概率论历年试卷分章节汇总

概率论历年试卷分章节汇总

第一部分：随机事件与概率 1、 Cmn型 （1201）一．（本大题15分）

一个去掉大小王的扑克共52张牌，洗匀后从中随机抽牌。（Cmn型） （1）随机抽取6张, 求所抽的牌中含有红桃A的概率。

（2）随机抽取6张，求所抽的6张牌中含有红桃A、且至少含有一张K的概率。 （3）随机抽取n张,为使所抽的牌中至少有一个“对子”的概率大于1/2，试列出n应满足的条件。（列出算式即可。）

56556n1nn解答：（1）C51 （2）(C51 （3）1?C13(C4)/C52?1/2 /C52?C47)/C52（1101）一、（10分）一部五本头的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列

概率：（Cmn型）

（1）第一卷出现在旁边。 （2）第一卷及第五卷出现在旁边。 （3）第一卷或第五卷出现在旁边。 （4）第一卷及第五卷都不出现在旁边。 （5）第三卷正好在正中。

4!23!12217解：（1）p?2?? （2）p?2?? （3）p????

5!55!10551010734!1（4）p?1?? （5）p?1??

10105!5（1106）二、（Cmn型）(12分) 袋中有15个球，9个红球，6个黄球。不放回

地分两次从袋中将球逐个取出，第一次取5个球，第二次取6个球。求以

下事件的概率：

(1) 第二次6个球中的第5个是红球；

(2) 第一次5个球中有2个黄球且第二次6个球中有4个红球； (3) 第一次5个球中有3个红球或第二次6个球中有2个黄球

102解： (1) 设A：第二次6个球中的第5个是红球 P(A)??

153(2) 设A：第一次5个球中有2个黄球 B：第二次6个球中有4个红球

原问题转换为求P(AB)

1C52?C62?C4200??0.2 ①: Ω: C AB: C?C?C P(AB)?5C1510015152526143C52?C10C32?C74200???0.2 ②: P(AB)?P(A)?P(BA)?56C15C101001(3) 设A：第一次5个球中有3个红球 B：第二次6个球中有2个黄球

原问题转换为求P(A∪B)

343?C62?C9?C52?C10C52?C10??P(A)?,P(B)??565?C15C15?C15??P(AB)?

C?C?CC252651514

620?0.62 1001（1001）一、（10分）有位同学去某校宿舍楼A看望他老乡，此楼只有编号1～9的九个寝室，但他到学生宿舍楼下时忘记了老乡寝室号码。学校管理规定：要求访问者说出两个寝室号码，其中有一个正确就能进入，否则不能进入。问此同学能进入此大楼的概率？（Cmn型）

P(A∪B)= P(A)?P(B)?P(AB)=

11C1C2解：28?

9C9（0901）二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。

一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J=11、

Q=12、K=13、A=14），（Cmn型） 求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；

（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率； （3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。

解：（1）A＝｛同花顺（5张同一花色连续数字构成）｝

P?A??4?(13?4)36?5（只要说明顺子的构成，分子40也算对） 5C52C52（2）A＝｛3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）｝

1312C13C4C12C4P?A?? 5C52（3）A＝｛3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）｝

13211C13C4C12C4C4P?A?? 5C52(0501) 三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率（Cmn型） (1) 4个球全在一个盒子里;

(2) 恰有一个盒子有2个球. 6×5×4×3

．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故

P(A)=5/625=1/125------------------------------------------------------5分

(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有

12C5C4?30种方法----------------------------------------------------7分

4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法

因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故

P(B)?36072--------------------------------------------------10分 ?625125

2、 全概率公式、贝叶斯公式 （1201）二．（本大题12分）

一个盒子中装有红、黑两色共25个球，其中红球有13个。现甲先在暗处从盒中随机抽一个球a并收藏起来，然后让你从盒子中任抽两个球。（全概率公式、贝叶斯公式）

（1）求你抽出两个红球的概率。

（2）如果你现场随机抽到的两个球都是红球，求甲收藏的球a是红色的概率。如果让你猜测甲收藏的球a的颜色，为使猜中的可能性最大，你会猜甲收藏的球是什么颜色的？ 解答：分别记A、B为事件{甲抽出的是红球}、{乙抽出的两个都是红球}。 （1）

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)2213C1212C131312?111213?1213 ??2??2?????25C2425C242524?232524?2350（2）

P(A)P(B|A)P(B)

1312?1113111?????2524?2350232P(A|B)?故a的颜色为红色的概率比a的颜色为黑色的概率小，选择判 a为黑色。

（1101）二、 (12分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合

格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求: （全概率分布和Cmn概率）

(1)乙箱中次品件数X的数学期望; (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 解 (1)X的可能值为0,1,2,3,所以X的概率分布为

3?kC3kC3P?X?k?? ?k?0,1,2,3? 3C6即

X 0 1 2 3 P

1991 20202020因此

19913?1??2??3?? 202020202 (2)设A?{从乙箱中任取一件产品是次品},根据全概率公式有

EX?0?P?A???P?X?k?P?AX?k??k?0319192131?0??????? 202062062064（1101）七、（2学分）（10分）已知男子中有5%是色盲患者，女子中有0.25%

是色盲患者，若从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问

此人是男性的概率是多少？

（2学分）解 设A={抽到一名男性}；B={抽到一名女性}；C={抽到一名色盲患者}，由全概率公式得

11P(C)?P(C|A)P(A)?P(C|B)P(B)?5%??0.25%??2.625%

221P(AC)?P(A)P(C|A)??5%?2.5%

2由贝叶斯公式得 P(A|C)?P(AC)20 ?P(C)21（1106）四、（全概率公式、贝叶斯公式）(15分) 某种产品装在三个盒子中，

第1个盒子装有4个次品和5个正品，第2个盒子装有个2个次品和10个正品，第3个盒子装有6个次品和18个正品。扔一骰子以决定选盒，若出现点数为1，2，3，选第1个盒子；若出现点数为4，选第2个盒子；若出

现点数为5，6，则选第3个盒子；从选中的盒中任取一产品。试求： (1) 取出的产品为次品的概率；

(2) 当取出的产品为次品时，它来自第1、2、3盒的概率各是多少？ 解： (1)

设A：产品为次品 Bi：产品取自第i盒，i=1、2、3

则：P(B1)=1/2, P(B2)=1/6, P(B3)=1/3

P(A|B1)=3/9, P(A|B2)=2/12, P(A|B3)=6/24 P(A) =

?P(AB)= ?P(B)?P(AB)?5/18

iiii?1i?133?3k?1?5P(ABk)??1(2) P(Bk|A) = =?k?2

P(A)?10?3k?3??10（1001）二、（12分）有某个工矿企业存在大量可疑肺癌病人，这些病人中从事某职业的人占45%。据以往记录，此职业的可疑病人中有90%确患有肺癌，在不

从事此职业的可疑病人中仅有5%确患有肺癌（全概率公式、贝叶斯公式）

(1)在可疑病人中任选一人，求他患有肺癌的概率

(2)在可疑病人中选一人，已知他患有肺癌，求他从事此职业的概率 解：设A={从事某职业的可疑病人}，B=｛患有肺癌｝

P?A??0.45，P?A??0.55，P?BA??0.9，PBA?0.05 4分 （1） P?B??P?A?P?BA??P?A?PBA?0.4325 8分

（2）P?AB??P?A?P?BA?P?B??0.9364 12分

????（0901）三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。假设过关人中有96%是非危险人物。问：（全概率公式、贝叶斯公式、独立性） （1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？

（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少这样的检查关卡？

解：（1）设A＝｛被查后认为是非危险人物｝， B＝｛过关的人是非危险人物｝，则

P?A??P?B?P?AB??P?B?PAB?0.96?0.98?0.04?0.05?0.9428

??P?BA??P?B?P?AB?P?A??0.998

（2）设需要n道卡，每道检查系统是相互独立的，则

Ci={第i关危险人物被误认为非危险人物}，P?C1?Cn??0.05n，所以

1?0.05n?0.999，n?ln0.0001?ln0.0001?，即n????1=[3.0745]+1 = 4 ln0.005ln0.05??（0801）三、（本题10分）设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生

产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1，0.2，0.3。从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，求这件产品为正品的概率。若取出的产品为正品，则它是甲厂生产的概率是多少？（全概率公式、贝叶斯公式）

设A=“取出的产品是正品”；

B甲= 取出的产品是甲厂生产的” B乙= 取出的产品是乙厂生产的” B丙= 取出的产品是丙厂生产的” 则P(A)=P(AB甲)+P(AB乙)+P(AB丙) =0.5?0.9+0.3?0.8+0.2?0.7=0.83

P(AB甲)P(B甲)?P(A|B甲)0.5?0.9 P(B甲|A)????0.54P(A)P(A)0.83

（0701）五、（本题8分）已知产品中96%为合格品。现有一种简化的检查方法，它把真正

的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05.求在这种简化检查下被认为是合格品的一个产品确实是合格品的概率？（全概率公式） 0.9979

注释：运用全概率公式，类似2006级试卷第三题

(0501) 六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？ 解：由全概率公式及Bayes公式

P(该种子能发芽)＝0.1×0.9+0.9×0.2＝0.27-----------------------------------5分 P(该种子来自发芽率高的一盒)＝(0.1×0.9)/0.27＝1/3---------------------10分

3、 概率的性质

（1106）一、(10分) 已 知：

11P(A)?P(B)?P(C)? P(AB)?P(BC)? P(AC)?0求：

416P(ABC)（概率的性质）

解：P(ABC)?P(A?B?C)=1-P(A?B?C)

3=1-（P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)）=

8P(ABC)?0） （P(AC)?0,1（0901）一、（10分）假设一枚弹道导弹击沉航空母舰的概率为，击伤的概率

311为，击不中的概率为，并设击伤两次也会导致航空母舰沉没，求发射426枚弹道导弹能击沉航空母舰的概率？（普通概率和独立性）

解：设Ai＝｛第i枚弹道导弹击沉航空母舰｝，Bi＝｛第i枚弹道导弹击伤航空母舰｝

Ci＝｛第i枚弹道导弹没有击中航空母舰｝，i＝1，2，3，4

D＝｛发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰｝

P?Ai??111，P?Bi??，P?Ci??，i＝1，2，3，4 326D?C1C2C3C4UB1C2C3C4UC1B2C3C4UC1C2B3C4UC1C2C3B4

P?D??P?C1C2C3C4??P?B1C2C3C4??P?C1B2C3C4??P?C1C2B3C4??P?C1C2C3B4??1??1?113????4?????4?6??6?26P?D??1?P?D??1?13= 0.99 6443

（0907）1.下述命题中正确的是（A）。

A．如果A?B，则B?A B.AB?B?A

C.如果事件A、B独立，则P(A?B)?P(A)?P(B) D. AB(AB)?A 2.设X1,X2,...,Xn独立同分布，X1~B(1,p)，则P(X?k/n)?（ C ）。 A．p

kkC． Cnp(1?p)n?k

B． 1?p

k D． Cn(1?p)kpn?k

1.如果事件A、B独立且不相容，则Max{P(A),P(B)}=__1___。（独立性）

（0801）2. 设A、B是任意两事件，则P(A-B)=

( C )

A. P(A)-P(B) B. P(A)-P(B)+P(AB) C. P(A)-P(AB) D. P(A)+P(B)-P(AB) 4. 对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)·E(Y),则 （ B） A. D(XY)=D(X)·D(Y) B. D(X+Y)=D(X)+D(Y) C. X和Y独立 D. X和Y不独立 （0701）

1.设A、B均为非零概率事件，且A?B成立，则 （ ） A. P(A?B)=P(A)+P(B) B. P(AB)=P(A)P(B) C. P(A︱B)=

P(A) D. P(A-B)=P(A)-P(B) P(B)C

注释：由“A?B成立”得P(A)=P(AB)

故P(A|B)?P(AB)P(A) ?P(B)P(B)3. 对于任意两个随机变量?和?，若E(??)=E?E?,则有 （ ） A. D(??)=D?D? B. D(?+?)=D?+D? C. ?和?独立 D. ?和?不独立

3. B

注释：参考课本86页 2. 掷三枚均匀硬币，若A={两个正面，一个反面}，则有P(A)= ( C) A.1/2 B.1/4 C.3/8 D.1/8 （0701）三、（本题8分）在房间里有10个人，分别佩戴从1到10号的纪念章，任选3人纪录其纪念章的号码，试求下列事件的概率：（普通概率问题） （1）A=“最小号码为6”； （2）B=“不含号码4或6”。 （1）1/20; (2)14/15

2C428、9、10这四个数中选两个 注释：（1）P(A)=3，C4表示从7、C10（0501）1．设事件A和B的概率为P(A)?12,P(B)? 则P(AB)可能为（ D ） 23(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6

2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（ D）

(A)

124; (B) ; (C) ; (D)以上都不对 225253．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（A ）

(A)

4、条件概率和独立性

（1001）三、（12分）零件可以用两种工艺方法加工制造，在第一种情况下需要

511; (B) ; (C) ; (D)以上都不对

3218通过三道工序，其中各道工序出现废品的概率分别是0.05、0.10及0.25而在第

二种情况下需要两道工序，其中各道工序出现废品的概率都是0.1。设在合格品中得到优等品的概率，在第一种情况下是0.9，在第二种情况下是0.8，试比较用哪一种工艺方法得到优等品的概率较大。（独立性和条件概率） 解：设A=｛第一种工艺下的合格品｝，B=｛第二种工艺下的合格品｝，C=｛优质品｝

P?CA??0.9，P?CB??0.8 3分

Di=｛表示第一种工艺下的第i道工序生产的废品｝，i=1，2，3

P?D1??0.05，P?D2??0.10，P?D3??0.25 5分

Ei=｛表示第二种工艺下的第i道工序生产的废品｝，i=1，2

P?E1??P?E2??0.10 6分

P?A??P?D1D2D3??P?D1?P?D2?P?D3??0.95*0.90*0.75?0.6413 8分

P?B??P?E1E2??P?E1?P?E2??0.80*0.80?0.6400 9分

P?CA??P?A?P?CA??0.6413*0.9?0.5771 10分 P?CB??P?B?P?CB??0.64*0.8?0.512 11分

答：第一种工艺得到的优等品概率大。 12分 （0907）三．（本大题10分）。一个盒子中装有4个白球、6个红球，现投掷一枚均匀的骰

子，骰子投掷出几点就从盒中无放回地取几个球。试求：（条件概率和贝叶斯公式） a）所取的全是白球的概率。

b）如果已知取出的都是白球，那么骰子所掷的点数恰为3的概率是多少？

?C4j,?（1）P(Bj)?1/6，P(A|Bj)??Cj10?0,?j?4j?4

P(A)??P(Bj)P(A|Bj)=2/21=0.095

j

（2）P(B3|A)?P(B3)P(A|B3)=7/120=0.058

P(A)（0701）7. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的。现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球，则第二人取到黄球的概率是 2/5。（条件概率） (0501) 4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_ 0.94______.（条件概率）

5、伯努利实验与二项分布

（0901）十、（8分） 电视台有一节目“幸运观众有奖答题”：有两类题目，A类

题答对一题奖励1000元，B类题答对一题奖励500元。答错无奖励，并带上前面得到的钱退出；答对后可继续答题，并假设节目可无限进行下去（有无限的题目与时间），选择A、B类型题目分别由抛均匀硬币的正、反面决定。

已知某观众A类题答对的概率都为0.4，答错的概率都为0.6；B类题答对的概率都为0.6，答错的概率都为0.4。（全概率公式、n重伯努利实验和数学期望）

（1）求该观众答对题数的期望值。 （2）求该观众得到奖励金额的期望值。

解：（1）设?表示该观众答对题数，??0,1,2,? 则第?+1次解答答错（即首次出错）。 答对一题的概率为

P?答对题??P答对A题选择A题P?选择A题?＋P答对B题选择B题P?选择B题?＝0.4?0.5?0.6?0.5?0.5????

答错一题的概率为0.5 所以P(??k)?0.5?0.5?0.5kk?1；E???k?0.5k?1?1

k?0?（2）观众得到奖励金额?的期望值：

?1,答对A题23??1?令X??2，答对B题，则X~??0.20.30.5??，

???3，答错题?E??E(E(?|X))=0.2?E(1000??)?0.3?E(500??)?0.5?0 ?E??700

或：答对一题得到奖金的期望为：0.5?0.4?1000?0.5?0.6?500?350 进入第k题答题环节的概率为：0.5k?1

因此，总奖金的期望为：?350?0.5k?1?700

k?1?（0801）1. 某射手有5发子弹，射一次命中的概率为0.75，若果命中了就停止射击，否

则就一直射

到子弹用尽。则耗用子弹数ξ的数学期望为_ 1.33(或者填

1359)_。（伯努利实验的数学期望） 10243. 三次独立的试验中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率为37/64，则每次试验

成功的概率为_____0.25 __.（独立重复实验）

4. 设X～B(3,p),Y～B(4,p),且X、Y相互独立，则X+Y服从二项分布__（X+Y）～B(7,p)_.（二项分布的性质）

（0701）4. 设?表示10次独立重复试验中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.6，则?2的数学期望E(?2)= .

（独立重复实验） 38.4

注释：E(?)?D??(E?),对于??B(n,p),E??np,D??npq

(0501) 1．设A、B是相互独立的随机事件，P(A)=0.5, P(B)=0.7, 则P(A?B)=_0.85_.（独立性）

2．设随机变量?~B(n,p), E(?)?3, D(?)?1.2，则n=_ n=5____.（伯努利实验）

6、几何概型

（0801）5. 若X～U(0,5),方程x2?2Xx?5X?4?0有实根的概率为_2/5 .（几何概型） 7、泊松分布

（0701）1. 设随机变量X服从普阿松分布，且P(X=3)=

第二部分：随机变量及其分布

1、 一维随机变量及其分布之概率密度与独立性 （1201）六．（2学分，本大题12分）。

设随机变量X和Y同分布，X的概率密度函数为（概率密度函数和独立性）

224?2e ，则EX= 2（泊松分布） 3

?ax2f(x)???0,0?x?1,,其他（其中a是常数）

且假定事件A={X>0.5}与事件B={Y>0.5}独立. (1) 求常数a。(2) 求P(A)和P(A?B)。 解答： (1)

?10ax2dx?1,a?3。

(2) P(A)??10.5, 3x2dx?78P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?[1?P(B)]?P(A)[1?P(B)](?A,B独立)?1?P(A)[1?P(A)]（?X,Y同分布）?1?74957??86464（1201）七．（2学分，本大题9分）。

设X服从参数为?的指数分布，其密度函数为 （分布函数的性质）

??e??x,x?0, f(x)??

0,x?0.?求随机变量Y?g(X)?Max{X,4}的分布函数。 解答：

2FY(y)?P(Y?y)?P(Max{X2,4}?y)?P(X2?y,4?y)0,????P(?y?X?y),y?4,0,????yy?4.???e-?xdx,?0y?4,?0,??y?4.?1-e-?y?4,

y,y?4.（1101）六、（2学分） (10分) 设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为

2??1X~??

0.30.7??而Y的概率密度为f?y?,求随机变量U?X?Y的概率密度g?u?（.概率分布密度） 解 设F?y?是Y的分布函数,则由全概率公式可知,U?X?Y的分布函数为

G?u??P?X?Y?u?

?0.3P?X?Y?uX?1??0.7P?X?Y?uX?2? ?0.3P?Y?u?1X?1??0.7P?Y?u?2X?2?

由于X与Y独立,得

G?u??0.3P?Y?u?1??0.7P?Y?u?2??0.3F?u?1??0.7F?u?2?

因此,U的概率密度为

g?u??G??u???0.3F??u?1??0.7F??u?2??0.3f?u?1??0.7f?u?2?

（1106）三、（分布密度函数）(12分) 随机变量 ? 服从N(0,4)，?=2。求：

?

(1) ?的概率分布密度函数f? (y)；(2) E?；(3) D? Fη(y)=P(η

11??e2ln22?yx28122?

?lnyln2??e?x28dx

fη(y)= F’η(y)=

1(2) Eη =

22?2

?ln2y8ln22?????2?e2

x?1dx=

22??????x28e?1?x?4ln2?2?16ln228??dx=e2ln22?22ln2

1(3) Dη = Eη – (Eη )=

22?

?????2?e2x?dx－e4ln22

21=

22??????e?1?x?8ln2?2?64ln228??dx－e4ln2 =e8ln2－e4ln2=24ln224ln2?1

22??（1106）八、（数学期望等）（2学分）(14分) 设随机变量 ? 的分布函数为：

?0 x?0?x? 0?x?1?2??2F?x??? 1?x?2

?3?11?12 2?x?3???1 x?3

求： ( 1 ) P?????1??； ( 2 ) P?2???4?； ( 3 ) E? 2?1?11?解：① P????=?1dx?P???1??P???2??P???3?

2?22?

=

1?21??112??11?3??????????1??? 4?32??123??12?4②P?2???4??P???2??P???3??1111?? 4123317③ Eξ =?x?dx??i?P???i??

026i?1（1001）四、（10分）已知某家电在t?0时刻正常运行。已知它在时刻t还正常运

行的条件下，在?t,t??t?这段时间损坏的概率等于??t?o??t?。求它正常运行时间大于t概率。（概率密度函数）

四、解： 设?表示正常运行时间，F(t)?P???t?，当t?0时，F(t)?0 2分

t>0时，题中条件为：P(t???t??t|??t)???t?o(?t) 5分 即：

P(t???t??t,??t)F(t??t)?F(t)????t?o(?t)

P(??t)1?F(t)F(t??t)?F(t)??(1?F(t))?o(1)

?tdF(t)令?t?0，则??(1?F(t)) 8分

dtd(1?F(t))???(1?F(t))，1?F(t)?ce??t，?F(0)?0，?F(t)?1?e??t dt故它正常运行时间大于t概率：P(??t)?e??t 10分

（0901）四、（8分）随机变量X服从N(?,?2)，求Y?aX (a?0)的密度函数（概率密度函数）

解：当a?1时，Y?1，则FY?y????0y?1

1y?1?dFY?y??0

dy当0?a?1时，当y?0时，FY?y??P?Y?y??0，fY?y??当y?0时，FY?y??Pa?X?y?P?Xlna?lny?

?lny?lny???lny??FY?y??P?X???1?P?X???1????

lnalnalna??????fY?y??dFY?y?11???edyylna?2?lny??)2?lna22?(

当a?1时，当y?0时，FY?y??P?Y?y??0，fY?y??dFY?y??0 dy当y?0时，FY?y??P?X???lny??lny?????? lna??lna?lny??)2lna?2?2(fY?y??望及方差）

dFY?y?11??edyylna?2?

（0801）五、（本题15分）设随机变量X的概率密度函数为（概率密度函数和它的数学期

f(x)?1?|x|e,???x??? 2求：（1）X的概率分布函数； （2）X落在（-5，10）内的概率； （3）求X的方差。

?1xe____x?0??2(1)由题意f(x)???1e?x___x?0??2?1xe____x?0??2故F(x)???1?1e?x_x?0??211(2)P(?5?X?10)?（1?e?10)?(e?5)220+?1111??(3）EX=?x?exdx??x?e?xdx?[(x?1)ex]0?[(?x?1)e?x]0????02222_____?0+?1x21?xedx?x???2?0?2edx11??___?[x2ex?2xex?2ex]0[?x2e?x?2xe?x?2e?x]0?2???222DX?EX2?(EX)?2EX2?0x2?

（0801）八、（本题6分）设随机变量X服从（0，1）上均匀分布，Y服从参数为λ=5的指数分布，且X,Y独立。求Z=min{X,Y}的分布函数与密度函数。（分布函数和分布密度函数）

Z的分布函数F(z)=P{Z?z}=1-P(Z>z)=1-P{min(X,Y)>z}_______________=1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)?P(Y>z)当z?0时，P(X>z)=P(Y>z)=1故F(z)=1-1=0当0z)=?1dx?1?zz1___________P(Y>z)=?5e?5xdx?e?5z?e?5z1故F(z)?1?(1?z)?(e?5z?e?5)当z?1时，P(X>z)=0故F(z)?1?0?1?0__________________z?0?所以F(z)??1?(1?z)?(e?5z?e?5)__01??0_____________________z?0?f(z)??6e?5z?5ze?5z?e?5_______0?z?1?0_____________________z?1?

(0701) 4. 设P(x)=??2sinx,x?[0,A?]。若P(x)是某随机变量的密度函数，则常数A=

0,x?[0,A?]?（ ）

A.1/2 B.1/3 C.1 D.3/2 4. B

注释：?2sinxdx?1

0A?

5. 若?1，?2，?，?6相互独立，分布都服从N(u, ?),则Z=

21?2?(?i?16i?u)2的密度函

数最可能是 （ ）

?12z/221?ze,z?0A. f(z)=?16 B. f(z)=ez/12,???z???

12???0,z?0C. f(z)=

112?e?z2?12?z/2,z?0?ze/12 ,???z??? D. f(z)= ?16??0,z?0?1?e??x,x?0（0701）5. 设随机变量?的分布函数F(x)=? （?﹥0），则?的密度函数

?0,x?0p(x)=______________ ,E?= , D?= . （指数分布和密度函数）

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