必修(一)必考点及常见题型归类

必修（一）知识点总结及常见题型归类

卢氏一高分校高一数学组 贾军峰 2013-12-20

班级： 姓名：

一．集 合

【知识回顾】

1、集合元素具有确定性、无序性和

2.遇到A B 、A B时，应注意到“极端”情况： ； 3. 集合中有n个元素，则它的子集个数是，真子集个数是非空子集

个数是 ，非空真子集个数是．

4.集合的运算性质： ⑴A B A B A； ⑵A B B B A；

5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如： x|y lgx —函数的 ； y|y lgx —函数的 ； (x,y)|y lgx —函数 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 例 1：已知集合，集合 3,m2，若 ，则实数m _______

例 2：设U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（CUA） （CUB）=（ ）

A． {0} B.{0，1} C.{0，1，4} D.{0，1，2，3，4} 例 3

：设集合A xy

2

，B y|y x, 1 x 2 ，则CR A B 等于 A．R B． xx R,x 0 C． 0 D．

例 4：已知集合P {x| 2 x 3}, Q={x|x a},若P Q,实数a的取值范围为 若P Q ，a的取值范围

二．函数的表达式

【知识回顾】

1、映射f: A B的概念。在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有输出值

且 ；⑵B中元素不一定都有 ，但不一定唯一。

2.函数f: A B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是集！据此可知函

数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。

3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是、值域和对应法则。 题型一：函数的概念 例5：已知集合P={x0 x 4}，Q={y0 y 2}，下列不表示从P到Q的映射是 （ ）

11

A. f∶x→y=x B. f∶x→y=x C. f∶x→y=2x D. f∶x→y=x

323

（ ）

例7

．

x2

（1）f(x)＝x，g(x)＝； （2）f(x)＝3x－1，g(t)＝3t－1；

x

（3）f(x)＝x，g(x)＝1； （4）f(x)＝x2，g(x)＝(x)2；

题型二：函数解析式 1. 解析式法

x2 131　，x 10

例8：已知f(x)＝ ，则f(11) ，f(8) ．

f(x 2)，x 10

2. 图象法

例9：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行

驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是_______________

s s s s

A． B． C． D．

3.表格法

f(x)，g(x)分别由下表给出 例10：已知函数

则f[g(1)]的值为

．

；满足f[g(x)] g[f(x)]的x的值是

题型三：求函数的解析式.

1. 换元法

例11：已知f(x 1) x 1，则函数f(x)= 2.待定系数法

例12：已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1及f(x+1)-f(x)=2x。求f(x)的解析式；

3.构造方程法

例13：已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=

4.凑配法 例14：若

5.其它

例15：已知函数y f(x)为定义在R上的奇函数，且当x 0时f(x) x2 2x 3，

求 f(x) 的解析式。

1

,则f(x)= x 1

11

f(x ) x2 2，则函数f(x 1)=_____________.

xx

三．函数的定义域

【知识回顾】

1. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：

（1）根据解析式要求如偶次根式的必须 ，零次幂必须 ，分母必须 ，对数logax中必须 ，

（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。

（3）复合函数的定义域：四则运算复合取为各部分定义域的 ；已知f(x)的定义域为[m,n]，求f(g(x))方法为 ；已知f(g(x))的定义域为

[m,n]，求f(x)方法为

题型一：求函数定义域问题

1.求有函数解析式的定义域问题。

3(x 2)0

例16：求函数y＝＋的定义域.

2log2x x

2.求抽象函数的定义域问题

例17：若函数y＝f(x)的定义域是[1，4]，则y＝f(2x 1)的定义域是 ．

例18：★若函数y＝f(3x 1)的定义域是[1，2]，则y＝f(x)的定义域是 ．

四．函数的值域

【知识回顾】

1.求函数值域（最值）的方法：

（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[m,n]上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合

（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，(运用换元法时，要特别要注意新元t的范围!)

（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性。

（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性。

1.图象法:

例19：函数y x2 2x 3 ，x 1,4 的值域为． 2.单调性法

例20：求函数f(x)

3.复合函数法

例21：求函数f(x) 4 2

x

x 1

x 1

x 1,4 的最大值和最小值。 x 5

3 x 2,4 的最大值和最小值。

五．函数的奇偶性

【知识回顾】

1、函数的奇偶性。

（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征： ，为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数 。

（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其

奇偶性）：①定义法，②利用函数奇偶性定义的等价形式：f(x) f( x) 0或

f( x)

1f(x)

（f(x) 0）。③图像法：奇函数的图象关于 对称；偶函数的图象关于 对称。

（3）函数奇偶性的性质：

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性 ；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性 .

②若奇函数f(x)定义域中含有，则必有 .若不能确定f(x)定义域中是否．．0．含有0，则必须利用奇偶性的恒等式去求. ③利用奇偶性的恒等式去求是通法。

④既奇又偶函数有无穷多个（但最后都可以化为 ，定义域是 ）.

题型一：判断函数的奇偶性：

1。图像法.

例22：画出函数 f(x) 5 的图象并判断函数f(x)的奇偶性 2．定义法：

例23：判断函数f(x) ln

例24：判断函数f(x) x2

3．结论法

1 x

的奇偶性 1 x

x2 1的奇偶性12011

f(x) x x的奇偶性 例25：判断函数

x

题型二：已知函数奇偶性的求解问题

例26：定义在( 1,1)上的奇函数f(x)

例27：已知 (x), (x)都是奇函数，且f(x) (x) (x) 2在x 1,3 的最大值是8， 则f(x)在x 3, 1 的最 值是 。

x m

，则常数m ____,n _____

x2 nx 1

六．函数的单调性

【知识回顾】

1.函数的单调性。

（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号） ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等。 ③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减。

（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”（用“和”、“，”）；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．

（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗? （①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.

题型一：判断函数的单调性

1.图像法. 例28：（1）画出函数 f(x) x 3 的图象并判断函数f(x)的单调性

（2）画出函数y=x∣x-2∣的图象并判断函数单调递增区间为___________;

2.定义法： 例29：判断函数

3.结论法

例30：写出函数f(x) log1( x 4x 3)的单调递减区间2

2

y x

4

在在 0,2 上的单调性x

例31：写出函数f(x) lnx

1

3的单调区间x

题型二：已知函数单调性的求解问题

例32：设二次函数f(x)=x-(2a+1)x+3

(1)若函数f(x)的单调增区间为 2, ，则实数a的值__________； (2)若函数f(x)在区间 2, 内是增函数，则实数a的范围__________。

例33：设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)<f(m)，求

实数m的取值范围。

2

七．指、对数函数

【知识回顾】

1、基本公式记牢

mn

mn

a ，a

a0， loga1，logaalog。 ab

alogaN N，lg2 lg5 ， logex lnx，ab N logaN b(a 0,a 1,N 0)，

logab

nnlogcb， logb m

a

mlogca

2、指数函数的图象和性质

3、对数函数的性质：

4、对数的运算性质 如果a 0，且

a 1，M 0，N 0，那么：

1 loga(M·N) logaM＋logaN； ○

M

logaM－logaN； Nn

3 lognlogaM (n R) ○aM

2 loga○

5、指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。

1

例34：化简

4

12

0.1

2

3

ab

1

3 32

=

题型二：指数函数及其性质

例35：设a,b,c,d都是不等于1的正数，y a,y b,y c,y d

x

x

x

x

在同一坐标系中的图像如图所示，则a,b,c,d的大小顺序是A.a b c d B.a b d c

C.b a d c D.b a c d

例36：函数y 2

的定义域为

例37：函数y ax 2 1.(a 0且a 1)的图像必经过点 例38： 比较下列各组数值的大小： （1）1.7

3.3

0.8

2.1

； （2）3.3

0.7

3.4

0.8

；

例39：画出函数f(x) 2的草图，函数f(x)递增区间为

例40：函数y

例41：判断函数f(x)

例42：设0 x 2，求函数y 4

x 12

x

1 2

x2 2x

的递减区间为 ；值域是

11 x （a＞0，a≠1）的奇偶性2a 1

3 2x 5的最大值和最小值。

题型一：对数运算

例43

：求值(log23 2log34 log32) ；

题型二：对数函数及其性质

例44：指数函数y a (a 0且a 1)的反函数为；它的值域是

例45：已知log1m log1n 0，则 ( )

x

22

A. n m 1 B. m n 1 C. 1 m n D. 1 n m

23

23

13

例46： a ( 1.2)，b 1.1，c 0.9，d log30.34的大小关系是

例47：已知loga

1

＜0 ，（a＞0，a≠1），则a的取值范围是 . 2

例48

：函数y 的定义域 。

2

例49：★函数 （a＞0，且a≠1）的图像必经过点

例50：y log3x 2的递增区间为 。

例51：已知y=loga(2－ax)在[0，1]上是关于x的减函数，则a的取值范围是 （ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．[2, )

2

例52：判断函数f(x) loga(x 1 x) （a＞0，且a≠1）的奇偶性

例53：设函数f(x) logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为

1

，则a的值是 2

例54：函数f(x)=1+log2x与g（x）=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是___________.

八．幂函数

题型一：有关幂函数定义

例55：（1）函数y (m 1)xm是一个幂函数，则

（2）函数y (m 1)xm

22

2

是一个反比例函数，则12

题型二：有关函数Y＝X，Y＝X，Y＝X，y x

2

3

1

y x的图象及性质

例56：在函数①y=x②y=x③y=x是 . 例57：将

12

12

12

3 2 -1

④y=

x中，定义域和值域相同的

a 1.2，b 0.9，c 1.1按从小到大进行排列为________

九．函数的零点

题型一：求函数的零点

【知识回顾】

1、方程f x 0有实根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点. 2、性质：如果函数y f x 在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

f a f b 0，那么，函数y f x 在区间 a,b 内有零点，即存在c a,b ，使得

f c 0，这个c也就是方程f x 0的根.

例58：函数f x x2 4x的图象与轴的交点坐标为f x x2 4x的

零点为

题型二：已知函数的零点问题

例 59：已知a是实数,函数

f(x) 2ax2 2x 3 a 在区间（-1,1）上有零点,求a的取值范围.

题型二：求方程的根

例60：方程2lgx 3 0的解为________

例61：方程2 x 0的根个数为________

例62：方程lgx+x=3的解所在区间为 （ ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞)

例63：★设方程lgx x 3的根为x1，方程10 x 3的根为x2，则x1 x2=_______

例64：设f x 3 3x 8,用二分法求方程3 3x 8 0在x 1,2 内近似解

x

xx

x

2

的过程中得f 1 0,f 1.5 0,f 1.25 0,则方程的根落在区间 （ ）

) D． 不能确定 A． (1,1.2 5 B． (1.25,1.5) C． (1.5, 2

十．一元二次方程根的分布

题型一：一元二次方程的根在同区间

例65：关于x的方程x ax 1 0的两根在(0,3)，求a的取值范围.

2

题型二：一元二次方程的根在不同区间

例66：关于x的方程x ax 1 0的一个根在(0,1)，另一个根在(3,4)，求a的取值范围.

2

十一、函数的应用

【知识回顾】

（1）求解数学应用题的一般步骤：审题――建模――解模――回归

（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；

例67: 我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．

（1）设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15 x 40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15 x 40)，试求f(x)和g(x)． （2）问：小张选择哪家比较合算？说明理由．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fwp1.html