高等数学第二版第三册__高等教育出版社__第一章行列式课后习题答案

第1章 习 题

1. 计算下列排列的反序数，从而判断奇偶性。 (3) n ( n 1 ) 321n( n 1) 2

( n 1) ( n 2 ) 2 1

(4) 135 ( 2 n 1 ) 246 ( 2 n ) 0 1 2 ( n 1) n( n 1) 2

2. 已知排列 i 1 i 2 i n 的反序数，求 i n i n 1 i 1 的反序数。 解：对于排列 i 1 i 2 i n 中的数字 i j ,设排列中有 l ( i j ) 个 小于它的数字，设这些小于它的数字中，位于其右边的 有 r ( i j ) 个，则位于其左的有 l ( i j ) r ( i j ) 个。 则： ( i n i n 1 i 1 )

l ( in j 1

j

) r (i j )

l(in j 1

j

)

r(ij 1

n

j

)

对于任意 n 个不相等的自然数，其中最大的数字有 n-1 个小 于它的，次大的数字有 n-2 个小于它的，…… 因此，n

l(ij 1

j

) ( n 1) ( n 2 ) 1 0

n( n 1) 2

( i n i n 1 i1 )

n( n 1) 2

( i1 i 2 i n )

5. 写出四阶行列式中含因子 a 23 且带负号的项。 解：四阶行列式中的项为 a 1 j1 a 2 j 2 a 3 j 3 a 4 j 4

j1 j 2 j 3 j 4 是数字1、2、3、4的组合。含因子 a 23 时，令 j 2 3

则 j1 j 2 j 3 j 4 可能的组合有：1324,1342,2314,2341,4312,4321 其中奇排列为：1324,2341,4312 则含因子 a 23 且带负号的项为：

a 11 a 23 a 32 a 44 , a 12 a 23 a 34 a 41 , a 14 a 23 a 31 a 42

6. 利用行列式的定义计算 (2)a 11 a 21 a 31 a 41 a 51 a 12 a 22 a 32 a 42 a 521

a 13 a 23 0 0 02

a 14 a 24 0 0 03 4

a 15 a 25 0 0 05

( 1)j1 j 5

( j1 j 5 )

a 1 j1 a 2 j 2 a 3 j 3 a 4 j 4 a 5 j 5

分析 a 1 j a 2 j a 3 j a 4 j a 5 j ,无论 j1 j 2 j 3 j 4 j 5 如何组合， 在 j 3 j 4 j 5 中都至少有一个数字≥3,使得 a 1 j a 2 j a 3 j a 4 j a 5 j1 2 3 4 5

中出现 a ij ( i 3 , j 3 ) ,使得 a 1 j a 2 j a 3 j a 4 j a 5 j 01 2 3 4 5

因此该行列式的值为0.

6. 利用行列式的定义计算 (4)x 0 0 0 y y x 0 0 0 0 y x 0 0 0 0 y x 0 0 0 0 y x

( 1)

( j1 j 5 )

a 1 j1 a 2 j 2 a 3 j 3 a 4 j 4 a 5 j 5

j1 j 5

其中非0项为：( 1)5

( 12345 )5

a 11 a 22 a 33 a 44 a 55 ( 1 )

( 23451 )

a 12 a 23 a 34 a 45 a 51

x y

8. 利用行列式的性质计算 (3)a b c b c 2 ar4 r 2 r 3

b c a c a 2 b c a 0 c a b 0

c a b a b 2 1 1 1 0

1 1 1 1r4

a 1 2

b c a c a

c a b a b

1 1 1 2

1 2

b c b c

1 b 2 c 0

0

9. 不展开行列式，证明下列等式成立。 (1) b cb ' c ' b ' ' c ' ' c a c ' a ' c ' ' a ' ' a b a ' ' b ' ' a b b' b' ' c c' c'' a ' b ' 2 a ' a''

证明：( c1 c 2 c 3 ) 2

a b c 2 a ' b ' c ' a ' ' b ' ' c ' '

c a c ' a ' c ' ' a ' '

a b a ' b ' a ' ' b

' ' b b' b' ' c c ' 右边 c''

左边

c 2 c1 c 3 c1

a b c a ' ' b ' ' c ' '

b b' b' '

c c''

a b c a ' ' b ' ' c ' '

2 a ' b ' c '

c ' 2 a ' b ' c '

(2) sin 2

cos 2

cos 2 cos 2 0 cos 2

sin 2

cos cos2

2 2

sin 2

证明：

sin 2

cos 2

cos - sin 2 2 2 2

左边 sin sin 2 c 3 c1

cos

2 2

cos

2 2

- sin

cos 2 2

cos - sin

sin 2 2

cos cos2 2

cos cos2 2

sin sin 2

cos

cos

0 右边

(3)

0 x y z

x 0 z y

y z 0 x

z y x 0

0 1 1 1

1 0 z y2 2

1 z2

1 y x2 2

, ( xyz 0 )

0 x2

0

证明：r2 x r3 y r4 z

02

1 0 z xy y xz1 z2

1 z xy 0 x yz1 y x2 2

1 y xz x yz 0

左边

c2 x c3 y c4 z

( xyz )

1 1 1

r 2 xyz r 3 xyz r 4 xyz

0 1 xyz

1 0 z y2 2

1 z2

1 y x2 2

xyz xyz xyz

0 x2

0

0c 1 xyz

1 0 z y2 2

1 1 1

右边

0 x2

0

10. 计算行列式。 (1) aa a a b a b 2a b 3a ba b a a a c a b 2a b 3a b

c a b c 3a 2b c 6a 3b cd a b c 3a 2b c 6a 3b c按第一

d a b c d 4a 3b 2c d 10 a 6 b 3 c da aa a a b 2a b 3a b a b c 3a 2b c 6a 3b c

解： 原式 ri ri 1

0 0 0a

列展开

i 4,3,2

ri ri 1 i 3,2

a b a a

a b c 2a b 3a b

按第一

a0 0

列展开

a

2

a a

2a b a 3a b

4

(2) 1-1 -1 -1

2 0 -2 -2

3 3 0 -3

n n n 0

解：1c i c1

2 2 0 0

3 6 3 0

n 2n 2 n n! n

0 0 0

原式

i 2 , 3 n

(3)

x1 x1 x1 x1 x1

a 12 x2 x2 x2 x2

a 13 a 23 x3 x3 x3

a1n 1 a2n 1 a3n 1 xn 1 xn 1

a1n a2n a3n a(n 1)n xn

解：ri ri 1 i n , n 1 , 2

x1 0

a 12 x 2 a 12 0 0 0

a 13 a 23 a 13 x 3 a 23 0 0

a1n 1 a 2n 1 a1n 1 a3n 1 a2n 1 x n 1 a ( n 2 )( n 1 ) 0

a1n a 2n a1n a3n a2n a(n 1)n a(n 2)n x n a(n 1)n

0 0 0

x 1 ( x 2 a 12 )( x 3 a 23 ) ( x n a ( n 1 ) n )

(4)

a 1 b1 a 2 b1 a n b1

a 1 b2 a 2 b2 a n b2

a 1 bn a 2 bn a n bna 1 b3 a 2 a1 a 3 a1 a n a1 b1 b n 0 0 0 ( a 2 a 1 ) ( b 2 b1 ) n 2 n 2 0 a 1 bn a 2 a1 a 3 a1 a n a1

解：r i r1

a 1 b1 a 2 a1 a 3 a1 a n a1 a 1 b1

a 1 b2 a 2 a1 a 3 a1 a n a1 b1 b 3 0 0 0

原式

i 2 , 3 , n

b1

b 2 0 0 0

c i c1 i 2 , 3 n

a 2 a1 a 3 a1 a n a1

(5)

1 x1 y1 1 x 2 y1 1 x n y1

1 x1 y2 1 x2 y2 1 xn y2

1 x1 yn 1 x2 yn 1 xn ynx1 y1 x 2 y1 x n y1 1 x1 y2 1 x2 y2 1 xn y2 1 x1 yn 1 x2 yn 1 xn yn

解：1

1 x1 y2 1 x2 y2 1 xn y2

1 x1 yn 1 x2 yn 1 xn yn

原式

1 1

A B

1c i c1

x1 y2 x2 y2 xn y2

x1 yn x2 yn xn yn x 2 y2 x1 y2 0 n 2 n 2

A

i 2 , 3 n

1 1

x1 B y1 x2 xn

1 x1 y2 1 x2 y2 1 xn y2

1 x1 yn 1 x2 yn 1 xn ync i y i c1 i 2 , 3 n

x1 y1 x2 xn

1 1 1

1 1 1

y1 ( x1 x 2 ) 0

n 2 n 3n 2 n 3

∴原式

( x 1 x 2 )( y 1 y 2 ) A B 0

(6)

x1 m x1 x1

x2 x2 m x2

xn xn xn m

解：c1 c 2 c n

1 n 1 xi m i 1 1 1 0 m 0

x2 x2 m x2 0 0 m

xn xn xn m

原式

c i c1 x i

n 1 xi m i 2 , 3 n i 1 1

n n 1 ( m ) xi m i 1

11. 利用行列式的性质求方程：1 1 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 2 x 1 1 1 1 1 n 2 x 1 1 1 1 1 n 1 x 0, n 1

解：左边r i r1 i 2 , 3 n

1 0 0 0 0

1 x 0 0 0

1 0 1 x 0 0

1 0 0 n 3 x 0

1 0 0 0 n 2 x

( x )( 1 x ) ( n 3 x )( n 2 x ) 0

则方程的根为

x 0 ,1 , 2 n 2

12. 计算下列 n 阶行列式。 (1) x0 0 0 y y x 0 0 0 0 y x 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 y x

解： 原式按第一列

x 0 x 0 0n

y x 0 0n 1

yn

0 0 x 0

0 0 ( 1) y xn 1

y x y 0 0

0 y 0 0

0 0 y x

0 0 0 y

展开

x ( 1)

(2)

1 1 0 0 0

2 1 2 0 0

3 0 2 0 0

n 1 0 0 2 n n 1

n 0 0 0 1 n

解：c1 c 2 c n

n( n 1) 2 0

2 1 2 0 0

3 0 2 0 0

n 1 0 0 2 n n 1

n 0 0 0 1 n

原式

0 0 0

1按 第1列 展开

0 -2 0 0 ( n 1 )!

0 0 2 n n 1

0 0 0 1 n

n( n 1) 2

2 0 0

n( n 1) 2 ( 1) 2n 1

( 1)

n 1

( n 1 )!

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