高等数学第二版第三册__高等教育出版社__第一章行列式课后习题答案
更新时间:2023-05-22 16:38:08 阅读量: 实用文档 文档下载
第1章 习 题
1. 计算下列排列的反序数,从而判断奇偶性。 (3) n ( n 1 ) 321n( n 1) 2
( n 1) ( n 2 ) 2 1
(4) 135 ( 2 n 1 ) 246 ( 2 n ) 0 1 2 ( n 1) n( n 1) 2
2. 已知排列 i 1 i 2 i n 的反序数,求 i n i n 1 i 1 的反序数。 解:对于排列 i 1 i 2 i n 中的数字 i j ,设排列中有 l ( i j ) 个 小于它的数字,设这些小于它的数字中,位于其右边的 有 r ( i j ) 个,则位于其左的有 l ( i j ) r ( i j ) 个。 则: ( i n i n 1 i 1 )
l ( in j 1
j
) r (i j )
l(in j 1
j
)
r(ij 1
n
j
)
对于任意 n 个不相等的自然数,其中最大的数字有 n-1 个小 于它的,次大的数字有 n-2 个小于它的,…… 因此,n
l(ij 1
j
) ( n 1) ( n 2 ) 1 0
n( n 1) 2
( i n i n 1 i1 )
n( n 1) 2
( i1 i 2 i n )
5. 写出四阶行列式中含因子 a 23 且带负号的项。 解:四阶行列式中的项为 a 1 j1 a 2 j 2 a 3 j 3 a 4 j 4
j1 j 2 j 3 j 4 是数字1、2、3、4的组合。含因子 a 23 时,令 j 2 3
则 j1 j 2 j 3 j 4 可能的组合有:1324,1342,2314,2341,4312,4321 其中奇排列为:1324,2341,4312 则含因子 a 23 且带负号的项为:
a 11 a 23 a 32 a 44 , a 12 a 23 a 34 a 41 , a 14 a 23 a 31 a 42
6. 利用行列式的定义计算 (2)a 11 a 21 a 31 a 41 a 51 a 12 a 22 a 32 a 42 a 521
a 13 a 23 0 0 02
a 14 a 24 0 0 03 4
a 15 a 25 0 0 05
( 1)j1 j 5
( j1 j 5 )
a 1 j1 a 2 j 2 a 3 j 3 a 4 j 4 a 5 j 5
分析 a 1 j a 2 j a 3 j a 4 j a 5 j ,无论 j1 j 2 j 3 j 4 j 5 如何组合, 在 j 3 j 4 j 5 中都至少有一个数字≥3,使得 a 1 j a 2 j a 3 j a 4 j a 5 j1 2 3 4 5
中出现 a ij ( i 3 , j 3 ) ,使得 a 1 j a 2 j a 3 j a 4 j a 5 j 01 2 3 4 5
因此该行列式的值为0.
6. 利用行列式的定义计算 (4)x 0 0 0 y y x 0 0 0 0 y x 0 0 0 0 y x 0 0 0 0 y x
( 1)
( j1 j 5 )
a 1 j1 a 2 j 2 a 3 j 3 a 4 j 4 a 5 j 5
j1 j 5
其中非0项为:( 1)5
( 12345 )5
a 11 a 22 a 33 a 44 a 55 ( 1 )
( 23451 )
a 12 a 23 a 34 a 45 a 51
x y
8. 利用行列式的性质计算 (3)a b c b c 2 ar4 r 2 r 3
b c a c a 2 b c a 0 c a b 0
c a b a b 2 1 1 1 0
1 1 1 1r4
a 1 2
b c a c a
c a b a b
1 1 1 2
1 2
b c b c
1 b 2 c 0
0
9. 不展开行列式,证明下列等式成立。 (1) b cb ' c ' b ' ' c ' ' c a c ' a ' c ' ' a ' ' a b a ' ' b ' ' a b b' b' ' c c' c'' a ' b ' 2 a ' a''
证明:( c1 c 2 c 3 ) 2
a b c 2 a ' b ' c ' a ' ' b ' ' c ' '
c a c ' a ' c ' ' a ' '
a b a ' b ' a ' ' b
' ' b b' b' ' c c ' 右边 c''
左边
c 2 c1 c 3 c1
a b c a ' ' b ' ' c ' '
b b' b' '
c c''
a b c a ' ' b ' ' c ' '
2 a ' b ' c '
c ' 2 a ' b ' c '
(2) sin 2
cos 2
cos 2 cos 2 0 cos 2
sin 2
cos cos2
2 2
sin 2
证明:
sin 2
cos 2
cos - sin 2 2 2 2
左边 sin sin 2 c 3 c1
cos
2 2
cos
2 2
- sin
cos 2 2
cos - sin
sin 2 2
cos cos2 2
cos cos2 2
sin sin 2
cos
cos
0 右边
(3)
0 x y z
x 0 z y
y z 0 x
z y x 0
0 1 1 1
1 0 z y2 2
1 z2
1 y x2 2
, ( xyz 0 )
0 x2
0
证明:r2 x r3 y r4 z
02
1 0 z xy y xz1 z2
1 z xy 0 x yz1 y x2 2
1 y xz x yz 0
左边
c2 x c3 y c4 z
( xyz )
1 1 1
r 2 xyz r 3 xyz r 4 xyz
0 1 xyz
1 0 z y2 2
1 z2
1 y x2 2
xyz xyz xyz
0 x2
0
0c 1 xyz
1 0 z y2 2
1 1 1
右边
0 x2
0
10. 计算行列式。 (1) aa a a b a b 2a b 3a ba b a a a c a b 2a b 3a b
c a b c 3a 2b c 6a 3b cd a b c 3a 2b c 6a 3b c按第一
d a b c d 4a 3b 2c d 10 a 6 b 3 c da aa a a b 2a b 3a b a b c 3a 2b c 6a 3b c
解: 原式 ri ri 1
0 0 0a
列展开
i 4,3,2
ri ri 1 i 3,2
a b a a
a b c 2a b 3a b
按第一
a0 0
列展开
a
2
a a
2a b a 3a b
4
(2) 1-1 -1 -1
2 0 -2 -2
3 3 0 -3
n n n 0
解:1c i c1
2 2 0 0
3 6 3 0
n 2n 2 n n! n
0 0 0
原式
i 2 , 3 n
(3)
x1 x1 x1 x1 x1
a 12 x2 x2 x2 x2
a 13 a 23 x3 x3 x3
a1n 1 a2n 1 a3n 1 xn 1 xn 1
a1n a2n a3n a(n 1)n xn
解:ri ri 1 i n , n 1 , 2
x1 0
a 12 x 2 a 12 0 0 0
a 13 a 23 a 13 x 3 a 23 0 0
a1n 1 a 2n 1 a1n 1 a3n 1 a2n 1 x n 1 a ( n 2 )( n 1 ) 0
a1n a 2n a1n a3n a2n a(n 1)n a(n 2)n x n a(n 1)n
0 0 0
x 1 ( x 2 a 12 )( x 3 a 23 ) ( x n a ( n 1 ) n )
(4)
a 1 b1 a 2 b1 a n b1
a 1 b2 a 2 b2 a n b2
a 1 bn a 2 bn a n bna 1 b3 a 2 a1 a 3 a1 a n a1 b1 b n 0 0 0 ( a 2 a 1 ) ( b 2 b1 ) n 2 n 2 0 a 1 bn a 2 a1 a 3 a1 a n a1
解:r i r1
a 1 b1 a 2 a1 a 3 a1 a n a1 a 1 b1
a 1 b2 a 2 a1 a 3 a1 a n a1 b1 b 3 0 0 0
原式
i 2 , 3 , n
b1
b 2 0 0 0
c i c1 i 2 , 3 n
a 2 a1 a 3 a1 a n a1
(5)
1 x1 y1 1 x 2 y1 1 x n y1
1 x1 y2 1 x2 y2 1 xn y2
1 x1 yn 1 x2 yn 1 xn ynx1 y1 x 2 y1 x n y1 1 x1 y2 1 x2 y2 1 xn y2 1 x1 yn 1 x2 yn 1 xn yn
解:1
1 x1 y2 1 x2 y2 1 xn y2
1 x1 yn 1 x2 yn 1 xn yn
原式
1 1
A B
1c i c1
x1 y2 x2 y2 xn y2
x1 yn x2 yn xn yn x 2 y2 x1 y2 0 n 2 n 2
A
i 2 , 3 n
1 1
x1 B y1 x2 xn
1 x1 y2 1 x2 y2 1 xn y2
1 x1 yn 1 x2 yn 1 xn ync i y i c1 i 2 , 3 n
x1 y1 x2 xn
1 1 1
1 1 1
y1 ( x1 x 2 ) 0
n 2 n 3n 2 n 3
∴原式
( x 1 x 2 )( y 1 y 2 ) A B 0
(6)
x1 m x1 x1
x2 x2 m x2
xn xn xn m
解:c1 c 2 c n
1 n 1 xi m i 1 1 1 0 m 0
x2 x2 m x2 0 0 m
xn xn xn m
原式
c i c1 x i
n 1 xi m i 2 , 3 n i 1 1
n n 1 ( m ) xi m i 1
11. 利用行列式的性质求方程:1 1 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 2 x 1 1 1 1 1 n 2 x 1 1 1 1 1 n 1 x 0, n 1
解:左边r i r1 i 2 , 3 n
1 0 0 0 0
1 x 0 0 0
1 0 1 x 0 0
1 0 0 n 3 x 0
1 0 0 0 n 2 x
( x )( 1 x ) ( n 3 x )( n 2 x ) 0
则方程的根为
x 0 ,1 , 2 n 2
12. 计算下列 n 阶行列式。 (1) x0 0 0 y y x 0 0 0 0 y x 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 y x
解: 原式按第一列
x 0 x 0 0n
y x 0 0n 1
yn
0 0 x 0
0 0 ( 1) y xn 1
y x y 0 0
0 y 0 0
0 0 y x
0 0 0 y
展开
x ( 1)
(2)
1 1 0 0 0
2 1 2 0 0
3 0 2 0 0
n 1 0 0 2 n n 1
n 0 0 0 1 n
解:c1 c 2 c n
n( n 1) 2 0
2 1 2 0 0
3 0 2 0 0
n 1 0 0 2 n n 1
n 0 0 0 1 n
原式
0 0 0
1按 第1列 展开
0 -2 0 0 ( n 1 )!
0 0 2 n n 1
0 0 0 1 n
n( n 1) 2
2 0 0
n( n 1) 2 ( 1) 2n 1
( 1)
n 1
( n 1 )!
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