2012·池州模拟)正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝2EB，CF＝2FD，将直角梯形AEFD沿EF折起到A′EFD′的位置，使点A′在平面ABCD上的射影G恰好落在BC上．

(1)判断直线AA′与DD′的位置关系，并证明； (2)证明平面A′AE⊥平面A′BC. [答 题 栏]

答 案

2014高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十二)

A级

1．D 2.B 3.D 4.D

5．选C AB，CD，EF和GH在原正方体中如图所示，显然AB与

CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH

相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有三对．

6．

选

A

如图所示的四面体ABCD中，设AB＝a，则由题意可得CD＝2，其他边的长都为1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形，显然a>0.取CD中点E，连接AE，BE，则AE⊥CD，BE⊥CD且AE

3

＝BE＝

1－

22 2

＝2，显然A，B，E三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三 2

边，可得2

>a，解得0<a<2. 2

7．解析：E，F，G，H四点不共面时，EF，GH一定不相交，否则，由于两条相交直线共面，则E，F，G，H四点共面，与已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF，GH不相交，含有

EF，GH平行和异面两种情况，当EF，GH平行时，E，F，G，H四点共面，故乙不能推出甲．即

甲是乙的充分不必要条件．

答案：充分不必要

8．解析：如图，易得EF∥AD，AD∥BC，

∴EF∥BC，即B，E，F，C四点共面，则①错误，②正确，③正确，④不一定正确．

答案：2

9．解析：取CB的中点G，连接EG，FG， ∴EG∥AB，FG∥CD.

∴EF与CD所成角即为∠EFG. 又∵EF⊥AB，∴EF⊥EG， 1

在Rt△EFG中，EG＝＝1，

2

FG＝CD＝2，

1π

∴sin ∠EFG＝.∴∠EFG26π

∴EF与CD所成的角为.

6π答案：

6

10．证明：(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，

则B、

12

C、A、D∈α.

所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形盾．所以BC与AD是异面直线．

(2)如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同∥FG，则EFGH为平行四边形．

又EG、FH是 EFGH的对角线， 所以EG与HF

相交．

11．证明：∵C1∈平面A1ACC1，

4

相矛

理EH

且C1∈平面DBC1.

∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点． 又∵M∈AC，∴M∈平面A1ACC1. ∵M∈BD，∴M∈平面DBC1，

∴M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点， ∴C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线． ∵O为A1C与截面DBC1的交点， ∴O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1， 即O也是两平面的公共点，

∴O∈直线C1M，即C1，O，M三点共线． 12．解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，

FH＝HD，

11

所以GH.又BC綊AD，

22故GH綊BC.

所以四边形BCHG是平行四边形． (2)C，D，F，E四点共面．理由如下： 1

由BE，G是FA的中点知，

2

BE綊GF，

所以EF綊BG.

由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．

B级

1．选C 在图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD，CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，

所以AD⊥BC.

2．解析：正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，是A′B，BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有12条，所以所求金异面直线对共有

答案：24

3．解：(1)AA′∥DD′，

5

直线分别的黄

12×4

＝24对(每一对被计算两次，所以要除以2)． 2

设直线AD与EF相交于点O，翻折后直线A′D′仍过O点， ∴A，A′，D，D′四点共面于平面OAA′. 又FD∥AE，FD 平面A′AE，

AE 平面A′AE，

∴FD∥平面A′AE.

同理，FD′∥平面A′AE，而FD∩FD′＝F， ∴平面DFD′∥平面A′AE. 又平面OAA′∩平面DFD′＝DD′， 平面OAA′∩平面A′AE＝AA′， ∴AA′∥DD′.

(2)∵A′G⊥平面ABCD， ∴A′G⊥AB.

又AB⊥BC，BC∩A′G＝G， ∴AB⊥平面A′BC. 又AB 平面A′AE， ∴平面A′AE⊥平面A′BC. 6

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